Движение тела вокруг неподвижной Эйлера

Движение тела вокруг неподвижной точки задано углами Эйлера ф = 4/, Ф=- ------21, 0 = - . Определить коорди- [c.149]

Движение тела вокруг неподвижной точки задано при помощи углов Эйлера следующими уравнениями ф == nt, i[i = я/2 -f ant, о == я/3. Определить проекции угловой скорости и углового ускорения тела на неподвижные оси, если а и п постоянные величины. Указать также то значение параметра а, при котором неподвижным аксоидом тела будет плоскость Оху. [c.150]

Динамические уравнения Эйлера движения тела вокруг неподвижной точки в проекциях на подвижные оси, скрепленные с телом, под действием только силы собственного веса имеют вид [c.454]

При рассмотрении вращательного движения тела вокруг неподвижной оси получена векторная формула Эйлера, по которой скорости точек тела полностью характеризуются общей для всех точек тела угловой скоростью вращения и расположением точек тела относительно оси вращения. [c.172]

Движение тела вокруг неподвижной точки. Углы Эйлера. Уравнения движения [c.108]

Иные методы исследования движения тела вокруг неподвижной точки. Теорема Эйлера — Даламбера [c.113]

Другие элементарные способы исследования движения тела вокруг неподвижной точки опираются на теорему Эйлера — Даламбера. [c.113]

Одной из классических задач механики является задача о движении твердого тела вокруг неподвижной точки. Эта задача имеет первостепенное значение для теории гироскопов, нашедшей широкое применение в различных областях современной техники. Эйлер дал аналитическое решение этой задачи в простейшем случае, а именно в случае движения тела вокруг неподвижной точки по инерции. Пуансо дал для того же самого случая наглядную геометрическую интерпретацию. Лагранж решил эту задачу в том случае, когда твердое тело имеет динамическую ось симметрии, проходящую через неподвижную точку. После Эйлера и Лагранжа многие ученые пытались найти новый случай решения этой задачи, т, е. новый случай интегрируемости дифференциальных уравнений движения твердого тела вокруг неподвижной точки, но безуспешно. [c.17]

После исследований, проведенных Эйлером, Лагранжем и Пуассоном, проблема движения тела вокруг неподвижной точки длительное время не получала дальнейшего развития. Ввиду ее важности Парижская академия наук назначила премию за существенное продвижение в исследовании задачи. Два проведенных конкурса не дали результатов. В 1888 г. конкурс был объявлен в третий раз. Из пятнадцати представленных работ премию получила работа С. В. Ковалевской. [c.246]

Помимо проблемы устойчивости движения, одной из классических задач теоретической механики является задача о движении твердого тела вокруг неподвижной точки, т. е. тела, закрепленного при помощи сферического шарнира. Этой задачей занимались самые выдающиеся ученые-механики Эйлер, Лагранж, Пуансо. Эйлер дал аналитическое решение этой задачи в простейшем случае, а именно в случае движения тела вокруг неподвижной точки по инерции. Пуансо для этого же случая движения твердого тела вокруг неподвижной точки дал наглядную геометрическую картину этого движения. Лагранж решил эту задачу в том случае, когда твердое тело имеет ось динамической симметрии, проходящую через неподвижную точку. Задача о движении твердого тела вокруг неподвижной точки имеет первостепенное значение для теории гироскопов, которая находит широкое применение в различных областях современной техники. После Эйлера и Лагранжа многие ученые безуспешно пытались найти новые случаи решения этой задачи. В 1888 г. Парижская академия наук объявила конкурс на лучшее теоретическое исследование движения твердого тела вокруг неподвижной точки. Премию в этом конкурсе получила первая русская женщина-математик Софья Васильевна Ковалевская (1850—1891). В своей работе Задача о движении твердого тела вокруг неподвижной точки она дала полное решение этой задачи в новом случае, значительно более сложном по сравнению со случаями Эйлера и Лагранжа. Эта работа доставила С. В. Ковалевской мировую известность и, по выражению Н. Е. Жуковского, немало способствовала прославлению русского имени . [c.26]

Движение тела вокруг неподвижного центра задано с помощью углов Эйлера следующими уравнениями ф=п/, ф = я/2+ая/, 0 [c.24]

