Лебег

Прежде чем перейти к доказательству равенства (4.1), установим так называемую лемму Римана — Лебега. Она состоит в утверждении [c.64]

Теорема ([178]). Существует множество второй категории 1, г>2, такое, что если то верно следующее для любого х>0 существует 6>0 и открытое подмножество так что а) мера Лебега меньше, чем х6 в) если [c.142]

Эти гипотезы не доказаны. Более того, общепринятого определения аттрактора не существует. Проблема предельного поведения траекторий исследуется с двух сторон. С одной стороны, определения аттрактора даются так, чтобы каждая диссипативная система (для простоты ниже речь идет именно о таких системах) имела аттрактор. При этом аттрактор не должен содержать лишних точек и должен совпадать с тем пространством установившихся режимов , которое наблюдается в численном или натурном эксперименте. Например, максимальный аттрактор диссипативной системы — пересечение всех сдвигов поглощающей области преобразованиями фазового потока за положительное время — может быть гораздо шире пространства установившихся режимов . На рис. 58а показана динамическая система с поглощающим кольцом, максимальный аттрактор которой — окружность, содержащая два положения равновесия — седло и узел. Фазовые кривые стремятся к седлу из множества начальных условий меры нуль почти все (в смысле меры Лебега) фазовые кривые стремятся к узлу, который и следует считать физическим аттрактором . [c.156]

Заметим еще, что на основании ограничений, наложенных на функции к t) ш g t), и теоремы Лебега о предельном переходе под знаком интеграла справедливо равенство [c.76]

Некоторым примером приложения интеграла Лебега может служить задача определения площади быстро колеблющихся кривых (фиг. 38). Закон изменения множества наибольших F (х) и наименьших ф(х) ординат кривой f (х) указан на чертеже штриховыми линиями. Разделив промежуток F (Xq)—f (Xj) на п = 7 [c.67]

Простейшими примерами ДС могут служить каскад и поток, определяемые одной и той же ф-лой T x=Fr(x + tix), где х — точка п-мерного единичного куба п>1 а — векторный параметр, а Fr(x+ tx) =. v- -ra- [x + tкомпонент вектора х+1<х (из каждой компоненты га, вычтена её целая часть В качестве инвариантной меры берётся я-мерный объём (мера Лебега). Отождествляя К" с и-мерным тором (при и = 1—с окружностью), говорят, что ДС порождена сдвигами на торе (поворотами окружности), Траектории этой системы образуют обмотку тора (рис. 1, на к-ром п = 2), причём [c.626]

Другая ДС (каскад) Г с тем же фазовым пространством определяется ф-лой 7 дг=Рг( лс), где А — произвольная квадратная матрица п-го порядка с целочисленными элементами и определителем, равным 1 (условия, наложенные на А, гарантируют взаимную однозначность Г и инвариантность меры Лебега). Преобразование Г наз. автоморфизмом тора. [c.626]

Ещё один пример преобразование единичного квадрата X= (xi, Х2) 0 X1, с мерой Лебега, к-рое можно [c.626]

В приведённом выше определении ДС инвариантная мера играет не меньшую роль, чем сама группа преобразований замена меры может резко изменить свойства системы. Если задано лишь нек-рое семейство преобразований пространства X, то возникает вопрос о существовании хотя бы одной, прежде всего вероятностной, инвариантной меры. Иногда он решается относительно просто. Так, по теореме Крылова — Боголюбова всякое непрерывное преобразование компактного метрич. пространства обладает вероятностной инвариантной мерой, а по Лиувилля теореме мера Лебега (фазовый объём) инвариантна относительно любой гамильтоновой системы (хотя, в последнем случае мера всего пространства бесконечна, на гиперповерхности постоянной энергии может индуцироваться конечная мера). Иногда вероятностная инвариантная мера единственна. Это имеет место, напр., для каскада, порождённого поворотом окружности Г д =Рг(х- -сс), где а — иррациональное число, В др. случаях существует бесконечно много инвариантных вероятностных мер. Одна из пробле.м Э. т.— изучение инвариантных мер, принадлежащих како-.му-либо заранее выбранному классу. Пример такого класса— все инвариантные меры с фиксиров, совокупностью множеств меры О (такой же, как у заданной, не обязательно инвариантной меры) другой пример—инвариантные меры, удовлетворяющие вариационному принципу (см, ниже). [c.626]

