Множество сходящееся в точке

Множество скользящих векторов называется сходящимся в тонне, если основания всех векторов множества пересекаются в этой точке. [c.29]

Пусть имеется множество из п скользящих векторов, сходящееся в некоторой точке О с радиусом-вектором гд. Очевидно, что эти векторы можно задать в виде [c.29]

Множество М, содержащееся в Е, называется замкнутым, если какова бы не была сходящаяся в пре дел последовательность точек Хп, ее предел тоже входит в М. [c.17]

Следствие Д 5.6. Пусть функция f и мера ц удовлетворяют условию леммы Д 4.10. Если / — последовательность, сходящаяся к f в С -топологии, то для этой последовательности существует последовательность инвариантных гиперболических вероятностных мер слабо сходящаяся к ц. Кроме того, носители всех мер fi могут считаться подмножествами множества гиперболических периодических точек. [c.688]

Приведем набросок доказательства. Сначала используем тот факт, что замыкание множества /, (х) < е N компактно для каждой точки х счетного плотного подмножества 5 пространства X. Диагональный процесс показывает, что существует подпоследовательность f , сходящаяся в каждой точке множества 3. Теперь можно воспользоваться равностепенной непрерывностью и показать, что для каждой точки х Х последовательность (х) является последовательностью Коши, следовательно, сходится (так как замыкание множества / (х) ,- компактно и, следовательно, полно). Снова используя равностепенную непрерывность, можем доказать непрерывность поточечного предела. Наконец, поточечно сходящаяся равностепенно непрерывная последовательность сходится равномерно иа компактных множествах. [c.698]

Если (Q)= 0, то Итр оо (Q ) = + оо. Так как множество компактно (из равенства Q = (Q = 1, справедливого для всех Q О , вытекает наличие у любой последовательности матриц из подпоследовательности, сходящейся в а функция непрерывна (1 дифференцируема по аргументу F согласно определению), мы приходим к заключению, что (Q) =0. Последнее равенство можно также получить, исходя из теории групп см. упражнение 4.3. [c.178]

Для доказательства заметим, что если О усиленно непрерывен, то он подавно непрерывен. Установим теперь, что он будет и компактным. Пусть ы — некоторое ограниченное множество в Бь Покажем, что Оы будет компактным. Пусть Оы — некоторая бесконечная часть Ссо. Очевидно, множество ы как часть ы также ограничено и, значит, в силу условия, наложенного на Б, содержит слабо сходящуюся в Б последовательность Ы], ыг, м . Очевидно, Смь. .., Сы ,. ..— сильно сходящаяся последовательность. Таким образом, Ои содержит сильно сходящуюся последовательность. Теорема 9.5 доказана. [c.65]

Из (4.1) следует, что V непусто и выпукло. Пусть (у )—сходящаяся (в топологии пространства Я (Л)) последовательность функций из 1/ и и — предел этой последовательности. Так как из (и можно извлечь подпоследовательность (которую мы по-прежнему будем обозначать через (Оп)), такую, что D vn] сходится к почти всюду в Л, то ясно, что функция V удовлетворяет условию (4.2), т. е. принадлежит V. Таким образом, V замкнуто. Мы можем поэтому применить к билинейной форме В и, и) и выпуклому множеству V теорию, построенную в предыдущих пунктах. В частности, если мы выберем /=1, [c.110]

И, наконец, мы покажем, что ф гомеоморфно отображает компактное множество и на замкнутый диск Достаточно доказать, что две различные точки г ф г на границе дП должны иметь различные образы ф г) ф ф(г ) в 9В . Предположим противное, т. е. что ф г) = ф(г ) = = = и 6 9В . Выберем последовательность точек Zj 6 II, сходящуюся к г, и последовательность точек г 6 II, сходящуюся к г. Тогда последовательности ф г ) и ф г ) сходятся к одной и той же предельной точке в 9В . Пусть Lj — прямолинейный отрезок, соединяющий в Вг точки ф г ) и ф г ), и X С ди — множество точек накопления кривых ф Ьу) при j -> 00. Тогда нетрудно показать, что X является компактным связным множеством, содержащим обе точки г и г, и что /(X) состоит из единственной точки, лежащей в II. Очевидно, это невозможно. [c.104]

