Коши последовательность

Одновременно с Навье и Пуассоном уравнениями равновесия упругого тела занимался и Коши. Но исследования Коши по своему методу существенно отличаются- от исследований Навье и Пуассона. В работах Коши последовательно используются понятия напряжения и относительных деформаций, представления о поверхности напряжений и поверхности деформаций, представления о главных напряжениях и главных относительных удлинениях и основная гипотеза [c.18]

Если решается нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение, то решение краевой задачи можно свести к решению нескольких задач Коши, последовательно вводя в начальные [c.93]

Как и в методе Эйлера—Коши,последовательные вычисления значений и г производятся обязательно одновременно для обеих искомых функций. [c.260]

Увеличивая последовательно сферы, строят другие необходимые точки линий пересечения. Наибольший радиу с Кош сферы равен расстоянию от центра сфер 0(0г) до наиболее удаленной точки пересечения очерков (в примере - Di). В примере многие параллели построены не полностью, чтобы не загромождать изображение лишними линиями, а в инженерной работе ограничиваются необходимыми засечками. Полученные точки соединяют плавной кривой линией. [c.188]

Будем говорить, что эта последовательность сходится по Коши, если [c.68]

Можно доказать, что если R — полное пространство, то сходимость по Коши есть необходимое и достаточное условие сходимости последовательности Х),, т. е. в этом случае существует элемент Ь R. такой что [c.68]

Можно начать решение этой последовательности задач Коши для k= , 2, если учесть, что [c.110]

Пусть теперь ы и а заданы на дуге АВ некоторой кривой, которая ни в одной точке не имеет характеристического направления, и нужно определить решение в окрестности АВ (задача Коши). Выберем на АВ ряд точек А, а, Ь,. .., с, В (рис. 2.2, а) и проведем через каждую из них характеристики обоих семейств. В точках их пересечения d, е,. ..., f описанным выше способом можно вычислить искомые функции. Зная решение в этих точках, можно продвинуться еш,е на один слой и т. д., пока не вычислим решение в точке С. Таким образом, последовательно определяем решение и одновременно выстраиваем характеристиче [c.48]

Авторы справочника [124] отмечают, что к настоящему времени насчитывается свыше 50 приближенных методов решения уравнения (23.5), которые можно разделить на три группы аппроксимации, конечных разностей и интегральные. Методы аппроксимации основаны на замене непрерывной неоднородности участками с постоянными параметрами упругости или с законами г), для которых известны точные решения. Наиболее употребителен при таком подходе способ, основанный на идее метода начальных параметров. Метод конечных разностей может применяться, очевидно, в любой трактовке с использованием различных приемов уточнения решения. В ряде работ задача сводится к интегральному уравнению, которое решается методом последовательных приближений. При использовании ЭЦВМ эффективное решение можно получить методом Рунге—Кутта, сведя предварительно краевую задачу (23.3), (23.5) к задаче Коши, При граничных условиях (23.3) легко построить решение методом Бубнова—Галеркина, приняв функцию X в виде [c.115]

Основная проблема ири использовании этого метода состоит в обеспечении устойчивости и допустимой погрешности разностной схемы. Для дифференциальных уравнений задача Коши, когда заданы начальные значения всех искомых функций, сводится к рекуррентным формулам для последовательности значений в узлах, начинающейся от начальных значений. Такая схема называется явной. Краевые задачи приводят к решению системы алгебраических уравнений — неявная схема. Обычно решение нетрудно реализовать в виде программы для ЭВМ, однако требования к объему располагаемой памяти и скорости выполнения операций оказываются весьма жесткими. [c.83]

Для достижения хорошей точности требуется значительное число полос. Кроме того, при задании краевых условий решение краевой задачи для большой системы обыкновенных дифференциальных уравнений представляет известные трудности. Метод прямых применяется для расчета динамики простейших моделей парогенераторов, составленных из последовательно соединенных детектирующих звеньев без обратных связей, так что для каждого звена достаточно решить одну-две задачи Коши [Л. 81]. [c.351]

Возможность такого решения на первый взгляд противоречит эллиптическому характеру уравнений и принятой постановке краевой задачи. В самом деле, последовательность вычислений напоминает решение задачи Коши. Решение во всей области мы найдем, исходя только из заданных функций во входном сечении I—1 и (что существенно) используя условия на ограничивающих стенках г = (д, rJ) [c.329]

