Вейля теорема

Вариационные методы 286, 390, 395, 396, 399, 400, 403, 405, 420, 421 Вариационный принцип 239—242, 257, 274, 396, 398, 399 Вейля теорема 208, 210, 225—228 [c.487]

Случаи молекул — твердых сфер также изучен довольно подробно. Для него полезная информация получается из теоремы Вейля о возмущении спектра самосопряженного оператора V при добавлении достаточно регулярного интегрального оператора /С, так что получается оператор W — V К. Согласно теореме Вейля [2—4], если К — вполне непрерывный оператор, т. е. переводит ограниченную последовательность функций gk в сходящуюся последовательность Kgk (сходимость понимается в подходящем функциональном пространстве, в данном случае в гильбертовом пространстве Ж, где норма дается формулой (1.9)), то непрерывные спектры XV и V совпадают. Таким образом, влияние К сводится к изменению дискретного спектра. Точнее говоря, остается неизменным так называемый существенный спектр (т. е. множество предельных точек спектра). [c.208]

Основная трудность здесь заключается в том, что оператор + /к- не самосопряженный. Это означает, что общих теорем о полноте собственных функций не существует. Кроме того, непросто провести качественный анализ спектра при помощи теоремы Вейля, когда I = К — V и К— компактный оператор. Действительно, теорема Вейля утверждает, что если оператор А замкнут и самосопряжен, а К вполне непрерывен и самосопряжен, то [c.227]

Обобщенная теорема Вейля, учитываюш.ая это обстоятельство, приведена в работе [54 ]. На ее основе в статьях [55, 60 ] была указана общая картина спектра. — Прим. перев. [c.227]

По той же теореме Вейля число Л зависит только от /1, /2- Идея доказательства этой теоремы восходит к исследованиям Вейля о среднем движении перигелиев планет [63]. [c.161]

По теореме Г. Вейля существует временное среднее [c.88]

Ранние исследования приводили к так называемым теоремам расщепления [49, 53, 54], определяющим, в частности, асимптотическое поведение тензора Вейля П. Это вполне соотносилось с пред- [c.147]

Важное значение книги [92] состоит также в том, что в отличие от неестественной тяги классиков к получению явного решения, позволяющего мало что сказать о действительном движении системы, в ней поставлен вопрос о качественном анализе интегрируемых динамических систем, и на примере волчков Ковалевской и Горячева-Чаплыгина сделаны общие выводы о поведении линии узлов и углов собственного вращения. Последние результаты были получены с применением теоремы Лиувилля-Арнольда и теоремы Вейля о равномерном распределении. [c.16]

Предложение 4.2.1 (теорема Кронекера — Вейля о равномерном распределении). Любой поворот на иррациональный угол строго эргодичен. [c.156]

Докажите, что в аффинных камерах Вейля Wa (теорема 3) периодические траектории всюду плотны. [c.119]

Теорема. Пусть аь---,ац — базис системы корней / . Тогда любой корень р является целочисленной линейной комбинацией элементов базиса (все коэффициенты которой одновременно или нуля). Целочисленные линейные комбинации корней порождают дискретную целочисленную решетку /.с=К , инвариантную относительно группы Вейля W R). [c.135]

Теорема ([26], i[262]). Главное отображение периодов простой особенности продолжается до изоморфизма базы нереальной деформации Л в пространство орбит соответствующей группы Вейля В , переводящего, бифуркационную. диаграмму-нулей, S в ласточкин хвост Б (W ). [c.137]

Теорема 8 (теорема Хаага, часть I). Пусть ( с) — представление Вейля КПС с циклическим вектором Ф. Предположим, что состояние ф на (< с). соответствующее вектору Ф, О-ин-вариантно и является ц-кластером и что существует нормированный вектор 0,<= Ж, такой, что а (/) й = О для всех / е Тогда Ф = Ай, где Я е С и Я = 1. [c.318]