Рассмотрим один интересный частный случай движения тела вокруг неподвижной точки, в котором уравнения Эйлера можно проинтегрировать в элементарных функциях именно, пусть /зс = /у и Мо = 0. Мы имеем из третьего уравнения (10.5) [c.253]

Пр и м е р 4. Как известно , движение тела вокруг неподвижной точки, совпадающей с центром тяжести, в отсутствие других сил (случай Эйлера) можно представить, согласно интерпретации Л. Пуансо, качением эллипсоида инерции тела относительно неподвижной точки по неподвижной плоскости. При этом точка пересечения мгновенной оси вращения с поверхностью эллипсоида инерции (полюс) описывает на поверхности эллипсоида кривые полодии), приблизительное расположение которых показано на рис. 109. Вблизи концов наибольшей АА и наименьшей ВВ осей эллипсоида полодии представляют собой замкнутые кривые, окружающие эти концы подобно кривым, окружающим особую точку типа центра. Вблизи концов средней оси СС полодии располагаются так, как фазовые траектории около особых точек типа седла. По движению полюсов по поверхности эллипсоида можно судить об устойчивости или неустойчивости вращений вокруг осей, совпадающих с осями эллипсоида инерции. Вращения вокруг осей, совпадающих с наибольшей или наименьшей осями эллипсоида, будут, очевидно, устойчивыми, так как малое отклонение оси вращения переведет полюс на близкую к концу оси эллипсоида полодию, по которой он и будет двигаться в возмущенном движении, оставаясь в ближайшей окрестности невозмущенного состояния. Вращение вокруг средней оси неустойчиво. Малое отклонение мгновенной оси переместит полюс на полодию, по которой он будет удаляться от конца средней оси эллипсоида. Рис. 109 [c.439]

Удобство применения общих теорем динамики заключается в возможности упростить интегрирование дифференциальных уравнений движения системы. Однако эти общие теоремы могут (как показано выше) применяться только в некоторых случаях. Удобно и то, что в формулировки общих теорем динамики не входят внутренние силы, определение которых обычно связано со значительными трудностями (это замечание о внутренних силах в равной мере относится к дифференциальному уравнению вращения твердого тела вокруг неподвижной оси, дифференциальным уравнениям плоского движения твердого тела и динамическим уравнениям Эйлера). Лишь в формулировку теоремы об изменении кинетической энергии системы материальных точек входят не только внешние, но и внутренние силы (в частном случае неизменяемой материальной системы, например абсолютно твердого тела, и в этой теореме фигурируют только внешние силы). [c.544]

Применяя общие теоремы динамики, дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси, дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела, динамические уравнения Эйлера, уравнения Лагранжа, часто в число рассматриваемых сил ошибочно включают силы инерции. Следует помнить, что силами инерции следует пользоваться только в случае применения [c.544]

При решении задач с помощью общих теорем динамики, а также при применении дифференциального уравнения вращения твердого тела вокруг неподвижной оси, дифференциальных уравнений плоского движения твердого тела и динамических уравнений Эйлера силы разделяются на внешние и внутренние. [c.545]

В случае Эйлера движения твердого тела вокруг неподвижной точки при Л = В найти зависимость р, д, г от времени. [c.521]

Найти функцию Гамильтона и написать уравнения Гамильтона для случая Эй.пера движения твердого тела вокруг неподвижной точки (см. 6.7). В качестве Лагранжевых координат принять углы Эйлера. [c.700]

Показать, что в задаче исследования движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки достаточно найти 4 независимых первых интеграла, чтобы определить траектории движения. Перечислить эти интегралы в случаях Эйлера, Лагранжа-Пуассона, Ковалевской. Какие первые интегралы являются общими для всех этих случаев [c.702]

Динамические уравнения Эйлера движения твердого тела вокруг неподвижной точки под действием силы тяжести [c.453]

Найденные формулы почти разрешают задачу о нахождении кинематического закона движения твердого тела вокруг неподвижной точки. Действительно, для определения закона движения необходимо найти углы Эйлера как функции времени. [c.426]

В 1888 г. Парижская Академия наук объявила конкурс на лучшее теоретическое исследование движения твердого тела вокруг неподвижной точки. Премию на этом конкурсе получила русская женщина—математик и механик Софья Васильевна Ковалевская (1850—1891). Она дала полное решение этой задачи в новом случае, значительно более сложном по сравнению со случаями Эйлера и Лагранжа. Эта работа доставила С В. Ковалевской мировую известность и в значительной степени способствовала прославлению русской науки. [c.17]