Процесс решения задачи Коши включает две операции с некоторыми последовательными действиями. [c.20]

Эти )фавнения в точности совпадают с уравнениями для приращений метода последовательных нагружений, построенными В.В. Петровым [276]. Изложенный здесь подход с точки зрения метода продолжения решения по параметру, позволяющий легко строить различные уточненные (как явные, так и неявные) вычислительные схемы интегрирования задачи Коши и варьировать параметры продолжения, дан в работах [173, 348]. Уточненные схемы метода последовательных нагружений предлагались также в статьях [176, 14, 177, 181, 180]. Подробное изложение метода последовательных нагружений и полученных с его помощью результатов дан в монографии [284]. [c.183]

Уточненная схема последовательных нагружений, аналогичная схеме интегрирования задачи Коши по параметру модифицированным методом Эйлера, использована в статье [20]. [c.187]

Простейшая явная схема интегрирования задачи Коши (I.S.2) методом Эйлера соответствует методу последовательных нагружений [c.191]

Математическое обеспечение метода ортогональной прогонки. Рассмотренный метод решения краевых задач и вычисления матриц жесткости для систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка основан на последовательном решении задач Коши, т. е. связан с численным интегрированием системы п обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка [c.155]

Рассмотренная нелинейная двухточечная краевая задача сводилась к последовательности задач Коши, которые решались методом стрельб . [c.129]

Как показано в [65], подход, основанный на применении интегралов типа Коши, может быть использован также при решении краевых задач линеаризованной плоской теории упругости для многосвязных областей. Для таких задач может быть применен метод, известный в литературе [41, 63, 65, 135] как метод последовательных приближений Шварца. Этот метод представляет собой итерационный процесс, на каждом шаге которого решается граничная задача для односвязной области, ограниченной одним из контуров, составляющих границу Г данной многосвязной области, причем от шага к шагу номер контура меняется. В более общем виде (без привязки к методу Колосова-Мусхелишвили) метод Шварца рассмотрен в приложении IV. Сходимость этого метода для плоских задач теории упругости доказана [85. [c.80]

Найдем величины v b) и v b), для чего последовательно решим задачу Коши (6.1), (6.2) при г = 1 и аналогичную задачу при г = 2, когда начальные условия типа (6.2) заданы при х = с. [c.224]

В том же томе своих Математических упражнений Коши пытался построить уравнения для анизотропного упругого тела, используя молекулярную модель. Путем более сложных, но не более строгих рассуждений, уступающих в ясности краткому мемуару Навье, он получил уравнения для анизотропного тела с девятью упругими постоянными (здесь же не вполне последовательно и без должного обоснования он получил из молекулярной модели и классические уравнения для изотропного тела с двумя упругими постоянными). [c.50]

Отметим, что данную схему решения задачи Коши (4.78), (4.84) можно применить на этапе выполнения конкретного динамического маневра, когда одна соответствующая краевая задача разбивается на несколько последовательных краевых задач. В каждой из этих краевых задач недостающие начальные условия находятся путем поочередного подбора. [c.133]

Компактное множество 56 Коши последовательность 120 Кошн — Римана условия 84 [c.250]

Численные алгоритмы, основанные на методе характеристик имеют ярко выраженную модульную структуру. Они заключаются в последовательном выполнении более простых алгоритмо (модулей), предназначенных для вычисления решения во внутренних и различного рода граничных узлах характеристической сетки. В предыдущем параграфе были приведены такие алгоритмы для некоторого класса гиперболических уравнений газовой динамики. Зная, как с помощью метода характеристик определить решение в точке, можно решать некоторые типичные для гиперболических уравнений задачи. К таким задачам относятся задача Коши, задача Гурса и смешанная задача. Схемы решения их методом характеристик и алгоритм решения описаны в 2.2. Алгоритмы решения задачи Коши, Гурса и смешанной задачи можно рассматривать как модули более высокого уровня (макромодули). [c.125]

Для диафрагмы без жесткого центра, нагруженной только давлением, расчет последовательных положений диафрагмы при различных давлениях может быть выполнен прямым решением задачи Коши без поиска начального параметра. Это оказывается возможным потому, что в уравнения (8.8) не входят толш,ина мембраны и другие ее абсолютные размеры. [c.370]

