Кирхгофа Интегральное уравнение

Рассмотрим резонатор, образованный круглыми плоскими зеркалами и заполненный неоднородной усиливающей средой, характеризующейся комплексным пользователем преломления п (г) (цилиндрическая симметрия задачи). Выбор такой геометрии резонатора для этой задачи определен тем, что во-первых, большинство конструкций газового лазера имеет цилиндрическую симметрию во-вторых, для этой симметрии методом дифференциальных уравнений нами уже получено аналитическое решение АР, что дает возможность проверки метода интегральных уравнений. В дальнейшем мы покажем, что полученные интегральные уравнения для плоского АР легко трансформировать на резонаторы произвольной геометрии. Исходным будем считать уравнение (2.73) этого параграфа, которое описывает поле заданного резонатора. Взамен этого дифференциального уравнения мы должны получить интегральное уравнение. Как известно, в случае вакуума п = 1) при краевых условиях Кирхгофа интегральное уравнение имеет вид [c.98]

Наконец, перейдем к определению дифракционных потерь, Дело в том, что для этого в каждом конкретном случае необходимо решать интегральное уравнение Френеля — Кирхгофа. На рис. 4.37 приведены как характерные и весьма полезные примеры вычисленные зависимости дифракционных потерь от числа Френеля для некоторых симметричных резонаторов (которые характеризуются соответствующими значениями параметра g). Заметим, что для данного числа Френеля наименьшие потери имеет конфокальный резонатор (gr = 0). [c.215]

Подставляя эти формулы в интегральное уравнение Гельмгольца, получим его приближенное выражение для высоких частот — интеграл Кирхгофа [c.246]

Для чисто поглощающей среды [/ (v)=a(v)] и для собственного температурного излучения среды, подчиняющейся закону Кирхгофа [е (V) = а (V)], интегральное уравнение запишется [c.35]

В предыдущей главе гауссов пучок вводился как результат решения интегральных уравнений, составленных в рамках теории Кирхгофа. Покажем здесь, что основные закономерности распространения гауссова пучка в однородном изотропном пространстве следуют не-посредственно из анализа скалярного волнового урав [c.92]

Таким образом, уравнение (1.17) можно сравнить с уравнением (1.15), полученным из интеграла Кирхгофа, Его можно интерпретировать как выражение, показывающее, что каждая точка поля рассеяния дает сферическую волну (1.18), а амплитуда этой волны зависит от величины рассеивающего потенциала ф(г ) и от волновой функции iI5(r ). Можно было бы получить точный трехмерный эквивалент выражения (1.15), если бы мы могли сказать, что амплитуда рассеянной волны пропорциональна амплитуде падающей волны it)( >(r). Однако, вообще говоря, это невозможно, поскольку рассеянное излучение само дает вклад в значение волновой функции г з(г). Следовательно, получаем интегральное уравнение, решать-которое гораздо труднее. [c.24]

В принципе общее решение интегро-дифференциального уравнения (23) можно получить, приведя его к системе двух связанных интегральных уравнений Фредгольма для Q и d(X dv на поверхности. Тогда величину Q в любой точке внутри среды можно получить, решая уравнение (10) при условии, что Q принимает указанные значения на границе. Это нетрудно сделать обычными методами, используя функции Грина или интегральную формулу Гельмгольца — Кирхгофа (см, уравнение (8,3.7)) [c.109]

Интегральные уравнения в контактных задачах для осесимметричных цилиндрических оболочек. Контактные задачи составляют особый класс задач теории оболочек со своими специфическими особенностями. В частности,, корректность постановки и гладкость решения контактных задач зависят от выбора модели тонкостенного элемента. Решение контактных задач теории оболочек в общем случае представляет собой сложную задачу. Однако вопросы корректности и регулярности контактных задач теории оболочек можно исследовать на простых одномерных моделях. Такое исследование для осесимметричных оболочек проведено в [144, 156]. Где показано, чтО в рамках простейшей модели Кирхгофа — Лява можно рассматривать контактные задачи и получать достаточно точные результаты. Рассмотрим, следуя [144, 156], интегральные уравнения для цилиндрических оболочек, возникающие при решении контактных задач. [c.79]

