Множество скользящих векторов

Множество скользящих векторов, для которого заданы операции преобразования к другому множеству, назовем системой скользящих векторов. Прежде чем указать набор таких операций, введем следующие понятия. [c.29]

Множество скользящих векторов называется сходящимся в тонне, если основания всех векторов множества пересекаются в этой точке. [c.29]

Видим, что всякому множеству скользящих векторов угловых скоростей можно сопоставить композицию линейных операторов. Поле скоростей, порождаемое композицией, будет равно сумме полей, порождаемых элементами этого множества. Тем самым получают смысл операции эквивалентного преобразования такого множества и возникает возможность рассматривать его как систему (см. раздел 1.3). [c.127]

Легко видеть, что М/ не зависит от выбора точки О на оси I. О методе определения М/ и о некоторых иных фактах, относящихся к понятиям момент вектора , главный момент совокупности векторов и главный момент относительно оси , см. приложение. В приложении речь идет о системе скользящих векторов. Множество сил, приложенных к разным точкам СИСтемы материальных точек, не образует системы скользящих векторов, однако приведенные в приложении результаты, касающиеся указанных выше понятий, относятся к любой совокупности векторов, в том числе и к совокупности, не являющейся системой скользящих векторов. [c.68]

Множество систем векторов называется множеством систем скользящих векторов, а каждая система векторов из этого множества — систел<ой скользящих векторов в том случае, когда, опираясь на физические соображения, можно ввести следующее соотношение эквивалентности две системы из множества эквивалентны, если любая из них переходит в другую путем добавления или отбрасывания векторных нулей. [c.346]

Задача о том, можно или нельзя в каждом конкретном случае ввести такое соотношение эквивалентности для систем векторов, не может быть решена формально, исходя из свойств этих систем векторов как математических объектов. Установление соотношения эквивалентности — новое аксиоматическое предположение, а вопрос о законности любого предположения такого рода каждый раз решается, исходя из физической сущности объектов, математической моделью которых являются рассматриваемые системы векторов. Например, интуитивно ясно, что при изучении движения (а не внутреннего состояния) твердого тела к совокупности сил, действующих на это тело, можно добавлять (или от нее можно отбрасывать) две силы, равные по величине н действующие вдоль одной и той же прямой в противоположные стороны. Поэтому множество векторов, изображающих систему сил, действующих на твердое тело, образует систему скользящих векторов. Легко видеть, однако, что совокупность сил взаимного притяжения, приложенных к двум разным телам, не составляет системы СКОЛЬЗЯЩИХ векторов, так как хотя силы взаимного притяжения всегда образуют векторный нуль, их отбросить нельзя, поскольку движение тел зависит, в частности, и от этих сил. [c.346]

МОЖНО перемещать любой вектор системы вдоль линии его действия. Чтобы показать это, рассмотрим, например, множество из трех векторов (рис. П. 11, а), предположив, что это множество составляет систему скользящих векторов. Выберем произвольную точку О на линии действия какого-либо из векторов системы, например первого, и приложим в этой точке векторный нуль, составленный из векторов / и равных по величине вектору / и действующих вдоль той же прямой (рис. П. 11, б). [c.347]

Поэтому отбрасывание от рассматриваемого множества векторов Ых,. .., двух таких векторов, образующих векторный нуль (или добавление двух таких векторов), не изменяет абсолютной скорости любой точки -Й системы относительно нулевой. Эти физические соображения показывают, что в данном случае имеет место соотношение эквивалентности при добавлении и отбрасывании векторных нулей следовательно, векторы (Oj,.... .., й) образуют систему скользящих векторов, и к ним полностью относится все, что было установлено выше для такой системы векторов. [c.361]

Пусть имеется множество из п скользящих векторов, сходящееся в некоторой точке О с радиусом-вектором гд. Очевидно, что эти векторы можно задать в виде [c.29]

Доказательство. Пусть основания всех тг скользящих векторов множества пересекаются в точке О. Представим скользящие векторы в виде [c.29]

Присоединение или исключение множества из двух скользящих векторов с общим основанием и результирующим нулевым скользящим вектором. [c.30]

Пример 1.7.1. Предположим, что к точкам приложены параллельные скользящие векторы силы тяжести и,- = т д]и, где д — ускорение свободного падения, к — единичный вектор вертикали. Тогда центр масс дает точку приложения результирующего вектора таких сил. Вследствие того, что центр масс не зависит от ориентации вектора к, существует простой способ экспериментального определения расположения центра масс в твердом теле, рассматриваемом как множество точечных масс. Подвесим такое тело на нити, закрепив ее в какой-либо точке тела. После того как тело перестанет качаться, отметим в нем прямую, служащую продолжением нити. Центр сил тяжести (см. 1.6) совпадает с центром масс, и поэтому центр масс обязан принадлежать полученной прямой. Закрепим теперь нить в другой точке тела и повторим операцию. Тогда центр масс будет точкой пересечения этих прямых.О [c.42]