Предположим, что функции являются квадратично суммируемыми, т. е. существует интеграл (по Лебегу) [c.26]

Понятие интеграла по Лебегу является более общим, чем обычное понятие интеграла по Риману. В отличие от интеграла Римана интеграл Лебега существует практически для Каждой ограниченной функции. При этом всякая функция, интегрируемая по Риману, необходимо интегрируем и по Лебегу и оба ее интеграла равны между собой. Подробнее см. [1]. , [c.26]

Предположим, что векторные функции являются квадратично суммируемыми по Лебегу, т. е. существует интеграл [c.28]

Использование того факта, что все малые знаменатели (т. е. числа к, м)) для большинства по мере Лебега [187] иррациональных частот м,, (02, п удовлетворяют некоторым оценкам снизу. В частности, почти все (в смысле меры Лебега) частотные векторы м удовлетворяют оценке [c.240]

Для нестационарных задач дифракции метод разделения переменных в полном виде неприменим, поскольку отделить временную переменную прямо не удается. Большое распространение получил метод неполного разделения переменных [81], когда время исключается при помощи интегрального преобразования (в некоторых случаях интегральному преобразованию подвергается и пространственная координата), а затем в полученных уравнениях проводится разделение переменных. Как правило, используется интегральное преобразование Лапласа или Фурье [3]. Преобразование Лапласа функции f(t), интегрируемой в смысле Лебега на любом открытом интервале, задается с помощью интегральной формулы [c.68]

Мера по Лебегу была бы более подходящим термином. [c.364]

Колмогоров А. Н. Новый метрический инвариант транзитивных динамических систем и автоморфизмов пространств Лебега Ц ДАН СССР,- [c.403]

Еще одной причиной, вызывающей зависимость с от времени, является механическое разрушение материала вблизи кончика трещины. С этим, вероятно, связано, изменение констант разрушения Omli и Г и, возможно, коэффициента податливости D2, которые входят в уравнение (5.55). В некоторых случаях с можно адекватно охарактеризовать через меру Лебега для локальных напряжений. Этот способ рассмотрен в следующем разделе Применяя такого рода предположения относительно коэффициента с, можно моделировать присущее композитам [27, 36] сложное изменение статической прочности после усталостного нагружения. [c.214]

Прежде чем переходить к рассмотрению этих теорем, приведем некоторые сведения об интегрировании по точечным множествам. При этом нам придется пользоваться понятием о мере Лебега точечного множества вместо более простого представления об объеме (протяженности), которым мы удовлетворялись до сих пор. В соответствии с этим в дальнейшем (до конца 22.17) мы будем рассматривать интегралы Лебега, а не интегралы Рнмана, которыми обычно пользуются в других разделах классической динамики. [c.442]

Рассмотрим твердое тело, масса которого распределена по кривой, поверхности или объему обозначим через р плотность массы, зависящую, вообще говоря, от точки. Введем для краткости элемент массы dm=pdx, где d% — элемент дуги, площади или объема соответственно (более общо говорить о мере Лебега dm тогда охватывается и дискретное распределение масс). В произвольной декартовой системе координат Oxyz в случае, например, пространственного распределения масс dm=p x, у, z)dxdydz. Условимся писать сокращенно [c.202]

Квадартично интегрируемой на множестве D точек г, т называют действительную или комплексную функцию /(г, т), если существует в смысле Лебега интеграл [c.208]