Это п есть интегральное уравнение Кирхгофа. [c.373]

Однако, чтобы применить формулу (3.7) или (3.15), необходимо знать одновременно распределения и колебательной скорости и звукового давления. Таким образом, интеграл Кирхгофа является переопределенным. Фактически формула Кирхгофа представляет собой интегральное уравнение, в котором неизвестная функция входит и в левую и в правую часть уравнения. В правой части эта функция описывает неизвестное поле на поверхности, а в левой части — то же поле в точке наблюдения М. [c.36]

Решив интегральное уравнение и определив функцию Ф (5), можно воспользоваться формулой Кирхгофа для вычисления поля в любой точке пространства. Методы решения интегральных уравнений приведены, например, в книгах [30], [61], [63]. В 7 путем использования интегрального уравнения получено решение задачи дифракции на цилиндрическом теле с произвольной ( рмой поперечного сечения. В качестве примера далее рассматривается дифракция звука на прямоугольном брусе. [c.39]

Вычисление волны, рассеянной телом. Если интегральное уравнение (7.6) решено, то на поверхности тела известно и рассеянное поле Ф5, и его нормальная производная, которая определяется по формулам (7.1а) и (7.12). Теперь можно воспользоваться формулой Кирхгофа (7.3) для определения рассеянного поля в любой точке [c.42]

Как уже указывалось, на поверхности никогда заранее не известны одновременно и звуковое давление, и колебательная скорость. В этом состоит основная трудность, которая встречается при использовании интеграла Кирхгофа для расчета звуковых полей. Необходимость вычислять величину потенциала на поверхности по заданной колебательной скорости приводит к появлению интегрального уравнения, решение которого связано с определенными вычислительными трудностями. В случае, если излучателем является бесконечная плоскость, интеграл Гюйгенса сразу дает простое решение. Если же колебательная скорость задана лишь на огра- [c.47]

Как было показано в гл. 2, формула Кирхгофа фактически представляет собой интегральное уравнение, поскольку на поверхности тела неизвестны одновременно и потенциал, и его нормальная производная. Важное преимущество формулы (12.11) заключается в том, что она дает возможность определить поле в явном виде через единственную функцию Ф или, известную на поверхности излучающего тела. Выберем функцию Грина таким образом, чтобы она удовлетво- [c.72]

В уравнении (5-5) закон Кирхгофа приведен для интегрального излучения. Но он может быть применен и для монохроматического излучения. В этом случае он формулируется так отношение излучательной способности определенной длины волны к поглощательной способности при той же длине волны для всех тел одно и то же и является функцией только длины волны и температуры, т. е. [c.157]

В уравнении (5-5) закон Кирхгофа приведен для интегрального излучения. Но он может быть применен и для монохроматического 168 [c.168]

После применения интегрального преобразования Кирхгофа (VI. 15) уравнение (IX.2) преобразуется в уравнение Пуассона с нелинейной правой частью [c.124]

Как уже обращалось внимание в цитированной выше статье Ч. Ли, решения этих уравнений являются достаточно общими, чтобы удовлетворить двум условиям на каждом крае для каждого из приведенных выше уравнений или четырем суммарным условиям на каждом крае. В действительности имеются по крайней мере пять условий, которым необходимо.удовлетворять в самом общем случае, например три условия на результирующие силы и два — на результирующие моменты на каждой из сторон (см. рис. 4.1) или соответствующие перемещения. Поэтому в общем случае можно использовать подход Кирхгофа, для того чтобы удовлетворить только интегральным краевым условиям, если не пользоваться наложением дополнительных условий, что будет обсуждаться ниже в 5.5. [c.313]

Для определения интегральных характеристик переменной Кирхгофа подставим (10.47) в первые два граничные условия (10.40). Учитывая (10.45), находим следующую систему двух дифференциальных уравнений бесконечно высокого порядка [c.346]