Речь идет о вариационных задачах, которые допускают непрерывную группу (в смысле Ли) вытекающие отсюда следствия для соответствующих дифференциальных уравнений находят свое наиболее общее выражение в теоремах, которые формулируются в 1 и доказываются в последующих параграфах. Относительно этих дифференциальных уравнений, возникающих из вариационных задач, возможны высказывания, значительно более точные, нежели относительно любых допускающих группу дифференциальных уравнений, которые являются предметом исследований Ли. Итак, последующее изложение базируется на объединении методов формального вариационного исчисления с методами теории групп Ли. Для специальных групп и для вариационных задач это объединение методов не ново я упомяну Гамеля и Герглоца (Herglotz), занимавшихся специальными конечными группами, Лоренца и его учеников (например, Фоккера), Вейля и Клейна, занимавшихся специальными бесконечными группами ). Вторая статья Клейна и настоящая работа в особенности взаимно повлияли друг на друга в связи с этим я хотела бы указать на заключительные замечания в статье Клейна. [c.611]

С 1927 г. Юрий Борисович продолжает образование и работает в Германии. В 1929—1932 гг. он — ассистент Макса Борна в Гёттингене. Начало его научной деятельности совпало с годами становления квантовой механики. В эти годы он выполнил пионерские работы по применению методов квантовой механики и теории групп в химии (совместно с Г. Вейлем и молодыми тогда В. Гайтлером и Э. Теллером). Ученые показали, что при описании молекул со сложными связями (например, молекулы бензола) классические представления о валентности не работают, и в описание необходимо включать квантовую суперпозицию состояний. Ныне теорема и диаграммы Румера получили всеобщее признание и излагаются в учебниках по квантовой химии. Эти работы Юрий Борисович продолжал и по возвращении на родину. Они легли в основу новой отрасли науки — квантовой химии с ее наглядным упрощенным представлением — теорией резонанса , которая возникла как наглядная интерпретация работ Румера с соавторами. За развитие этой науки Л. Полинг получил в 1954 г. Нобелевскую премию, а в СССР в 1948 г. квантовая химия была разгромлена как лженаука . [c.606]

Понадобится следующее обобщение теоремы Вейля [2] прибавление к замкнутому линейному оператору В вполне непрерывного оператора Т не измейяет непрерывной части спектра, т. е. [c.10]

В случае чистого рассеяния доказательство проходит даже в более простой форме, так как нечетные инварианты столкновений отсутствуют. Однако рассуждения теряют силу, когда спектр L содержит точки на положительной полуоси при этом можно лишь сказать, что если деление опнс7з1вается вполне непрерывным оператором, то (согласно обобщенной теореме Вейля [3]) невещественные собственные значения образуют дискретное множество. [c.226]

Так как UJ2I0J1 иррационально, то по теореме Вейля о равномерном распределении [65] существует [c.161]

Мы выбрали для рассмотрения кубическ ую полость V, но, согласно теореме Германа Вейля (1912). этот асимптотический результат не зависит от формы полости. [c.95]

Теорема об усреднении неявно встречается уже в работах Лапласа, Лагранжа и Гаусса по небесной механике она является одной из первых эргодических теорем . Строгое доказательство дали лишь в 1909 г. П. Боль, В. Серпинский и Г. Вейль в связи с задачей Лагранжа о среднем движении перигелия Земли. Ниже воспроизведено доказательство Г. Вейля. [c.252]

В. В. Козловым также предложены новые методы анализа интегрируемых систем, основанные на использовании геометрической теоремы Лиувилля-Арнольда и теоремы Вейля о равномерном распределении. В качестве некоторого обоснования метода Ковалевской В. В. Козлов доказал ряд утверждений, связывающих ветвление общего решения на комплексной плоскости времени с несуществованием однозначных первых интегралов (гипотеза Пенлеве-Голубева). Для нахождения периодических решений в динамике твердого тела им впервые были применены вариационные методы. [c.26]

Эргодическая теория восходит своими корнями к знаменитой эргодиче-скои гипотезе Больцмана, которая для систем, встречающихся в статистической механике, постулирует равенство некоторых временных и пространственных средних. В математике понятия эргодической теории появились в результате анализа равномерных распределений последовательностей. В качестве одного из первых примеров можно назвать теорему Кроне-кера — Вейля о равномерном распределении (предложение 4.2.1). А. Пуанкаре заметил, что сохранение конечной инвариантной меры приводит к весьма сильным выводам относительно наличия возвращения, и сформулировал эти выводы в своей теореме о возвращении (теорема 4.1.19 [c.20]

