Спектр самосопряженного оператора

Для доказательства неравенства (3.19) покажем просто, что наименьшая верхняя грань спектра самосопряженного оператора [c.155]

Случаи молекул — твердых сфер также изучен довольно подробно. Для него полезная информация получается из теоремы Вейля о возмущении спектра самосопряженного оператора V при добавлении достаточно регулярного интегрального оператора /С, так что получается оператор W — V К. Согласно теореме Вейля [2—4], если К — вполне непрерывный оператор, т. е. переводит ограниченную последовательность функций gk в сходящуюся последовательность Kgk (сходимость понимается в подходящем функциональном пространстве, в данном случае в гильбертовом пространстве Ж, где норма дается формулой (1.9)), то непрерывные спектры XV и V совпадают. Таким образом, влияние К сводится к изменению дискретного спектра. Точнее говоря, остается неизменным так называемый существенный спектр (т. е. множество предельных точек спектра). [c.208]

Действительная часть резольвентного множества оператора А состоит из тех точек, в правой и левой окрестности которых функция Р (Я.) постоянна точечный спектр состоит из тех точек, в которых Р (Я.) терпит скачки непрерывный спектр состоит из тех точек, которые не принадлежат резольвентному множеству и в которых Р (к) непрерывно (18241, стр. 352, 353). Из сказанного следует, что изолированные точки спектра самосопряженного оператора являются собственными значениями, т. е. принадлежат точечному спектру. Те точки непрерывного множества, которые являются собственными значениями, изолированы друг от друга они образуют часть точечного спектра, будучи утоплены в непрерывном спектре . Остальные точки непрерывного множества принадлежат непрерывному спектру. Конечные предельные точки собственных значений могут находиться в любой части спектра. [c.197]

Поскольку спектр самосопряженного оператора инвариантен, относительно трансформаций этого оператора унитарным оператором, мы, исходя из двух последних соотношений, заключаем, что взаимодействие между мезонным полем F и распределением источников р приводит к сдвигу энергии (поля) на конечную константу W. Эта константа равна тому вкладу в энергию свободного поля, который мы получили бы, рассматривая модель с источниками, взаимодействующими через потенциал Юкавы. Физический смысл данного результата вполне ясен это старая идея о том, что переносчиком ядерных сил служит мезонное поле. Приведенный нами вывод лишь показывает, что этому утверждению можно придать Строгую математическую форму. [c.34]

Теория рассеяния требует классификации спектра самосопряженного оператора, основанной на теории меры. Напомним коротко основные сведения о борелевских мерах на прямой М. Подробности можно найти в любом учебнике по теории меры (см., например, [26]). Достаточно, впрочем, обратиться к вводной главе монографии [4] или к учебнику по теории функций вещественной переменной [15]. Некоторые элементарные сведения из этой теории нам также понадобятся (они напоминаются по ходу дела). [c.22]

Краевая задача (2.8) —(2.10) представляет задачу на собственные числа, где роль собственного числа играет полная энергия элементарной ячейки w. Поэтому решение задачи су- ществует только для вполне определенного множества значений W. Если это множество дискретно, то говорят о дискретном спектре если множество непрерывно, то говорят, что спектр — сплошной. Оператор W — самосопряженный, поэтому для конечной области V собственные числа да образуют действительное счетное множество. Для механики разрушения наибольший интерес представляет состояние с наинизшей энергией Шо в этом состоянии система может находиться сколь угодно долго. Другие стационарные состояния системы, соответствующие большим W, обычно квазистационарны, так как под действием внешних электромагнитных волн система через определенное конечное время с вероятностью, близкой к единице, переходит в более устойчивое состояние с меньшей энергией. Вблизи точки w = Wo на основании соотношения (2.13) нет других возможных стационарных состояний системы. [c.30]

Свойства оператора К и функции V (с) определяют соответствующие свойства оператора Ь. Для последнего, как для самосопряженного оператора в всегда возможно спектральное разложение, но спектр может быть частично дискретным, частично непрерывным. Точкам дискретного спектра (собственным значениям) соответствуют собственные функции, принадлежащие точкам же непрерывного спектра (обобщенным собственным значениям) не соответствуют никакие интегрируемые с квадратом собственные функции, хотя можно найти обобщенные собственные функции, не принадлежащие (вообще говоря, это не обычные функции). [c.88]

