Маклорена

Заметим, что если задачу решать точно, считая нагрузку распределенной равномерно по длине нити, а не по пролету, то кривая провисания будет цепной линией. Формула (5.82), являясь первым членом разложения уравнения цепной линии в ряд Маклорена по степеням х, дает для пологих нитей хорошее приближение при решении практических задач. [c.150]

При анализе малых колебаний амортизируемого объекта вблизи положения равновесия можно считать перемещения х, у и г малыми и линеаризировать динамические характеристики (10.7), разлагая их в ряд Маклорена и отбрасывая члены, имеющие порядок выще первого [c.276]

Разложив в ряд Маклорена и удержав в этом разложении слагаемые не выше первого порядка малости относительно ф, получим [c.340]

Разложим эту функцию в ряд Маклорена около положения устойчивого равновесия [c.586]

Положение устойчивого равновесия, около которого происходят малые движения системы, примем за начало отсчета обобщенных координат. Следовательно, в положении равновесия все обобщенные координаты равны нулю. Раскладываем каждый коэффициент в ряд Маклорена по степеням обобщенных координат [c.594]

Величины йл, ви, называются инерционными коэффициентами. Если система движется в потенциальном силовом поле, то потенциальная энергия системы может быть разложена по степеням обобщенных координат в ряд Маклорена [c.595]

Разложим эту функцию по степеням д в ряд Маклорена П (д) = /7, о+ у + [c.268]

Пользуясь разложением косинуса u ряд Маклорена [c.80]

Разложив искомые функции (a) и температурную функцию (б) в ряды Маклорена по переменной z, получим общее решение пространственной температурной задачи [c.211]

Раскладывая неизвестные функции (8.4) и температурную функцию (8.3) в ряды Маклорена по переменной I, члены которых содержат коэффициентами начальные функции и их производные до порядка N, где N — номер члена разложения, и определяя неизвестные функции из четырех уравнений, получаем [c.310]

Отсюда формула (8.4) дает теорему Маклорена [c.266]

Интегрирование этой формулы в пределах от Яо до < и применение теоремы Маклорена [c.268]

Определим для случая малых колебаний возвращающую силу, действующую в системе, и закон изменения смещения х со временем. Для этого совместим начало отсчета значений х с положением устойчивого равновесия системы и разложим функцию П(х) в ряд Маклорена по возрастающим степеням х [c.165]

Функцию г, = / (jfi, у ) разложим в ряд Маклорена [c.347]

Заметим, что если задачу решать точно, считая нагрузку распределенной равномерно по длине нити, а не по пролету, то кривая провисания будет цепной линией. Формула (5.82), являясь первым членом разложения уравнения цепной линии в ряд Маклорена по [c.160]

Отметим, что (3.3.9) и (3.3.12) представляют собой разложения функций g t) и h t) в ряд Тейлора около точки = 0 (ряд Маклорена). Поэтому приближенное представление g t) с помощью (3.3.11) и h t) с помощью (3.3.13) справедливы вблизи точки = 0, причем чем больше взято членов в (3.3.11) и (3.3.13) [соответственно, чем больше членов в (3.3.10)], тем больше интервал вблизи точки = О, на котором gN t) и Лл/(0 дают достаточно точную аппроксимацию для g t) и h t). В реальных технологических объектах весовая функция g t) экспоненциально стремится к нулю, а переходная функция h(t) при t oo стремится к конечному пределу /г(оо), соответствующему выходу объекта на стационарный режим работы. Фактически за конечное время to происходит изменение g t) от начального значения до нуля и h t) от начального нулевого значения до стационарного значения /2(00) (рис. 3.1), поэтому для получения полной информации о переходных процессах в объекте достаточно выбрать в (3.3.10) столько слагаемых, сколько нужно для того, чтобы соответствующие функции gN t) и hN(t) с необходимой для практических целей точностью аппроксимировали g(t) и h t) в интервале [О, о]. [c.112]

Теорема 2. Равновесное положение системы является положением неустойчивого равновесия, если потенциальная энергия системы в этом положении имеет максимум при этом наличие максимума устанавливается членами наименее высокого порядка малости, действительно входящими в разложение уравнения потенциальной энергии в ряд Маклорена. [c.17]

Разлагая каждый из этих Коэффициентов в ряд Маклорена по степеням обобщенных координат, получаем [c.21]