Решение дифракционной задачи, предложенное Кирхгофом, основано на интегральной теореме, которая выражает решение однородного волнового уравнения в произвольной точке пространства через значения этого решения и его первой производной на произвольной замкнутой поверхности, окружающей рассматриваемую точку. [c.333]

Полагая G = f и используя уравнение (4.2.9) в соотношении (4.2.1), получаем интегральную теорему Гельмгольца — Кирхгофа (которую называют также теоремой Грина) [c.254]

В новой, одиннадцатой главе, вывод вариационных уравнений основан на формальном интегральном тождестве, которое является обобщением тождества, применяемого обычно для доказательства теоремы единственности Кирхгофа это позволило несколько сократить ход рассуждений, не уменьшая общности окончательных результатов. К недостаткам принятого метода изложения можно отнести [c.7]

Уравнение закона Кирхгофа можно получить и в интегральной форме. Для этого следует учесть зависимости истинных мольных теплоемкостей исходных и конечных веществ реакции от температуры (по Цельсию) в виде [c.358]

Осесимметричный контакт сферических оболочек. Контакт оболочки с жестким шаром, радиус которого немного отличается от радиуса оболочки, рассмотрен в работе П. А. Лукаша, Н. М. Леонтьева [45] (1959) на основе теории Кирхгофа—Лява. Эта же задача решена В. А. Бондаренко [17], В. М. Толкачевым 169] опять-таки с помощью теории Кирхгофа—Лява. В статье [17] использован метод расчлеиеиня оболочки по границе зоны контакта с последующей стыковкой решений. В работе [69] задача сведена к решению интегрального уравнения для нормальной реакции. В этой же статье рассмотрен еще контакт двух оболочек. Контактная реакция в этом случае представляет собой погонные усилия, приложенные по кругу, внутри которого оболочки не касаются друг друга. Эта задача изучалась также в статье Ц. Десильва и П. Тзая [74]. Авторы строят решение для нормальной реакции которое априори обращается в нуль на границе зоны контакта. Физически это разумно, но математически некорректно [69], так как в рамках теории Кирхгофа—Лява не удается получить решение для нормальной реакции, обращающееся в нуль на границе зоны контакта. [c.211]

В заключение коротко остановимся на математической стороне теории кон-, тактных задач. Все конкретные рассмотренные задачи относятся к классу одномерных. Их можно свести либо к решению. обыкновенных дифференциальных уравнений (кроме случая упругого невйнклеровского основания), либо к интегральным уравнениям. Если в основу полагается теория Кирхгофа—Лява и обо- лочка (или пластина) контактирует, с жестким телом, то получается интегральное уравнение первого рода, решение которого будет некорректным. Учет эффекта поперечного обжатия приводит к интегральному уравнению второго рода, и задача становится корректной. Учет поперечного сдвига также может привести к интегральному уравнению второго рода. Так как одну и ту же задачу можно сформулировать в виде дифференциальных и интегральных уравнений, естественно ожидать наличия связи между этими уравнениями. Выяснению этой связи, в частности, посвящены работы Ю. П. Артюхина [6] и Г. Я. Попова [61]. В статье [61] дано решение интегральных уравнений для контактных задач. [c.212]

Как. уже отмечалось в гл. 5, при изгибе пластин и оболочек Кирхгофа жесткими штампами-на границе зоны контакта. могут появляться сосредоточенные силы и моменты. Вопрос о типе реакции и структуре интегральных уравнений может оказаться нетривиальным и в том случае, когда контакт со штампом осуществляется не по площадке, а по линии. Этот вопрос рассмотрим здесь в дискуссионном плане на примере бесконечной пластины Кирхгофа, изображенной на рис. 8.35. На отрезке к пластине приварена абсолютно жесткая в своей плоскости днафрагма-штамп, нагруженная силой 2Р. Ширину площадки контакта учитывать не будем — контакт будет осуществляться по отрезку [—1,1] оси х. Для равновесия,пластины приложим силы Р на оси у. [c.371]