Задача о регуляризации биллиардов в многогранных областях изучалась в работе С. И. Пидкуйко [281, где установлена регуля-ризуемость биллиардов в аффинных камерах Вейля корневых систем (в книге [46] эти камеры называются альковами). Согласно теореме Штифеля, все R" можно замостить образами алькова при последовательном отражении относительно граней. Относительно классификации альковов см. [46]. При п=2 биллиард регуляризи-руем в прямоугольнике, равностороннем треугольнике н з двух треугольниках из рассмотренного выше примера. [c.30]

Поскольку симплексы совпадают (с точностью до подобия) с аффинными камерами Вейля, то теорема 3 вытекает из результатов работы С. И. Пидкуйко [28]. [c.113]

К. Мюллер, по-видимому незнакомый с нашими работами, пишет в недавно вышедшей книге [23а], что доказательство теоремы единственности было даио Реллихом в 1943 г., а доказательство теоремы существования — Г. Вейлем в 1952 г. (см. [46] и [236]). [c.58]

Теоремы существования, которые мы доказали выше, опираясь на теорему о простоте полюсов резольвенты, могут быть доказаны и в том случае, когда полюс резольвенты не предполагается простым. Для интегральных уравнений Фредгольма и для задач о колебании мембраны и об упругих колебаниях это было показано автором в работах [13а, д.]. Позже (1952 г.) к тем же результатам в частном случае задачи Дирихле и только для уравнения мембраны пришел Вейль в работе [46]. Для того чтобы указанный метод распространить на системы сингулярных интегральных уравнений, необходимо теорию этих уравнений, изложенную в гл. V, дополнить теорией главных функций и канонических ядер Гурса [7], что, конечно, нетрудно сделать. Мы, однако, на этом не останавливаемся, так как в теории упругости, как мы видели, случаи полюсов высших порядков не встречаются. [c.205]

Полученный результат, принадлежащий П. Болю (Р. Bohl [1]), В. Серпинскому (W. Sierpinsky) и Г. Вейлю (И. Weyl) [1], [2], [3], часто называют теоремой о равномерном распределении по модулю 1. Это одна из первых эргодических теорем. Исторически она родилась из попыток Лагранжа [1] решить проблему среднего движения (см. пример 3.1, гл. 1, и приложение 13). [c.134]

Теорема ( [13]). Пусть f — одна из простых особенностей типа Afi, D Е . Тогда множество исчезающих циклов в гомологиях неосо бого слоя Я -1 (V., R) является системой корней R того же типа, группа монодромии Г совпадает с группой Вейля W(R). Оператор классической монодромии h я вляется преобразованием Кокстера в группе W, его собственные значения exp(2nimj/ A ) определяются показателями ТП) группы Вейля W R). [c.137]

Теорема ([26]). Дополнение к бифуркационной диаграмме нулей простой особеаносш является пространством i< (n, 1) с фундаментальной группой кос Артина—Брискорна соответ-.ствующей грушшы Вейля. [c.137]

Теорема (Делань). >На>бор элементов Аь.. .,Дц системы корней R является отмеченным базисом исчезающих циклов соответствующей простой особенности в том и только том случае, когда произведение соответствующих им отражений Si ..Sn в группе Вейля W R) является элементом Кокстера h оператора классической монодромии. [c.137]

Теорема ([279]). Пусть < —конечная подгруппа в 802, ц — ее естественное двумерное представление. Тогда соответствующий ему граф Г является пополненным графом Дынкина соответствующей группы Вейля, ее матрица Картана С=2Е—М, собственные значения матрицы Картана являются значениями характера представления / . [c.141]