Применим уравнения (38.1), (38.2) к задаче о растяжении плоскости с трещиной в случае малой пластической зоны. Последнее достигается разложением левой части уравнения (38.1) в ряд Маклорена в окрестности о = 0. Получаем [c.308]

Разложим вектор-функцию (6.1) в ряд Маклорена по переменным ф, 1,. .., д , приняв для сокращения записей обо- [c.111]

Из разложения в ряд Маклорена в окрестности значения 9с = О получаем приближенное выражение потенциальной энергии [c.252]

Разложим выражения для вычисления Гдд в ряд Маклорена с точностью до членов первого порядка малости по г/ , 2 [c.79]

Если размеры преобразователя и дефекта малы по сравнению с расстояниями между ними, то, разложив подынтегральные выражения в ряд Маклорена, ограничившись нулевым приближением и заменив абсолютное значение алгебраической суммы суммой абсолютных значений [391, получим приближенную формулу [c.121]

Бесконечно малые колебания тяжелой точки около наинизшей точки поверхности. Рассмотрим на поверхности точку О, в которой касательная плоскость горизонтальна и поверхность в окрестности этой точки расположена над этой касательной плоскостью. Это положение О является положением устойчивого равновесия для тяжелой материальной точки, движущейся без трения по поверхности. Мы исследуем бесконечно малые колебания около этого положения равновесия. Примем точку О за начало координат, ось Ог направим вертикально вверх, а оси Ох и Оу — по касательным к линиям кривизны, проходящим через точку О. Если координату z поверхности разложить для малых значений лг и у по формуле Маклорена, то уравнение поверхности будет иметь вид [c.426]

Мы предполагали также, что если коэффициент при д в выражении, полученном для Т, не обращается в нуль при д = 0, то разложение 7 д) по формуле Маклорена начинается с члена д" . Но может случиться, что если и (д) имеет максимум при д = 0, то обращаются в нуль все производные от и до какого-нибудь нечетного порядка, выще первого, и первая неравная нулю производная будет четного порядка и отрицательная. Например, в простейшем случае так может получиться, когда [c.295]

Мы будем предполагать, что параметры выбраны таким образом, что дискриминант АС—не обращается в нуль при , = 2 = 0-Тогда, разлагая коэффициенты А, В, С в ряд Маклорена и обозначая через а, Ь, с значения этих коэффициентов при Ч. = Ч2 — > получим [c.296]

Рассмотрим теперь силовую функцию и (д , д ). При д = д = 0 эта функция обращается в нуль и имеет максимум поэтому, разлагая ее в ряд Маклорена, получим [c.296]

Разложим /(х, у) по формуле Маклорена. Свободный член и члены первой степени относительно х и у исчезнут (вследствие выбора осей), и мы получим [c.282]

Разлагаем правую часть (12") в ряд Маклорена по степеням г, ограниченный первыми двумя его членами. Так как [c.9]

Применим к этой функции разложение Маклорена по аргументу е, остановленное на члене третьего порядка, используя для остаточного члена не обычную форму Лагранжа, а интегральную [c.93]

Разложим Qm D ряд Маклорена с точностью до величин первого порядка малости относнтслыю ф [c.340]

Примечание. В вариантах 7, 21 и 22 выражение для обобщенной силы разложить в ряд Маклорена и удержать члены не выше третьего порядка малости относительно обобщенной координаты. В вариантах 1 и 2 принять, что колебания перевалки У вокруг опорных рсбер происходят без потери энергии. [c.357]

Нижнюю кривую на рис. 5.9 называют акустической ветвью,. верхнюю — оптической. Заметим, что во всем интервале, изменений волновых чисел k частота оптических колебаний больше частоты акустических. Для выяснения происхождения названия ветвей рассмотрим поведение частоты колебаний при малых значениях k и при = +п/(2а). При малых ka в выражении (5.50) разложим sin fea в ряд Маклорена (sin a a )- и ограничимся первым членом разложения. Восиользо вавшись свойства-154 [c.154]

Искомые функции при фиксированном значении координаты 2 зависят только от двух (одной) переменных х, у х), определяющих положение точки на плоскости (линии) z= onst(г/= onst). Их раскладывают в ряды Маклорена по переменной z(y) и выражают через начальные функции [c.16]

Если угол 0 достаточно мал, то, разлагая функцию (1 - osG) в ряд Маклорена, получаем [c.221]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...