V = vo состоит из одной точки Я- = vo с бесконечной кратностью вырождения. Далее, от прибавления к самосопряженному оператору вполне непрерывного оператора непрерывная часть спектра не меняется (точнее, не меняется существенный спектр, но это [c.88]

Согласно обычному определению [1—5], спектр оператора представляет собой множество значений Я, для которых оператор (L — Х1) не существует как ограниченный оператор в 2 или не является однозначно определенным в рассматриваемом случае Ь — самосопряженный оператор, и допускаются обобщенные решения) оба определения эквивалентны. При этом дискретный и непрерывный спектры в точности соответствуют своим названиям. [c.206]

Воспользуемся теперь двумя известными фактами спектральной теории самосопряженных операторов 1) нижняя грань спектра оператора А совпадает с нижней гранью значений (Лг ), i])) на пересечении единичной сферы с областью его определения Da и 2) непрерывные спектры операторов А h) и Л(1) совпадают (это следует из того, что в силу леммы они отличаются на вполне непрерывное слагаемое). [c.316]

Абстрактный аналог шкалы Ях( ) (см., например, [49]). Пусть — сепарабельное гильбертово пространство и о — самосопряженный оператор с дискретным спектром в / (/=1, 2,. ..) —ортонормированный базис в составленный из собственных векторов оператора о 0 / = Будем считать, что О < V, V2 ---- [c.329]

В любом оператор Lo с i)(Lo)= i>s+i является самосопряженным оператором с дискретным спектром. Его собственные значения и собственные векторы не зависят от S. [c.330]

Операторы, близкие к самосопряженным. Рассмотрим оператор — где о самосопряженный оператор с дискретным спектром и положительными (для простоты) собственными значениями V/. Введем шкалу пространств отвечающую оператору Ц (см. п. 3 34). Наложим на L два условия [c.335]

Таким образом, если а принадлежит точечному спектру оператора Л т, то а принадлежит точечному спектру оператора N (при тех же самых собственных векторах). Конечно, если К — самосопряженный оператор, то он обязательно является нормальным оператором, и вследствие этого по условию самосопряженный оператор не имеет остаточного спектра. Более того, пусть N — нормальный оператор тогда если существует оператор (а — то он является как левым, так и правым обратным оператором и обратного левого оператора не существует тогда и только тогда, когда не существует обратного правого оператора. Что касается решения уравнения (7.95), то, если К — нормальный оператор (и если область значений оператора а — К, является замкнутой), решение существует тогда и только тогда, когда вектор о ортогонален всем собственным векторам оператора К, соответствующим собственному значению а. [c.193]

Доказательство. Прежде всего заметим, что в предположении теоремы неявно содержится утверждение об устойчивости области Ф Q) относительно Ы а) для всех аеР. Поскольку самосопряженные операторы Q и Q — а унитарно-эквивалентны, они имеют одинаковый спектр. Отсюда мы заключаем, что спектр оператора Q заполняет всю действительную прямую от — оо до + оо, и если означает спектральное семейство оператора Q, то [370, теорема 7.1] [c.297]

Таким образом, получаем задачу на собственные значения для эллиптического уравнения второго порядка, вырождающегося на границе области. Подходящим образом вводя пространства обобщенных решений для соответствующей вырожденной краевой задачи, сведем задачу (3.6) к задаче на собственные значения для положительного компактного самосопряженного оператора в гильбертовом пространстве, покажем, что задача (3.6) имеет дискретный спектр, состоящий из собственных значений [c.238]

В этом параграфе будем считать, что все операторы действуют в одном гильбертовом пространстве Н. Спектром сг(Л) произвольного замкнутого (и, как всегда, плотно определенного) оператора А называется множество точек А Е С, для которых не существует ограниченного обратного оператора А — А7)" . Отметим, что ст А ) — о-(А). Для самосопряженного оператора А это определение эквивалентно данному в 3. [c.58]

В самосопряженном случае собственные значения могут сдвигаться не более, чем на норму возмущения. Обсудим соответствующие результаты для унитарного случая. Теперь роль спектральной точки О 6 М играет точка 1 G Т, роль сдвига по М—поворот на Т, а роль самосопряженных операторов с малой нормой—унитарные операторы, спектр которых лежит на малой дуге с центром в точке 1. Через (/ii,/i2) и [/xi,/i2], где Hj = 1, обозначаются соответственно открытая и замкнутая дуги Т, заметаемые при движении из /л в /Л2 в положительном направлении (против часовой стрелки). [c.83]