Анализ корректной разрешимости контактных задач при использовании различных теорий оболочек проведен в [13, 84, 214]. Применительно к осесимметричной контактной задаче для круговых цилиндрических оболочек математические аспекты использования моделей Кирхгофа — Лява, Тимошенко и учета трансверсального обжатия, выяснение условий кор->ектности задач, способы-их регуляризации рассмотрены в 130]. Для строгого изучения этих вопросов применены теория обобш,енных функций и методы решения некорректных задач. Приведены сведения из теории краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэ1 )фици-ентами и основные понятия теории обобш,енных функций. С помош,ью фундаментальной системы решений дифференциального оператора построены функции Грина и функции влияния для оболочек Кирхгофа — Лява и Тимошенко. Даны постановки задач о контакте оболочек между собой и с осесимметричными жесткими штампами. Методом сопряжения построены обобщенные решения, поскольку классическое существует только для моделей, учитывающих трансверсальное обжатие. Найдены обобщенные решения интегральных уравнений Фредгольма первого рода, рассмотрены методы их аппроксимации классическими (методы регуляризации). [c.11]

На ос1Юве классической теории Кирхгофа — Лява в главах VIII и IX изучены задачи об изгибе пластин и пологих оболочек, ослабленных криволинейными треш инами. При использовании фундаментальных решений разрешающих уравнений теории изгиба пластин и пологих оболочек получены сингулярные интегральные уравнения рассматриваемых задач. [c.6]

На основе представления комплексных потенциалов Ф (z) и (z) в виде (VIII.41) может быть рассмотрен ряд задач о системах трещин в различных областях. В дальнейшем кратко остановимся на некоторых из них, причем ограничимся построением интеграль-иых представлений функций Ф (г) и (г), с помощью которых легко записать сингулярные интегральные уравнения (VIII.42) и (VIII.43)для основных граничных задач. Заметим, что с помощью метода рядов Лорана и классической теории Кирхгофа в работе [681 изучался изгиб пластин с системой произвольно расположенных прямолинейных трещин. Рассматривалось также взаимодействие двух произвольно ориентированных прямолинейных трещин на основе теории пластин Рейсснера [410]. Полученные при этом сингулярные интегральные уравнения решались численно. [c.256]

BbipaHieune (1.12) соответствует трансформанте Фурье ядра интегрального уравнения задачи о вдавливании штампа в полосу, усиленную по верхней границе покрытием, работающим по типу пластинки Кирхгофа — Лява. [c.343]

Параметр Ы в интеграле Кирхгофа определяет фазовый набег при прохождении волны внутри резонатора. Знание разложения этой величины в ряд Маклорена полезно для выявления приближенных решений исходных интегральных уравнений. Найдем это разложение для резонатора, состоящего из двух идеальных съюстированных сферических зеркал. Для решения возникающих на практике задач достаточно ограничиться членами четвертого порядка. [c.195]

Предлагаемая внямаяию читателя книга посвящена систематическому изложению геометрической теории дифракции (ГТД) — новому эффективному методу анализа и расчета распространения, излучения и рассеяния волновых полей. Эта теория использовала и обобщила наглядную и привычную систему образов и понятий геометрической оптики. Ее область применения весьма ширО Ка техника антенн и трактов СВЧ, миллиметрового и ин-фракрасных диапазонов, лазерная техника, а также проблемы распространения и рассеяния воли в неоднородных средах и на телах сложной формы. Хотя ГТД строится как асимптотическая теория, применимая в тех случаях, когда характерный размер задачи а много больше длины волны К, опыт расчетов по ГТД показывает, что она дает надежные результаты вплоть до значений а порядка К. Таким образом, ее область применимости примыкает к области применимости другой предельной теории — длинноволнового приближения. Методы ГТД обобщают широко известные методы физической оптики (апертурный метод, приближение Кирхгофа) и естественно смыкаются с ними. Они обеспечивают точность, сравнимую и (для малых дли волн) превосходящую точность, достигаемую численными методами ( апример, методом интегральных уравнений). [c.3]