Решим теперь задачу о разложении данной силы R на две параллельные. Такое разложение, как и в случае сходящихся сил, может быть проведено бесконечным множеством способов. Для определенности задачи недостаточно также задать только напряжения Р п Q слагаемых сил, ибо и это разложение может быть совершено бесконечным множеством способов, лишь бы только точки Aw В приложения слагаемых сил Р и Q удовлетворяли только что выведенному соотношению (2). [c.205]

Пусть X ф—непрерывная на замкнутом ограниченном множестве Т функция и 31 — произвольное семейство действительных непрерывных на Т функций у фа). Функция х (г") является пределом равномерно сходящейся последовательности функций из 31, если семейство 31 содержит все константы 31 образует алгебраическое кольцо (т. е. если 31 вместе с любыми двумя входящими в 31 функциями принадлежат их сумма и произведение) любым двум точкам tl 4 из Г соответствует функция, принимающая в них различные значения. Если указанные условия имеют место, то аппроксимирующие функции можно представить в виде алгебраических или тригонометрических полиномов. [c.57]

Для произвольного множества D Z Е существует операция замыкания, заключающаяся в присвоении к множеству D пределов всех сходящихся последовательностей его точек. [c.17]

Весьма часто приходится по известной абсолютной скорости точки определять ее составляющие, т. е. производить разложение абсолютной скорости. Подобно тому как задача сложения скоростей аналогична задаче сложения двух сил, приложенных к одной точке, так и обратная ей задача разложения абсолютной скорости точки на переносную и относительную скорости полностью аналогична задаче разложения силы на две сходящиеся составляющие ( 9). Решение этих задач будет правильным в том случае, когда абсолютная скорость представляет собой диагональ параллелограмма, построенного на векторах переносной и относительной скоростей точки. Так как по данной диагонали можно построить бесчисленное множество параллелограммов, то, подобно задаче разложения силы, задача разложения скорости точки в общем случае является неопределенной. Для определенности решения этой задачи требуется задание двух дополнительных условий (или направления составляющих скоростей, или модуля и направления одной из них и т. д.). [c.231]

Случаи молекул — твердых сфер также изучен довольно подробно. Для него полезная информация получается из теоремы Вейля о возмущении спектра самосопряженного оператора V при добавлении достаточно регулярного интегрального оператора /С, так что получается оператор W — V К. Согласно теореме Вейля [2—4], если К — вполне непрерывный оператор, т. е. переводит ограниченную последовательность функций gk в сходящуюся последовательность Kgk (сходимость понимается в подходящем функциональном пространстве, в данном случае в гильбертовом пространстве Ж, где норма дается формулой (1.9)), то непрерывные спектры XV и V совпадают. Таким образом, влияние К сводится к изменению дискретного спектра. Точнее говоря, остается неизменным так называемый существенный спектр (т. е. множество предельных точек спектра). [c.208]

Поскольку каждая кривая Вп(к) обладает двойной симметрией, то в верхней полуплоскости на границе О = < у, и поэтому всюду Уп1<у. Отсюда следует, что функции образуют компактное множество, из которого можно выбрать сходящуюся подпоследовательность [42, стр. 267]. Переходя к пределу, мы получаем область В с двойной симметрией, минимизирующую Р (В) при любых заданных Опт. Соответственно граница области В будет спрямляемой. Таким образом, мы доказали теорему. [c.229]