Интегрирование по методу весовой линии применимо не только к интегралам Римана, но также и к интегралам Стильтьеса — Лебега. [c.64]

Если мпожоство возможных исходов не дискретно, а континуально, то В. Р(А) события А определяют как отношение меры Лебега подмножества благоприятных исходов к море Лобо1 а множества всех исходов. [c.261]

МАТЕМАТЙЧЕСКИИ МАЯТНИК — см. Маятяик. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ (среднее значение) случайной величины — числовая характеристика случайной величины, Если X = Х(ш) — случайная величина, заданная на вероятностном пространстве (П, К, Р) (см. Вероятностей теория), то её М. о. МХ (или ЕХ) определяется как интеграл Лебега [c.62]

ФРАКТАЛЫ—множества с крайне нерегулярной разветвлённой или изрезанной структурой. Термин Ф. предложен Б. Мандельбротом (В. Mandelbrot) [1 ], хотя подобные объекты изучались в математике с кон. 19 в. Простейшим примером Ф. является канторово множество, к-рое строится следующим образом. Из отрезка [О, 1 ] выбрасывается центр, часть длиной /з- Из полученных двух отрезков [О, 1/3] и [2/3,1] также выбрасываются центр, части, составляющие /з длины отрезков, и т. д. В пределе получается нигде не плотное множество, имеющее мощность континуума и нулевую длину (меру Лебега). Процесс по- [c.371]

Свойства ДС, к-рые можно выразить в терминах спектра, наз. спектральными к служат предметом спектрального направления Э.т. Так, эргодичность каскада Г равносильна отсутствию у оператора II к,-л. собственных ф-ций с собственным значением единица , кроме постоянных все другие собственные подпространства этого оператора в эргодич. случае также одномерны и состоят из постоянных по модулю ф-ций. Слабое перемешивание — это отсутствие собств. значений, отличных от единицы в этом случае говорят, что система имеет непрерывный спектр. Перемешивание также является спектральным свойством. Однако для К-свойства это уже неверно. Все К-системы имеют один и тот же — счётнократный лебегов-скин спектр, но известны ДС с таким же спектром, не являющиеся К-системами. Для систем с дискретным спектром (когда собств. ф-ции образуют базис в ситуация обратная всякая такая система однозначно (с точностью до изоморфизма) определяется своим спектром (фон Нейман, 1932). Пример системы с дискретным спектром — семейство сдвигов на торе. [c.630]

Наглядное представление о смысле понятия энтропии (допускающее для нек-рых классов ДС строгое обоснование) можно получить следующим образом. Пусть Т ] эргодич. каскад, фазовым пространством к-рого служит двумерная область, а инвариантной мерой —площадь (мера Лебега). Применив преобразование Т к кружку В малого радиуса е, получим множество Т В той же площади, но, возможно, др. формы. Если энтропия положительна, то граница области Т В с ростом t будет становиться всё более извилистой, нерегулярной. Величину этой нерегулярности можно измерить площадью s-окрестности множества Т В при не очень больших t (порядка 1пе она увеличится по сравнению с площадью В примерно в ехр(йг) раз, где h—энтропия каскада. При А = 0 эта площадь растёт медленнее, чем экспоненциально, или не растёт совсем. В неэргодич. случае фазовое пространство разбивается на инвариантные части Ai,...,A , в каждой из к-рых может быть свой показатель скорости, а энтропия получается усреднением этих показателей с весами ц( ,), i= Отсюда видно, что энтропия характеризует ско- [c.630]