Лемма 6. Пусть нуль не является точкой существенного спектра неотрицательного оператора J J. Тогда равенство (4) выполняется для любого самосопряженного оператора Я. [c.135]

Любой самосопряженный оператор Яо с абсолютно непрерывным спектром постоянной (возможно, бесконечной) кратности может быть реализован (см. 1.5) как оператор умножения на независимую переменную (Л) в гильбертовом пространстве Ь2 д ()). Здесь —сердцевина спектра оператора Яо, — вспомогательное гильбертово пространство, размерность которого равна кратности спектра. В модели Фридрихса-Фаддеева рассматривается случай, когда = а—замкнутый интервал, а возмущение V оператора Яо является интегральным оператором с гладким ядром г (Л, / ). В рамках этой модели удается не только построить теорию рассеяния, т.е. доказать существование и полноту ВО Ж (Я, Яо) (отвечающих 7 = /), но и проверить отсутствие у оператора Н = Но V сингулярного непрерывного спектра. [c.146]

Установим дифференцируемость спектральной меры Е ) самосопряженного оператора Е( ), окаймленной какими-либо операторами Гильберта—Шмидта. Напомним, что в силу теоремы Лебега монотонная функция ( (Л)/,/) при любом / ЕН дифференцируема для п.в. Л Е М. В то же время Е Х + е) -Е (Л-- ) = 1 при Л Е т(Я) и любом б > 0. Поэтому слабой (операторной) производной спектральная мера не может иметь.ни в одной точке спектра. Положение меняется при окаймлении Е операторами Гильберта—Шмидта. [c.235]

Теорема 6. Пусть Но—произвольный самосопряженный оператор. При любых р > 1 и е > О найдется самосопряженный оператор V = Ур е, что V Е р, HV Hp < е, и оператор Н = Но- -У имеет чисто точечный спектр. [c.241]

Теорема 7. Пусть Но—какой-либо самосопряженный оператор с чисто сингулярным спектром. Тогда при любом е > О найдется такой самосопряженный ядерный оператор V = Уе, что К 1 < е и оператор Н = Но + У имеет чисто точечный спектр. [c.242]

Разумеется, точечный спектр—самая неустойчивая компонента. Дело в том, что собственные значения самосопряженного оператора, вообще говоря, сдвигаются при сколь угодно малых одномерных возмущениях. В то же время в специальной обстановке и эта компонента может обладать определенной устойчивостью. Так, согласно теореме 4.1.7 при достаточно малых константах связи е гамильтониан — Но + еУ в модели Фридрихса—Фаддеева собственных значений не имеет.Тем самым точечная компонента сохраняется (отсутствует). [c.243]

Теорема 1. Пусть Яо—произвольный самосопряженный оператор, для ко лор ого выполнено условие (1), а V определяются равенствами (2) . Тогда существенные спектры операторов Но и Н = Но V совпадают, [c.268]

Теорема 5. Пусть Но—полуограниченный самосопряженный оператор в L2(M ), для которого Т> Но ) = T> hIq ), Н — интегральный оператор с ядром (10) и при а Е (—/,0] выполнено условие (11). Тогда существенные спектры операторов Но и Н = Но V совпадают. Если к тому же I > —а d, то ВО W H, Но) существуют и полны. [c.270]

Рассмотрим теперь вопрос о направлении вращения спектра МР 5 (А) = 5(А Я(7), Яо /) для семейства самосопряженных операторов Н у) — Нх- -уУ, зависящих от параметра 7 0. Спектральный параметр А будем считать фиксированным. [c.321]

В отличие от классической механики, квантовые динамические переменные не являются функциями микроскопического состояния системы, а представляются линейными самосопряженными (эрмитовыми) операторами Л, действующими в гильбертовом пространстве состояний. Их спектр определяет возможные наблюдаемые значения физических величин. Собственные значения а операторов и соответствующие собственные состояния ) = а) находятся как решения уравнения [c.23]