При расчете методом начальных параметров двухточечная краевая задача для элемента или конструкции из последовательно сопряженных элементов сводится к задаче Коши [2]. Начальные данные для нее определяются из системы алгебраических уравнений, порядок которой совпадает с порядком исходной системы дифференциальных уравнений и не зависит от числа элементов в конструкции. Хотя при относительно большой длине оболочек здесь также накапливается погрешность, однако структура метода начальных параметров позволяет, во-первых, анализировать скорость ее накопления и, во-вторых, указать удобный способ снижения этой погрешности до требуемой величины. Анализ численной процедуры метода показьшает, что начальный вектор для задачи Коши всегда получается с машинной точностью. Решение задачи Коши проводится путем последовательного перемножения матриц перехода для элементов конструкции на начальный вектор с получением нового начального вектора. Накопление погрешности происходит на этом этапе расчета конструкции при большой ее длине. Для сохранения требуемой точности расчет конструкции проводится последовательными участками, частично налегающими друг на друга. Длина каждого участка должна не более чем вдвое превышать длину, при которой в мантиссе машинного числа сохраняется достаточное число верных значащих цифр. Расчеты, выполненные на ЭВМ с различной разрядностью чисел, показьшают, что эта длина более чем на порядок превышает интервал которым оценивается качественное различие между короткой и длинной оболочками. При расчете каждого последующего участка используются начальные данные, полученные в расчете предьщущего участка. [c.46]

Для решения задачи Коши для уравнения Лапласа может быть применен рассмотренный выше альтернирующий итерационный процесс, экви-валетнтный методу последовательных приближений для решения интегрального уравнения второго рода. Рассмотрим область К, на части границы которой S заданы распределения температуры T(s) и теплового потока [c.80]

Численная реализация решения задачи Коши для уравнения Лапласа, как и для рассмотренной выше задачи для уравнения Ламэ, может быть осуществлена посредством применения альтернирующего итерационного процесса или метода последовательных приближений для соответствующего интегрального уравнения. Необходимо отметить, что непосредственное применение альтернирующего итерационного процесса представляет [c.82]

Вернемся к вопросу о законности замены граничных условий (П. 14.3) на граничные условия вида (П. 12.3). Исходя из последних, мы свели в конечном итоге задачу Дирихле к некоторой последовательности задач Коши, но на пути к этому результату надо было для определения граничных значений функций интенсивности ф решать систему алгебраических линейных уравнений (П. 13.8) с определителем Вандермонда, поведение которого хорошо известно. Система алгебраических уравнений для определения граничных значений (р получится и н случае, когда граничные условия имеют более общий вид, однако исследование определителя станет уже нетривиальным. Для того чтобы он оказался отличным от нуля, надо правильно подобрать числа а и Ь. введенные формулами (П. 13.1). Здесь возникает много вариантов, связанных с большим разнообразием граничных условий теории оболочек, а соответствующие результаты, в сущности, повторяют те, которые уже были получены в части IV. На подробностях мы останавливаться не будем. [c.504]

В рамках метода конечных элементов метод продолжения решения впервые был применен, по-видимому, в работе [529]. На основе идеи последовательных нагружений предложено для определения приращений обобщенных координат строить касательную матрщу жесткости с использованием полученных на предыдущем шаге значений координат и усилий. Этот подход, по существу, равносилен интегрированию задачи Коши по параметру нагрузки методом Эйлера. [c.184]

Отметим также раннее использование идеи продолжения решения по параметру нагрузки в статьях [200,201] для решения нелинейных алгебраических уравнений, порохщенных применением вариационных методов к нелинейным уравнениям теории оболочек. В [200] последовательнью нагружения сочетаются с экстраполяцией по параметру нагрузки, что является одной из возможных явных схем интегрщ)ования задачи Коши, по параметру. В работе [201] предлагается на каждом шаге получать решение методом последовательных приближений, что соответствует одной из возможных неявных схем интегрирования начальной задачи. Эти подходы обобщены в монографии [199]. [c.184]

Применительно к расчету вантовых систем на основе непрерывной модели уравнения в приращениях и интегриров е задачи Коши по параметру в форме последовательных нагружений (простой метод Эйлера) использовались в работах [247, 230]. М.Н. Скуратовский [309, 310] показал, что в областа эллиптичноста уравнений вантовой сета (тл. когда все усилия в сета растягивающие) ломаная Эйлера сходится к интегральной кривой задачи Коши при уменьшении шага последовательных нагружений. Метод продолжения решения в форме Давиденко применен в работах [440,274,275] к расчету вантовоч тержневых систем. [c.186]