Указанное построение стержневых схем для пластин и оболочек непосредственно из математической постановки задачи на основе метода расчленения позволило выяснить ряд обстоятельств. Выяснилось, что в общем случае заменить оболочку Кирхгофа — Лява обычной перекрестной стержневой системой нельзя. Была получена некоторая гипотетическая непрерывная и перекрестная стержневая система, эквивалентная оболочке, и отвечающая ей дискретная стержневая система, аппроксимирующая оболочку. На основании гипотетической стержневой системы стало возможным по-новому осмыслить задачи теории оболочек и в ряде конкретных случаев упростить их постановку. Удалось связать алгоритмы решения интегральных уравнений метода расчленения и расчета перекрестных стержневых систем методом сил. В частности, выяснилось, что в работах, где не рассматривалась математическая тюстановка задачи и оболочка ошибочно заменялась перекрестной стержневой системой, сталкиваются с теми же вычислительными трудностями, что и при решении интегральных уравнений первого рода. Обычная перекрестная стержневая схема создавала лишь иллюзию возможной простоты расчета. В то же время эффективные приемы расчета стержневых систем и решения интегральных уравнений метода расчленения переносятся из одной области в другую. [c.228]

Приведение формулы Кирхгофа к интегральному уравнению Фред-гольма 2-го рода. Для того чтобы вычислить звуковое поле в некоторой области, достаточно знать распределение либо звукового давления, либо колебательной скорости на границе области. Каждая из этих величин полностью определяет звуковое поле. Если на поверхности задана колебательная скорость, распределение звукового давления вблизи поверхности уже не может быть задано произвольно, поскольку оно само является результатом решения задачи. [c.35]

Обратимся теперь к продольному фазовому множителю в выражении (4.95). Вначале сделаем замечание относительно того, что, как и в интеграл Френеля — Кирхгофа (4.73), в выражение (4.95) не входит временная зависимость электромагнитного поля. Интеграл Френеля — Кирхгофа можно рассматривать как интегральное представление дифференциального уравнения Гельмгольца [см. (2.5а)]. Следовательно, как и в последнем случае, зависящая от времени и пространственных координат напряженность поля получается простым умножением части выражения (4.95), которая зависит от пространственных координат, на зависящий от времени множитель ехр [ (t2nv0]. в котором величина v дается выражением (4.94). Выбор знака + или — в экспоненте отвечает, как это следует из (4.95), волне, распространяющейся соответственно в положительном или отрицательном направлении оси z. Поэтому стоячую волну внутри резонатора можно рассматривать как суперпозицию двух этих волн. Таким образом очевидно, что входящая в (4.95) функция т з (г) = kz — (1 + т + I) ф г) = Аг — (1 + от + /) ar tg (2z/L) описывает изменение фазы волнового фронта в зависимости от координаты Z. Следовательно, с помощью этой величины можно найти, например, набег фазы, который приобретает волна при ее распространении в положительном направлении оси z от левого до правого зеркала на рис. 4.31. Заметим, что этот набег фазы не равен точно набегу фазы плоской волны, который равен kz. Данное обстоятельство приводит к двум взаимо.связан- [c.204]

Скобка Ли — Пуассона для алгебры е(3), порожденная соотношениями (3.13) при соответствии т,- <-+ г>, и pj <-+ вырождена функции (т,р) и коммутируют со всеми функциями на (е(3)) они же являются первыми интегралами уравнений Кирхгофа для всех гамильтонианов Н, поэтому к уравнениям Кирхгофа можно применить соображения, изложенные в п. 4 2. Рассмотрим четырехмерные интегральные поверхности Мс = т,р т,р) = = Сь (р,р) = Сг (с2 > 0), диффеоморфные, как легко видеть, касательному расслоению двумерной сферы. Ограничение скобки Ли — Пуассона на Мс является невырожденной скобкой Пуассона, которая превращает Мс в симплектическое многообразие. Поэтому уравнения Кирхгофа на Мс являются гамильтоновой системой дифференциальных уравнений с гамильтонианом Н, ограниченным на Мс, этот факт отмечен в работе [140] и одновременно в работе [84] для случая сх = 0. Особенно наглядно эта конструкция выглядит при С1 = 0. Положим т = ехр. Екли (т,р) = О и (р,р) > [c.40]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...