Более точно, Зигель доказал существование бесконечного счетного множества аналитически независимых степенных рядов Ф Фг,... от бесконечного числа переменных /ц,, абсолютно сходящихся при /ц, < (для всех к, з) и таких, что если точка Н Е Н сходящимся преобразованием Биркгофа приводится к нормальной форме, то в этой точке почти все Фг (кроме, может быть, конечного числа) обращаются в нуль. Функции Фг аналитичны, поэтому решения нигде не плотны в Н. Следовательно, множество точек из Н, удовлетворяющих хотя бы одному уравнению Фг = О, имеет первую категорию в смысле Бэра. Если пытаться исследовать сходимость преобразования Биркгофа в какой-либо конкретной гамильтоновой системе, придется проверить выполнение бесконечного числа условий. Для этого не известно никакого конечного метода, хотя все коэффициенты рядов Фг можно явно вычислить. [c.310]

Рассмотрим произвольную точку Р множества Mi — М[. Она является предельной точкой множества W. Поэтому существует последовательность Р , р2,. .. точек множества W, сходящаяся к Р. По теореме о непрерывной зависимости от начальных условий отсюда следует, что при всяком вещественном t последовательность Р/, РД. .. сходится к P . Так как точки Р/ также принадлежат W, ибо W состоит из кривых движения, то отсюда следует, что Pt есть предельная точка множества W. А так как Pt принадлежит Mi в силу того, что Р принадлежит Ml, то Pt принадлежит Mi — М[. [c.389]

Здесь уместно вспомнить, что по определению гильбертово ( -пространство является полным. Это означает, что любая последовательность подчиняющаяся сильному условию Коши, т. е. Н / — -> О, является в этом пространстве сильно сходящейся. Однако гильбертово пространство обладает полнотой также и в слабом смысле ([947], т. 1, стр. 71). Множество векторов называется компактным, если во всякой принадлежащей ему последовательности содержится сильно сходящаяся подпоследовательность множество векторов называется слабо компактным, если из каждой последовательности, входящей в это множество, можно выделить слабо сходящуюся подпоследовательность. Часто оказывается полезным то обстоятельство, что любое ограниченное (в сильном смысле) множество в гильбертовом пространстве является слабо компактным ([947], стр. 79). Это утверждение— слабый аналог теоремы Больцано — Вейерштрасса, которая не справедлива для гильбертова пространства в сильном смысле. Верно и обратное утверждение каждая слабо сходящаяся последовательность является ограниченной в сильном смысле ([947], стр. 71). [c.163]

Замечание. Введем в множестве 3(ё новую топологию рассматривая в качестве окрестностей ряда с коэффициентами Нн. все сходящиеся степенные ряды с коэффициентами удовлетворяющими неравенствам 1Ак,—Лк, 1<в при 1 1-Ь + 5 Л для некоторых е>0 и N 3. Можно показать, что относительно топологии множество гамильтонианов со сходящимися преобразованиями Биркгофа всюду плотно в Действительно, если в формальных степенных рядах, задающих преобразование Биркгофа, мы отбросим члены степени больше Ы, а затем подправим коэффициенты ряда данного гамильтониана при старших членах, то получим сходящееся каноническое преобразование, приводящее модифицированный таким способом гамильтониан к нормальной форме. Отметим, что топология конечно, много слабее топологии [c.255]

I и II, гарантирующие сходимость в пределе, предполагают, что при некотором размере элемента получается единственное решение. Однако при больших размерах элементов вычисление может быть неустойчивым либо может существовать множество решений но по мере уменьшения размера элемента достигается критическая точка, ниже которой получается устойчивое сходящееся решение. [c.176]

Теорема 1.3.1. (Вариньон). Пусть задано сходящееся в точке О мномсество скользящих векторов. Момент результирующего вектора относительно полюса О равен сумме моментов относительно того же полюса скользящих векторов, составляющих данное множество. [c.29]

Множество элемштов А, содержащееся в метрическом пространстве Е, называется компактным множеством, если из любой бесконечной последовательности элементов К е можно выделить частичную последовательность, сходящуюся в к некоторому пределу. Если таким свойством обладает все пространство Е, то оно назьшается компактным пространством. Компактное множество ограничою по расстоянию. [c.262]