Введение. Сначала мы рассмотрим различные формулировки канонических перестановочных соотношений для систем с конечным числом степеней свободы и проанализируем физический смысл формы Вейля КПС, Мы приведем теорему фон Неймана, но доказательство ее будет дано позже в этом же параграфе. Затем мы дадим определение общей С -алгебры канонических перестановочных соотношений. При этом мы введем математическое понятие С -индуктивного предела С -алгебр, которое будет играть главную роль в следующей главе. Пользуясь конструкцией ГНС, мы докажем теорему относительно общей структуры представлений этой алгебры и как частный случай докажем теорему фон Неймана. Каждую из двух частей теоремы Хаага мы подробно рассмотрим в отдельности. Затем, построив некоторые специальные представления, мы проиллюстрируем теорему об общей структуре представлений КПС. Кроме того, будут сделаны некоторые замечания относительно выбора пространства пробных функций, ассоциировано-ного с данным представлением. В заключение мы укажем пределы применимости некоторых представлений, которые использовались в качестве примеров. [c.290]

Отметим также, что теорема 3 была доказана в два этапа Сначала Фойаш, Гехер и Секефальви-Надь доказали, что one раторы Р и Q в силу принятых в их теореме допущений поро ждают однопараметрические группы U (а) и V (6) , удовле творяющие перестановочным соотношениям в форме Вейля Второй этап состоял в доказательстве сформулированной выше теоремы фон Неймана. [c.300]

Здесь можно задать один естественный и на первый взгляд невинный вопрос если задано пространство S, то как найти все классы унитарной эквивалентности представлений Вейля, удовлетворяющих условиям I — III В тех случаях, когда пространство S конечномерно, условие II оказывается излищним, а условие III становится несущественным, как показывается на эвристическом, но с физической точки зрения разумном основании в конце п. 3. Следовательно, в этом случае остается в силе лищь условие 1, и ответ на интересующий нас вопрос дается теоремой фон Неймана (сформулированной в п. 1 для одномерного случая как теорема 6 и доказываемой в конце данного пункта). В тех случаях, когда пространство S бесконечномерно, необходима известная осторожность. Принято считать, что в этом случае существует бесконечно много неэквивалентных представлений, которые в различных ситуациях могут оказаться полезными для физических приложений. Поэтому, прежде чем пытаться составить хоть какое-нибудь представление об этом случае, нам необходимо запастись стерильным инструментом. Первый щаг в этом направлении состоит в построении надлежащей С -алгебры, отвечающей всем требованиям условия I. [c.303]

В качестве примера применения этой теоремы приведем краткое доказательство теоремы единственности фон Неймана. Для удобства в обозначениях будем рассматривать простейщий случай системы одной степени свободы. Тогда пространство f одномерно, т. е. S = и f = z = x + it/, условие II становится лищним, а условием III можно пренебречь. Для построения любого неприводимого представления 2Взс(С) перестановочных соотнощений в форме Вейля используется единственная нормированная мера [c.309]

А ехр (— I г р/4 для каждого 2 е С и, таким образом, заключить, что л 0. Подставляя 2 = О в полученный выше результат, находим, что А — ненулевой оператор проектирования. Следовательно, в Ж существует по крайней мере один нормированный вектор Ф, такой, что ЛФ = Ф. Так как по предположению 28зс (С) — неприводимое представление, вектор Ф циклический (см. лемму к теореме 7). Для этого вектора образуем отображение ф ) = (Ф, W г) Ф) = (Ф, АШ (г) ЛФ) = = (Ф, ЛФ) ехр —I 2 Р/4 == ехр —12 р/4 . Заметим, что в представлении Шредингера в пространстве 2" (К) для всех e2 (R) справедливо равенство (и (г) )( ) = ехр —/ ( — х)/2 Р( — л ). Вычисляя ф (г) = (Ф, (г) Ф) для вакуумного вектора Ф( ) = = Я" / ехр — 1 /2 , получаем ф (г) = ехр — 2 р/4 . На основании теоремы 7 мы заключаем, что всякое неприводимое представление канонических перестановочных соотношений в форме Вейля для системы с одной степенью свободы унитарно-эквивалентно представлению Шредингера. Если бы исходное представление не было неприводимым, то всякое подпространство гильбертова пространства Ж, натянутое на векторы (1 (г) Ф 2 е С , где Ф удовлетворяет соотношению ЛФ = Ф, было бы устойчиво относительно рассматриваемого представления и, следовательно, могло бы служить носителем для неприводимого представления, унитарно-эквивалентного представлению Шредингера. Рассматривая эту конструкцию для ортонормированного базиса Ф/ в подпространстве гильбертова пространства Ж, образованном всеми векторами, устойчивыми относительно действия оператора Л, мы получаем полное доказательство теоремы 6. Действительно, обобщение на случай л(<оо) степеней свободы тривиально, поскольку для получения его достаточно заменить меру ёц г) в начале доказательства теоремы гауссовой мерой = которая, кстати сказать, является [c.310]