Легко показать, что оператор умножения на V ( ) является самосопряженным с чисто непрерывным спектром, состоящим как раз из тех значений, которые принимает функция V с) (в этом случае обобщенным собственным значениям X соответствуют обобщенные собственные функции б (X — V с))). Для степенных потенциалов при /г > 5 спектр простирается от vo до бесконечности, а при /г < 5 заполняет отрезок от vo до нуля при п = Ъ спектр [c.88]

Основная трудность здесь заключается в том, что оператор + /к- не самосопряженный. Это означает, что общих теорем о полноте собственных функций не существует. Кроме того, непросто провести качественный анализ спектра при помощи теоремы Вейля, когда I = К — V и К— компактный оператор. Действительно, теорема Вейля утверждает, что если оператор А замкнут и самосопряжен, а К вполне непрерывен и самосопряжен, то [c.227]

Относительно дискретного спектра, по-видимому, еще ничего не доказано, за исключением результата Мак-Леннана [32] для случая твердых сфер. Согласно [32], I + при достаточно малых к имеет пять изолированных соиственных значений Я( (к) (а = О, 1, 2, 3, 4) (не обязательно различных), которые сводятся к = О при к = 0 и аналитнчны по к . Это вытекает из теоремы о возмущении спектра [3], в которой утверждается, что если X есть /п-кратное собственное значение самосопряженного оператора I и I — самосопряженный оператор, удовлетворяющий неравенству [c.229]

Спектр ограниченного самосопряженного оператора расположен на интервале дейсгвительной оси между точками m (Л) и М (А) и включает в себя концевые точки т и А1 ([824], стр. 330). Как уже известно, спектр такого оператора состоит только из точечного спектра и непрерывного спектра (один из них может быть пустым). [c.196]

Примечание. Свойство 3 делает понятным, почему мы определяем след на 91+, а не на Ъ Ж). Предположим, что А — самосопряженный оператор с (невырожденным) дискретным спектром, точки которого совпадают с членами неабсолютно сходящегося ряда. Изменив порядок соответствующих собственных векторов (путем подходящего унитарного преобразования пространства Ж), мы можем добиться, чтобы след сходился к любой наперед заданной действительной величине. [c.166]

Действительно, нетрудно построить математический контрпример лемме, если отказаться от предположения, что 81 содержит единицу. Пусть 81 — С -алгебра всех компактных операторов, действующих на (сепарабельном) гильбертовом пространстве Ж. Далее, пусть Н — (ограниченный) самосопряженный оператор, действующий на Ж. Потребуем, чтобы спектр [c.225]

Очевидно, что e im Л - собственное значение, то Л р (т, е. Л принадлежит спектру). Однако существуют, вообще говоря, точки комплексной плоскости, не являющиеся собственными значениями и не принадлежащие р. Эта ситуация, не возникающая в конечномерных пространствах, будет продемонстрирована на примерах в следующих главах. Приведем некоторые важные свойства самосопряженных операторов. [c.26]

В общем случае спектральное семейство Е ) самосопряженного оператора А постоянно на участках вещественной оси, принадлежащих резольвентному множеству, имеет скачки в точках, являющихся собственными значениями, и непрерывно изменяется во всех остальных точках. Если (Л) постоянна на любом промежутке между двумя разрывами (как в примере с компактным оператором), то говорят, что спектр А дискретный. Если (Л) не имеет точек разрьша, то спектр называется непрерывным. В теории рассеяния мы увидим несколько примеров таких спектров. [c.31]

Опредепение 2.1. Говорят, что самосопряженный оператор имеет абсолютно непрерывный спектр, если функция Е ) и, u)fj абсо-люто непрерывна для любого иеН, [c.401]

Теорема 8. Пусть Но—произвольный самосопряженный оператор с простым спектром, v—какой-либо циклический для Но вектор и Н = Ну = НоТогда при произвольном вещественном у Ф О сингулярные части спектральных мер операторов Но и Н (спектр Н также оказывается простым) сосредоточены на дизъюнктных борелевских множествах. [c.276]

В этом пункте мы будем предполагать, что — эллиптический ПДО на для определенности порядка 1, совпадающий с 4 . Согласно сказанному в конце предыдущего пупкта, 4-0 как оператор в Яо( ) с 2)(. о) = = Я1( ) является самосопряженным, так что, в частности, спектр 2(. о) лежит на вещественной оси. [c.327]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...