Мы рассмотрим лишь наиболее простые случаи интегрирования дифференциальных уравнений движения твердого тела вокруг неподвижной точки, а именно случай Эйлера и случай Лагранжа. [c.703]

После Даламбера Эйлер представил в окончательном виде уравнения движения твердого тела вокруг неподвижной точки ). Он же первый нашел точные интегралы в случае, когда внешние силы равны нулю, или имеют равнодействующую, проходящую через неподвижную точку. (См. Мемуары Берлинской Академии за 1758 г.) [c.136]

Тяжелое тело в пустоте. Центр тяжести тела будет двигаться как тяжелая материальная точка, т. е. будет описывать параболу. Далее, так как внешние силы — веса отдельных точек, имеют равнодействующую, приложенную в центре тяжести С, то величины I, М, N равны нулю. Движение тела вокруг точки О идентично с движением твердого тела вокруг неподвижной точки в случае, когда силы имеют равнодействующую, проходящую через неподвижную точку. Это движение будет такое же, как в случае Эйлера — Пуансо. [c.209]

Уравнения Эйлера. Уравнения Лагранжа позволяют легко получить уравнения Эйлера для движения твердого тела вокруг неподвижной точки. [c.282]

Рассмотрим, например, движение твердого тела вокруг неподвижной точки, когда существует не зависящая от времени силовая функция. Положение тела зависит от трех углов Эйлера 6, ср и ф (см. в этом томе п. 381 и следующие за ним) здесь кинетическая энергия не содержит явно 6 и если силовая функция также не содержит этого угла, то мы имеем дело с только что разобранным случаем. Тогда ф будет играть роль переменной и интеграл [c.407]

Кинетический момент н кинетическая энергия тела, имеющего неподвижную точку. Согласно теореме Шаля произвольное перемещение твердого тела можно разбить на поступательное и вращательное. Таким образом, эта теорема указывает на возможность разделения задачи о движении твердого тела на две отдельные части, одна из которых касается только поступательного движения, а другая — только вращательного. В том случае, когда одна точка тела неподвижна, такое разделение является очевидным, так как в этом случае имеется только одно вращательное движение вокруг неподвижной точки, а поступательное движение отсутствует. Однако и в более общих случаях движения такое разделение часто оказывается возможным. Шесть координат, описывающих движение тела в соответствии с таким разделением, уже были нами рассмотрены. Это —три декартовы координаты некоторой фиксированной точки твердого тела (они описывают посту-пательное движение) и, например, три угла Эйлера, служащие для описания движения тела вокруг этой точки. Если начало подвижной системы выбрать в центре масс тела, то согласно уравнению (1.26) полный кинетический момент его распадается на две части одну [c.163]

Дифференциальные уравнения движения твердого тела вокруг неподвижной точки. Динамические уравнения Эйлера. Пусть при движении тела одна из его точек О все время остается неподвижной. Для получения уравнений движения тела воспользуемся [c.188]

Таким образом, в рассматриваемом случае решение задачи о движении твердого тела вокруг неподвижной точки распадается на две последовательные задачи интегрирования систем трех уравнений первого порядка. В общем же случае величины М , М , Mz являются функциями времени, углов Эйлера и их производных. Тогда уравнения (4) и (5) надо интегрировать совместно. [c.189]

Наиболее простым и очень важным случаем является тот, когда момент внешних сил относительно неподвижной точки равен нулю. Тогда говорят, что имеет место случай Эйлера движения твердого тела вокруг неподвижной точки. Этот случай, очевидно, возможен, когда внешних сил нет совсем или тогда, когда внешние силы, приложенные к телу, приводятся к равнодействующей, проходящей через неподвиж- [c.189]

Если Jx ) Jy Jz и Jxy Jxzi Jyz —осевые и центробежные моменты инерции, ар, г — проекции угловой скорости тела на оси Ож, Оу Oz то векторное уравнение (8) запишется в виде трех скалярных уравнений (3) п. 97, в правых частях которых появятся дополнительные слагаемые М Mz являющиеся проекциями момента реактивных сил на оси Ож, Оу Oz, В общем случае, когда момент внешних сил зависит от ориентации тела в пространстве, при исследовании движения тела вокруг неподвижной точки к этим уравнениям надо добавить еще три кинематических уравнения Эйлера. [c.265]