Точки произвольно большого периода существуют, поскольку множество Fix(/ ) всегда замкнуто. В силу связности множества ар1х(/ ) 0, н в окрестности каждой точки X Э Fix(/ ) есть точки произвольно большого периода. Используя это соображение индуктивно, постройте такую сходящуюся последовательность точек растущих периодов, что все большее число нх итераций отделены фуг от дауга почти от всех членов последовательности. Рассмотрите теперь предел этой последовательности. [c.741]

Третье замечание — понятие ограниченного мнржест-ва играет центральную роль при описании топологических векторных пространств. Множество Б в топологическом векторном пространстве замкнуто, если для любой окрестности N точки О векторного пространства найдется такое действительное число Я > О, что а N. Ограниченные множества в , 25, и 25 можно охарактеризовать так. Множество с ограничено тогда и только тогда, когда все II 1г, являются ограниченными функциями на 8. Множество 8 с. 3) ограничено тогда и только тогда, когда существует фиксированное компактное множество К такое, что ш f 8 следует зирр I аК, и для каждого неотрицательного целого к найдется действительное число Ми такое, что supд ei5 /(з ) I для f 8. Множество 8 с. 8 ограничено, если для каждого / е T(f) ограничено при изменении Т в 8. Такое же утверждение справедливо, если заменить на 25 и — на 25. В дальнейшем нам понадобится лишь следующий результат, относящийся к ограниченным множествам сходящаяся последовательность обобщенных функций е 25 сходится равномерно на ограниченном множестве 25. [c.58]

Приведенные выше аргументы доказывают существование носледовательности инвариантных кривых, сходящихся к неподвижной точке. Нетрудно показать, что в окрестности неподвижной точки существует несчетное множество таких кривых. В самом деле, изложенная в предыдущих двух параграфах конструкция позволяет получить инвариантную кривую для каждого и, удовлетворяющего неравенствам (2 10). В то же время но каждой такой кривой число и однозначно определяется равенством [c.315]

Читатель помнит, что в п. 4 мы подчеркивали необходимость различать в общем случае сети и последовательности и что (опять же в общем случае) подмножество 9 топологического пространства X замкнуто лишь при условии, что для каждой сети х на сходящейся к л е Ж, точка х принадлежит подмножеству 9 . Это утверждение справедливо, в частности, для слабой операторной топологии на 8(<3 ). Итак, мы говорим о новой, секвенциально слабой операторной топологии, когда называем подмножество 8 Ж) а-замкнутым в том и только в том случае, если для каждой последовательности Я из Я , сходящейся в слабой операторной топологии к элементу Я из 33 (<3 ), элемент Н принадлежит подмножеству Я . (Напомним [320, п. 84], что всякая последовательность сходящаяся в слабой операторной топологии, с необходимостью является равномерно ограниченной.) Для любого множества 5 в Ъ Ж) обозначим через о 9 ) сг-замыкание этого множества [т. е. наименьшее сг-замкнутое подмножество в Ъ(Ж), содержащее 9 ]. Определим конкретную 2 -алгебру Ш как С -алгебру операторов, действующих в гильбертовом пространстве Ж, такую, что [c.191]

Поскольку отображение V биективно, для каждого самосопряженного элемента ЛеШ" существует самосопряженный элемент В Ш", такой, что у (В] = V [Л] v [Л ]. Поскольку же отображение (X, обратное отображению V, существует и обладает теми же свойствами, мы заключаем из этого неравенства, что В < Л2. В то же время В = ц [V [Л] ] > (ц [V [ Л]]) = Комбинируя эти два неравенства, мы получаем, что В= и, следовательно, V [Л] = V [В] = V [Л ]. Поскольку отображение V линейно, оно, таким образом, является йордановым автоморфизмом множества всех самосопряженных элементов универсальной обертывающей алгебры фон Неймана 3 1". По линейности отображение V можно продолжить до йорданова -автоморфизма всей алгебры Ш". Мы до сих пор еще не использовали предположение о том, что отображение V -непрерывно. Если V обладает ге -непрерывностью на множестве < , то его линейное расширение на Я также ге -непрерывно. Для любого элемента (но не обязательно из 9Г ) и любой сети ф элементов из Ш, сходящейся к ф в ге -топологии, величина (ф v [У ]) = (V [ф ] Я) сходится к (v[фl Я), поскольку отображение V -непрерывно. Следовательно, (фц-, [Я] сходится к <ф v [/ ]) и v [У ] — г -не-прерывный линейный функционал, действующий из ЭГ в С. Отсюда следует [91, гл. 5, 3, п. 9], что принадлежит [c.202]