Кроме энтропии в Э.т. существует ещё одно понятие, близкое к ней по смыслу, но непосредственно не связанное с инвариантной мерой. Речь идёт о топологич. энтропии— числовой характеристике топологич. ДС. Такая система представляет собой группу или полугруппу непрерывных преобразований метрич. пространства X. Задав на X вероятностную меру ц, инвариантную относительно рассматриваемого семейства преобразований, получим ДС в смысле Э. т. Эта система имеет энтропию h , зависящую, вообще говоря, от ц. Ехли фазовое пространство X компактно, то supA по всем инвариантным мерам совпадает с топологич. энтропией А, р. Отсюда следует, что А, р является инвариантом непрерывного изоморфизма топологич. ДС если между фазовыми пространствами двух таких систем имеется взаимно однозначное соответствие, при к-ром каждому борелевскому множеству в одном из них отвечает борелевское множество в другом, а преобразования, образующие ДС, переходят друг в друга, то эти системы имеют одинаковую топологич. энтропию. Мера ц, для к-рой h =htop, наз. мерой с макс. энтропией. Такова, напр., мера Лебега для авто орфизма тора. Но меры с макс. энтропией может и не быть. Задача об условиях существования и свойствах таких мер служит одним из звеньев, связывающих Э.т. со статистич. физикой. Под влиянием последней в Э. т. в 70-х гг. появилось обобщение топологич. энтропии, называемое топологич, давлением (см. ниже). [c.631]

Иногда рассматривают кусочно-монотонные отображения более общего вида, когда число отрезков монотонности бесконечно, а производная может в отд. точках принимать значения 1 и —1, Самый известный пример этого рода—преобразование Гаусса, определяемое на отрезке [О, 1] ф-лой 73с = Рг(/(д )), где f x) = jx при и/(0) = 0. Тем самым Тк= х—пари l/(/i+l) 1 являются точками разрыва и, кроме того, / ( ) = Если преобразование из первого примера было связано с разложением в двоичную дробь, то для преобразования усса ту же роль играет разложение в непрерывную (или цепную) дробь пусть x=gi(x), gzix),. .. — такое разложение для л е 0, 1) тогда, как и в первом примере, g (7x)=g +, (х), п=1, 2,. ... Преобразование Гаусса существенно отличается по форме от первых двух примеров. Однако порождённые ими ДС имеют сходные эргодич. свойства по отношению к естественным инвариантным мерам. В первом и втором примерах такой мерой является обычная длина (мера Лебега), а в третьем — вероятностная мера ц, к-рую можно задать нек-рой плотностью (т. е. n(dx)=p(x)dx). Инвариантность меры относительно преобразования Гаусса приводит к равенству р(л)=((1+дг) п2)- [c.634]

В [17] можно найти также теорему, в которой условие 2) заменено на условие Зигеля [91] почти все (в смысле меры Лебега [92]) точки со тг-морпого единичного куба удовлетворяют оценке [c.108]

Использование того факта, что все малые знаменатели для большинства в смысле меры Лебега (см. [92]) иррациональных частот удовлетворяют некоторым оценкам снизу, вытекающим из арифметических свойств иррациональных чисел [114]. Если частоты. ..,п т суть рациональные числа, то очевидно, что всегда найдется целочисленный вектор к, для которого выполняется условие точного резонанса (0-резонапса) к, " ) = = О, но множество рациональных чисел счетно и, следовательно, мера Лебега этого множества равна пулю. [c.132]

В силу липшиц-непрерывности функции Ы 1) градиент grad/ii= = dhildlu. ... dhi/d m-i существует почти всюду относительно меры Лебега в Можно показать, что эта поверхностная [c.25]

Согласно известной теореме Римана — Лебега, интеграл по v стремится к нулю при t- сх>. Поэтому по истечении характерного промежутка времени, зависящего от разброса скоростей в начальных флуктуациях Хн v 0), величина х ( стремится к нулю. Этот процесс невозможно описать как диссипацию в гидродинамическом смысле, ибо его временной масштаб не определяется никакой внутренней характеристикой систевлы, которая не зависела бы от начальных условий (как, скажем, козффициент переноса). Это типичный пример процесса фазового перемешивания , который был определен в разд. 12.2. [c.102]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...