До бронравовВ, В, Об одном соотношении в задаче о движении твердого тела вокруг неподвижной точки в случае Эйлера. Доклады АН СССР, т. 65, вып. 2, 1949. [c.522]

Вращением твердого тела вокруг неподвио1сной точки называют такое движение, при котороль одна точка тела остается все время неподвижной. Это вращение часто называют сферическим движением твердого тела в связи с тем, что траектории всех точек тела при таком движении располагаю си на ( оверхностях сфер, описанных нз неподвижной точки. Тело, совершаюшее вращение вокруг неподвижной точки, имеет тр сгепени свобод , , так как закрепление одной точки тела уменьшает число степеней свободы на три единицы, а свободное тело имеет Н есть степеней свободы. Одной из главных задач при изучении вращения тела вокруг неподвижной точки является установление величин, характеризующих это движение, т. е. углов Эйлера, угловой скорости, углового ускорения, н вывод формул для вычисления скоростей и ускорений точек тела. [c.167]

При вращении тела вокруг неподвижной точки в общем случае изменяются все три угла Эйлера ф, 0 и ф. Углы Эйлера являются независимыми параметрами, или обобщенными координатами, характеризующими положение 7ела с одной неподвижной точкой относительно неподвижной системы координат. Задание трех углов Эйлера для тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, как функций времени является необходимым и достаточным для полного описания такого движения тела. [c.169]

Основой для решения задачи о движении тела вокруг непо движной точки являются динамические и кинематические уравнения Эйлера (III. 4) и (III. 5). Общее начало неподвижной системы координат Oxyz и подвижной выберем в закрепленной точке. [c.412]

Систематическое и последовательное применение методов анализа бесконечно малых к задачам механики было осуществлено впервые великим математиком и механиком Леонардом Эйлером (1707—1783), который большую часть своей творческой жизни провел в России, будучи членом открытой по указу Петра I в 1725 г. в Петербурге Российской Академии наук. В России механика начала развиваться со времен Эйлера. Творческая сила Эйлера и разносторонность его научной деятельности были поразительны. В работе Теория двилщния твердых тел Эйлер вывел в общем виде дифференциальные уравнения движения твердого тела вокруг неподвижной точки. В гидродинамике ему принадлежит вывод дифференциальных уравнений движения идеальной жидкости. Применяя метод анализа бесконечно малых, Эйлер развивает полную теорию свободного и несвободного движения точки и впервые дает дифференциальные уравнения движения точки в естественной форме. Им дана формулировка теоремы об изменении кинетической энергии, близкая к современной. Эйлером было положено начало понятию потенциальной энергии. Ему принадлелщт первые работы по основам теории корабля, по исследованию реактивного действия струи жидкости, что послужило основанием для развития теории турбин. [c.15]

Задача о движении твердого тела вокруг неподвижной точки издавна привлекала к себе внимание крупнейших механиков и математиков, Трудами Эйлера, Лангранжа, С. В. Ковалевской и ряда других ученых были разрешены некоторые важнейшие задачи о движении твердого тела вокруг неподвижной точки и, в частности, задача о движении гироскопа. Теория гироскопа является одним из интереснейших разделов динамики твердого тела как по обилию неожиданных результатов, так и по разнообразию тех приложений, которые гироскоп нашел в современной технике. Технические приложения гироскопов в настоящее время столь многочисленны и разнообразны, что привело к необходимости выделить учение об этих приложениях из общей теории гироскопов в виде особой дисциплины, которой присвоено наименование прикладной теории гироскопов. [c.696]

Уравнения движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки и их первые интегралы. Рассмотрим движение твердого тела вокруг неподвижной точки О в однородном поле тяжести. Ось 0Z неподвижной системы координат направим вертикально вверх. С движущимся телом жестко свяжем систему координат Oxyz оси которой направим вдоль главных осей инерции тела для неподвижной точки О. Координаты центра тяжести G в системе координат Oxyz обозначим а, Ь, с. Ориентацию тела относительно неподвижной системы координат будем определять при помощи углов Эйлера ф ср, которые вводятся обычным образом (рис. 104). [c.203]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...