Для реализации излагаемых далее алгоритмов необходимо, чтобы множество имело хотя бы одну точку. В противном случае в качестве следует взять разбиение, полученное иэ исходного путем деления сторон треугольников на 2 или 3 части и такое, чтобы хотя бы одна точка была внутри О. Через ki обозначим максимаиьное количество треугольников, сходящихся в одном узле [c.197]

Численные методы решения, которые находят все большее применение в связи с развитием и широким использованием вычислительной техники. По отношению к рассматриваемой системе дифференциальных уравнений наиболее универсальными являются конечно-разностные методы, в соответствии с которыми дифференциальные уравнения заменяются уравнениями в конечных разностях. Область, в которой производится расчет температурного поля (область О, см. 39), представляется множеством отдельных точек (сеткой) с заданным шагом по осям Ох и Оу. Для каждой такой точки уравнения в конечных разностях образуют систему аглебраиче-ских уравнений, в которые входят и значения искомых функций в соседних точках. В результате решения алгебраических уравнений получают значения искомых функций в узлах сетки, например, таблицу значений температуры в рассматриваемой области О. Важно, чтобы разностная схема задачи была устойчивой — при измельчении шага сетки последовательно получаемые таблицы решений должны сходиться к точному решению задачи (т. е. образовывать сходящуюся последовательность). При применении численных методов значительно расширяется круг решаемых задач конвективного теплообмена и появляется возможность осуществления [c.327]

Ряд Маклорена интеграла (1.17) начинается с невырожденной квадратичной формы. Конечно, уравнения Гамильтона могут допускать вырожденный интеграл. По-видимому, теорема 3 справедлива и в том случае, когда вместо непрерывно дифференцируемых интегралов вида (1.17) рассматриваются 2тг-периодические по t интегргшы, представимые в окрестности точки х = у = О сходящимися степенными рядами. Этот результат, вероятно, можно доказать методом работы [59]. Необходимо проверить, что изолированные периодические точки отображения за период возмущенной системы (1.18) составляют ключевое множество для класса функций, аналитических в окрестности начала координат. [c.318]

Ударные волны. Сходящиеся ударные волны подробно изучены теоретически и во многих случаях обнаружена неограниченная кумуляция. По этим вопросам опубликовано много работ, асимптотика для детонационной волны перед фокусировкой была впервые изучена Л. Д. Ландау и К. П. Станюковичем и описана последним в его докторской диссертации, а также в статье (1945) и в книге (1955). Интенсивность волны оказалась неограниченно растущей, откуда видно, что взрывчатые свойства материала перестают играть роль (концентрация энергии к волне сильно превосходит калорийность взрывчатки) и, следовательно, решение описывает сходящиеся волны не только детонационные, но и ударные. Эти работы положили начало изучению нового класса движений, для которых показатели степени в решениях вытекают не из размерностей определяющих величин, как, например, в широко известном решении Л. И. Седова (1944), а из условий прохождения особых точек дифференциальных уравнений задачи. Это же обстоятельство было обнаружено и описано Г. Гудерлеем (Luftfahrt-Fors hung, 1942,19 9, 302—312), работа которого стала известна у нас лишь через несколько лет после войны. В дальнейшем было поставлено и решено множество подобных задач, одна из которых подробно описана в 4 настоящего обзора (сферический пузырек в сжимаемой жидкости). [c.323]