Так, явная схема типа метода Эйлера для интегр1ф0вания задачи Коши по параметру нагрузки в форме метода последовательных нагружений ис-полиована в работах [485,316,545,426,373,380]. [c.193]

Для его квазистатического расчета, проведенного С. С. Прасни-ковой [56], были использованы зависимости из 1 при заделке (1.21) на нижнем основании (з = вг) и скользящем шарнире (1-24) на верхнем (J = Si). Решение полученной нелинейной краевой задЭг-чи сводилось к рассмотрению последовательности задач Коши для одной и той же системы уравнений. В качестве ведущего параметра была выбрана монотонно изменяющаяся величина—осадка верхнего основания Д. [c.126]

Уравнение Ринкати у = Р (х) у -f--Ь ( (л) (/ + / (д ), вообще говоря, не интегрируется в квадратурах (т. е. нахождение его решения не мол<ет быть сведено к ряду последовательных интегрирований), но решение существует в силу теоремы Коши. Если известно одно частное решение Уу (х), то подстановка у = г/, + г приводит к уравнению Бернулли относительно г. [c.46]

Поставим задачу об исследовании возможных способов выбора функций F(x, t), содержащих произвольные функции от t и обеспечивающих последовательное нахожде ние коэффициентов (t). Наличие в базисной функции F(x, t) произвольных функций от t делает возможным использование (4) не только для решения задач Коши, но и для решения смешанных задач при наличии краевых условий, которые можно удовлетворить, ограничиваясь конечным отрезком ряда в (4) и выбирая соответствующим образом произвольные функции, входящие в F(x, t). Кроме того, если бы удалось найти широкий набор функций Р х, t), например, убывающих при х оо, то можно было бы использовать отрезки рядов (4) для решения задач в полуограниченных областях, а произвольные функции подбирать из каких-либо условий, обеспечивающих достаточно быструю сходимость ряда (4). [c.218]

В механике жидкости и газа, напротив, был получен ряд важных общих результатов. Так, было введено четкое понятие давления в идеальной жидкости (И. Бернулли, Л. Эйлер), разработаны некоторые общие положения гидравлики идеальной жидкости, в том числе получены уравнение Бернулли (Д. и И. Бернулли, Л. Эйлер) и теорема Борда. Наконец, благодаря главным образом трудам JI. Эйлера были заложены основы гидродинамики идеальной (капельной и сжимаемой) жидкости. Замечательно, что уравнения гидродинамики были построены Эйлером при помощи вполне современного континуального подхода. Тут к его результатам трудно что-либо добавить ив 47 наши дни (конечно, если не касаться термодинамической стороны вопроса). Однако блестящая по стройности построения общая гидродинамика идеальной жидкости оказалась в XVIII в. лигпенной каких-либо приложений, если не считать акустики, опиравшейся в то время на представления И, Ньютона, эквивалентные предположению об изотермичности процесса распространения звука. Опередивйхие более чем на век требования времени, континуальные представления Эйлера в гидродинамике идеальной жидкости нуждались лишь, казалось бы, в небольшом обобщении — последовательном введении касательных напряжений,— для того чтобы обеспечить построение основ всей классической механики сплошной среды. Но, по-видимому, именно опережение Эйлером своей эпохи и практических запросов того времени повлекло за собой то, что толчок к дальнейшему развитию механики сплошной среды дали только через три четверти века феноменологические исследования, основанные на молекулярных представлениях. Чисто континуальный подход, основанный на идеях Эйлера и Коши, был последовательно развит англ [йской школой в 40-х годах и завоевал полное признание только в последней трети XIX в. [c.47]

Будем исходить из формулы Кошн (3.7). Докажем, что таблица (3.8) является аффинным ортогональным тензором второго ранга. Для этого надо найти формулы преобразования Т(й при переходе от одной системы координат х, у, г к другой х, у, г Обозначим орты координатных осей соответственно через 1 к и V,, к. Вспомним таблицу (7.1) гл. I для направляющих косинусов и будем пользоваться формулой Коши, выбирая за п последовательно к. Получим [c.52]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...