Известно, что относительное движение звеньев, вращающихся вокруг скрещивающихся осей с угловыми скоростями i и <02, является винтовым, т. е. может быть представлено как вращение вокруг мгновенной винтовой оси (оси мгновенного вращения-скольжения) с одновременным скольжением вдоль этой оси. Определение винта относительного движения по заданным скользящим векторам единственное решение, т. е. для звеньев, вращающихся вокруг скрещивающихся осей, существует лишь одна мгновенная винтовая ось. Обратная задача — нахождение векторов Ш] и 2 по заданному винту относительного движения — имеет бесчисленное множество решений, т. е. можно подобрать бесчисленное множество пар осей, вращение вокруг которых сводится к одному и тому же винту относительного движения. Каждая из этих пар осей называется сопряженной данному винту или парой осей составляющих вращений. Для одной точки контакта сопряженных поверхностей из бесчисленного множества пар осей составляющих вращений можно выбрать ту, через которую проходит общая нормаль к сопряженным поверхностям. Однако в общем случае каждой точке контакта соответствует своя пара осей составляющих вращений. Осями зацепления эти пары осей будут лишь в том случае, если они пересекаются общей нормалью к сопряженным поверхно стям в любой точке контакта. Другими словами, положения осей зацепления не зависят от положения контактной точки. [c.407]

Приведение к двум векторам. Система скользящих векторов может быть заменена бесчисленным множеством способов двумя векторами, из которых один проходит через произвольную точку. [c.34]

И.ч предположения, что к множеству векторов можно прибавлять (или что от него можно отбрасывать) векторные нули, следуе , что понятие точка приложения вектора теряет смысл. Обратное утверждение неверно. Если определить систему екольяящих векторов как множество векторов, лишенных точек приложения и определяемых лишь величиной, направлением и линией действия, то из такого определения не следует возможность отбрасывать или добяплпть векторные нули (вспомните пример с двумя взаимно притягивающимися телами ). Все развиваемые далее теоремы о системах скользящих векторов опираются на возможность добавлять и отбрасывать векторные нули. Поэтому для того, чтобы проверить, изображается ли некоторое множество векторных объектов системо скользящих векторов, надо проверить, не изменятся ли изучаемые механические явления, если добавить или отбросить векторный нуль. [c.347]

Из физических соображений ясно, что в этом случае добавление и отбрасывагте векторного нуля правомерно. В самом деле, две силы, ириложенные к твердому телу и образующие векторный нуль, лишь растягивают либо сжимают тело. Они могли бы вызвать деформацию тела (если бы не предполагалось, что оно абсолютно твердо), но заведомо не влияют на его движение. Действительно, с одной стороны, движение центра инерции тела зависит лишь от главного вектора внешних сил, а с другой стороны, в уравнения Эйлера, описывающие движение тела относительно центра инерции, входят главные моменты всех внешних сил. Добавление или отбрасывание двух сил, образующих векторный нуль, не меняет ни главного вектора, ни главного момента системы сил и, следовательно, не отражается на движении тела. Поэтому множество векторов, изображающих любую совокупность сил, приложенных к твердому телу, является системой скользящих векторов, и теоремы, установленные в предыдущем параграфе, могут быть применены к системе сил, приложенных к твердому телу. [c.360]

Система угловых скоростей при движении п систем отсчета. Рассмотрим п систем отсчета, движущихся одна относигельно другой (см. 5 гл. I). Перенумеруем как-либо эти системы (считая неподвижную систему отсчета нулевой) и временно ограничимся случаем, когда каждая i-я из них в рассматриваемый момент совершает относительно предыдущей (г—1)-й системы мгновенное вращение с угловой скоростью о) . Множество векторов ft)i,. .., ()) составляет систему скользящих векторов. Чтобы показать это, рассмотрим мгновенное враще1П1е двух систем отсчета с угловыми скоростями o)i и предположив, что векторы ft)i и (О., лежат на одной прямой и направлены в противоположные стороны, а их модули равны, так что (0.2 = — ш,. Если принять движение с угловой скоростью to, за переносное, а с угловой скоростью —за относительное, то скорость точки а в абсолютном движении (см. гл. 1) будет равна [c.361]

Когда А принимает произвольные действительные значения, получим множество векторов АдВд, каждый из которых имеет начало в точке А и конец в точке Вд. Все векторы, принадлежащие этому множеству, отнесем к одному и тому же классу эквивалентности, который назовем скользящим вектором и обозначим (ОА,и). [c.25]

Теорема 1.3.1. (Вариньон). Пусть задано сходящееся в точке О мномсество скользящих векторов. Момент результирующего вектора относительно полюса О равен сумме моментов относительно того же полюса скользящих векторов, составляющих данное множество. [c.29]

Замена множества сходящихся скользяшдх векторов соответствующим результирующим скользящим вектором. [c.30]

Полюсов, подобных с, бесконечное множество все они лежат на прямой СС ггроходящей через выше построенную точку С и параллельной главному вектору (см, 14). Прямая эта носит название центральной оси системы скользящих векторов. Уравнение центральной оси можно написать, опираясь на построение, выполненное в предыдущем параграфе (фиг. 24), Радиус-вектор г произвольной точки М оси, очевидно, может быть выражен следующим образом [c.22]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...