Действительно, мы знаем, что если бесконечный ряд сходится абсолютно, то его сумма не зависит от порядка членов, которые можно, следовательно, как угодно переставлять, и после каждой такой перестановки опять получается ряд, сходящийся абсолютно. Наоборот, если ряд сходится не абсолютно, или условно, то перестановка бесчисленного множества его членов может превратить просто сходящийся ряд в абсолютно сходяи ийся, или даже в расходящийся. Поэтому, превращая разложение какой-нибудь координаты в ряд, расположенный ио степеням эксцентриситета, перестановкой членов в ряд Фурье, мы получим по свойству абсолютно сходящихся рядов ряд, также сходящийся абсолютно для всякого значения А1, иока е ие превышает предела Лапласа ё. [c.564]

R из п. 3.1 имеет непостоянную аналитическую инвариантную функцию f v,r). Можно показать, что ограничение 5 на канторово инвариантное множество Л обладает свойствами, перечисленными в предложении 5 (см. [1]). В частности, в силу непрерывности, функция /= onst на множестве Л. Из способа построения совершенного множества Л вытекает, что для любой точки (Уо, To)PQ существуют две последовательности точек из Л, сходящиеся к (уо, то) по двум независимым направ- [c.252]

Таким образом, множество w ) содержит обязательно последовательность, сходящуюся к какому-либо абсолютному минимугиу xx(w). Если же функционал 3m[w) имеет единственный минимум, то последовательность приближений, полученная по методу БГР в форме П. Ф. Папковича, к нему сходится. [c.228]

Подобным же образом, как и в только что приведенном примере, можно также показать [8], что суш ествует каноническая система дифференциальных уравнений с аналитической функцией Гамильтона Н, для которой вообще нет никаких сходящихся интегралов д(х, у), кроме самой Н и сходящихся степенных рядов относительно Н. В случае п = 2 для построения такой функции Н можно исходить опять из формул (18) и (19), но нри этом 1/q нужно заменить еще более быстро стремящейся к нулю функцией от q. Точнее, любую функцию Гамильтона с квадратичной частью i xiy + РХ2У2) произвольно малым изменением коэффициентов членов высших порядков можно превратить в такую, которая уже обладает указанным свойством, т. е. у которой отсутствуют другие сходящиеся интегралы. В связи с этим можно упомянуть теорему Пуанкаре [9]. В ней рассматриваются функции Гамильтона H z, 11), которые, кроме z, . .., Z2n, зависят еще от параметра , причем аналитически около точки = 0. Тогда теорема гласит, что при некоторых предположениях относительно H z, 0) и производной H z, 0), которые в общем случае вьшолнены, не существует других сходящихся степенных рядов по 2п + 1 переменным, . .., Z2n и /i, являющихся интегралами системы Гамильтона, соответствующей функции H(z, 11), кроме степенных рядов по самим Н ъ л. Однако в теореме Пуанкаре ничего не говорится о фиксированных значениях параметра jjL. Мы уже упоминали выше, что система Гамильтона в случае линейно независимых собственных значений Ai,. .., Л может приводиться к нормальной форме подстановкой, задаваемой расходящимся степенным рядом, если не существует п независимых сходящихся интегралов здесь мы построили такой пример. Теперь можно было бы думать, что множество чисто мнимых корней (f = 1,. .., гг), для которых преобразование в нормальную форму представлено расходящимися рядами, имеет п-мерную меру Лебега, равную нулю, как это было [c.280]

Множество НС Е нззывается компактным, если каждая его бесконечная часть содержит последовательность, сходящуюся к некоторому элементу хСЕ. Если, кроме того, этот предельный элемент х принадлежит Н, то говорят, что Н компактно в себе- [c.157]

Прежде всего приведем некоторые вспомогательные сведения. Вектор 1(г)) будем называть аналитическим по г) в области О, если все и ц) аналитичны в области О. Аналогично ыатрнчнкГ оператор В(т)) будем называть аналитическим, если аналитичны все Вгй(г1) (г, й=1, 2,... оо). Справедлива (см. [10]) следующая Теорема А. Сумма равномерно сходящегося ряда аналитических функций является аналитической функцией во всех внутренних точках того множества, на котором ряд равномерно сходится. [c.131]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...