Доказательство. В силу теоремы 7 представление Вейля унитарно-эквивалентно представлению ЗВф(< с), где Ф (/) = (Ф. (f) Ф). По лемме на стр. 306 представление 2Вф( с) допускает каноническое расширение до представления Лф С -алгебры А( с), где ф — естественное расширение состояния ф с Шзс с) на Д( с). Очевидно, что состояние ф О-ин-вариантно и является т1-кластером. На основании теоремы 8 из гл. 2, 2 можно заключить, что ф — единственный О-инва-рнантный вектор состояния на циклическом представлении я(Д(< с)). Но рассмотрим теперь замкнутое подпространство натянутое на множество Очевидно, что Жа устой- [c.318]

Рассмотрим теперь следующее применение этой леммы, ведущее непосредственно к части II теоремы Хаага. Пусть Я/ (3I) — два представления Вейля КПС для пространства пробных функций S, G — группа унитарных преобразований пространства функций If , удовлетворяющих всем перечисленным выше предположениям. Обозначим через Я/ генератор эволюции во времени U [t) = iH t) VieR. Поскольку при всех / е R справедливо соотношение U (t) Ф/ = Ф, мы имеем Я/Фу = 0. Предположим далее, что Н ) 2) и Нs 3) (относительно определения области /см. условие II на стр. 302). Крэме того, сформулируем основное допущение канонического [c.321]

Пусть О — дискретная группа, действующая на пространстве Лебега М, Ж, [х) с инвариантной мерой. Рассмотрим пространство ЛIXG и меру (яг—мера Хаара) на нем. В пространстве 2(МхС) рассмотрим слабо замкнутую алгебру операторов, порожденных операторами (х, g) = ср(х) (х, g) и (Uhf)(x,g)=f ThX,hg), где ф L (Лi), h,g G, 1 ЬЦМ Х.О). Эта алгебра ТГ(0, М) называется скрещенным произведением (М) и 1 0) относительно действия О на М, Именно эта конструкция содержится в [99]. Оказывается, что она траекторно инвариантна, т. е. если вместо С взять произвольную траекторно изоморфную ей группу О, то алгебра (С, М) не изменится. Более того, имеется способ строить эту алгебру прямо в инвариантных терминах, не используя действия (например, [69]). Поэтому алгебраические инварианты этой алгебры служат траекторными инвариантами. В настоящее время имеется развитая теория, обобщающая это построение на квазиинвариантные меры, на слоения, на С -алгебры, использующая когомологии я др. (см. обзоры [69], [97], [75], [65]). Много работ посвящено так называемой полной группе, лли группе Дая, состоящей из всех автоморфизмов Т, для которых х Т) более мелкое, чем данное траекторно1е разбиение, например, чем х(С). Полезна такая аналогия алгебра 51>1= М, фбЬ" (М) есть аналог алгебры Картана в W(G,M), а группа Дая, обозначаемая [С],— аналог группы Вейля в теории полупростых алгебр Ли. Эта аналогия [10], [69] оказалась очень шолезной для изз чения -алгебр. В свою очередь, многие продвижения в траекторной теории (например, теорема Фельдмана—Конна—Орнстейна— Вейсса (у нас — теорема 1.2)) были получены после аналогичных теорем теории 1 -алгебр (в данном случае, после теоремы Конна [643). [c.106]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...