Первый пример. Осциллятор

ПЕРВЫЙ ПРИМЕР. ОСЦИЛЛЯТОР 471 [c.471]

Первый пример. Осциллятор [c.471]

ПЕРВЫЙ ПРИМЕР. ОСЦИЛЛЯТОР [c.473]

ПЕРВЫЙ ПРИМЕР. ОСЦИЛЛЯТОР 475 [c.475]

В качестве первого примера, на котором очень удобно проследить в деталях процесс перехода от классического описания к квантовому, поскольку в нем все что нужно без труда вычисляется в явном виде, рассмотрим линейный гармонический осциллятор. [c.471]

Пример. Положение равновесия линейного осциллятора в среде с сопротивлением, пропорциональным первой степени скорости, будет асимптотически устойчивым. Действительно (см. пример 3 на стр. 191), дифференциальное уравнение движения [c.218]

Я должен здесь отметить, что подобное обращение в нуль коэффициента при yj и появление мнимых значений скорости распространения имеют место и в общем случае, а не только для осциллятора. Это — как раз аналитическая причина того, что посредством задания одного условия ограниченности искомой функции выделяются точные собственные значения. Рассмотрим вопрос подробнее. Волновое уравнение с вещественной скоростью распространения, как известно, означает следующее чем меньше значение функции в какой-либо точке среднего значения в окрестности этой точки, тем быстрее возрастает значение функции, и наоборот. Тем самым в данном случае, аналогично более наглядному сходному результату для уравнения теплопроводности, с течением времени происходит сглаживание и невозможен неограниченный рост функции. Волновое уравнение с мнимой скоростью распространения означает как раз обратное значения функции, большие, чем ее среднее значение в окрестности рассматриваемой точки, ускоренно возрастают (а убывают замедленно). Таким образом ясно, что удовлетворяющая этому уравнению функция легко может оказаться неограниченно возрастающей. Чтобы избежать подобного роста, приходится использовать значительные ограничения, что уже приводит к точным собственным значениям. В самом деле, уже на рассмотренном в первом сообщении примере видно, что требование существования точных собственных значений становится сразу невыполнимым, если только выбрать там величину Е положительной, благодаря чему становится действительной во всем пространстве волновая скорость распространения. [c.697]

Первый из них — математический маятник, причем мы ограничимся случаем малых колебаний, так что уравнение движения маятника будет совпадать с уравнением линейного гармонического осциллятора. Второй пример— движение заряженной частицы в магнитном поле. [c.177]

Поглощение света молекулой может быть обусловлено переходами между разл. электронными уровнями о, л и др. (см. Молекулярные спектры.). Каждый переход моделируется поглощающим осциллятором, ориентированным разл. образом или расположенным в разных местах большой молекулы, в частности, имеющей цепь сопряжения (направление, в к-ром чередуются единичные и кратные связи в молекуле). Соответствующие полосы поглощения обладают разл. Д, Полосы поглощения а—а -переходов обычно Д. не имеют из-за симметрии их волновых ф-ций п—п -переходы моделируются линейным электрич. дипольным осциллятором, причём более сильное поглощение происходит для света, поляризованного в направлении цепи сопряжения. Для этого направления (или для длинной оси молекулы) принято обозначение К ц. Переходы п—л (л — орбитали, не участвующие в хим. связи) чаще дают более сильное поглощение перпендикулярно этой ценя KjJ. Соответственно для л—д - и п—я -перехо-дов наблюдается линейный Д., в первом случае положительный, во втором — отрицательный. Примером может служить краситель конго красный (рис. 1). Здесь для двух длинноволновых полос (—-500 и 540 нм, рис., 6) поглощающий осциллятор расположен вдоль [c.693]

Пример квантовый осциллятор в термостате. В качестве иллюстрации общего формализма, развитого в предыдущих разделах, рассмотрим динамику квантового осциллятора, взаимодействующего с термостатом. Выбор этой модели объясняется двумя причинами. Во-первых, она относительно проста, что позволяет обсудить некоторые важные аспекты нелинейных релаксационных процессов, не прибегая к сложной математике. Во-вторых, задача о квантовом осцилляторе в среде представляет самостоятельный физический интерес. В частности, некоторые из полученных результатов будут использованы в параграфе 7.4 при анализе кинетических процессов в лазерах. [c.121]

Пример. Механическая система х = у, у = — х, описывающая движение линейного одномерного осциллятора, имеет глобальный первый интеграл [c.120]

Пусть механическая система является обобщенно-консервативной, а хотя бы один набор канонических переменных разделяется, причем либо каждая из соответствующих переменных 7г, pi является периодической функцией времени с одинаковым периодом, либо каждый импульс рх является периодической функцией координаты в то -время как сама координата не является периодической функцией времени. Движение первого типа обычно называется либрацией, а второго типа — вращением. Примером либрации могут служить колебания неизотропного осциллятора (см. пример 9.9), а примером вращения — движение математического маятника при достаточно большом значении начальной энергии. В самом деле, получая из интеграла энергии маятника обобщенный импульс [c.438]

Для построения операторов, которые должны представлять динамические переменные и наблюдаемые, как правило, применяются один или несколько из следующих подходов. Во-первых, образование квантовомеханических величин может выполняться по аналогии с классическими величинами примерами могут служить координаты и импульсы, а также комплексные нормальные координаты гармонического осциллятора. Во-вторых, можно строить операторы из других операторов например, операторы компонент орбитального момента количества движения выражаются через операторы координат и импульсов, причем формально сохраняется существующая в классической теории связь между этими величинами. Поскольку применяемые операторы не во всех случаях коммутируют, то при формировании произведений этот метод не всегда однозначно приво- [c.74]

Проиллюстрируем использование степенных рядов на примере интегрируемого слабо нелинейного осциллятора с одной степенью свободы. Это может быть показанный на рис. 2.1, а маятник, колеблющийся с небольшой амплитудой и описываемый гамильтонианом (1.3.6). Разлагая первое из уравнений (1.3.5) до третьего порядка по ф, запишем дифференциальное уравнение движения в виде [c.84]

Процедуру получения инварианта выше первого порядка лучше всего продемонстрировать на конкретном примере. Вначале мы продолжим вычисления п. 2. Зв и получим адиабатический инвариант второго порядка для медленно изменяющегося гармонического осциллятора. В качестве второго приложения теории найдем среднюю силу, действующую на заряженную частицу в поле высокочастотной электростатической волны. [c.156]

Тем ис менее в литературе можно найти примеры наблюдения непериодических колебаний. Здесь мы упомянем три таких приме ра. Во-первых, Ван дер Поль и Ван дер Марк [203] в конце статьи колебаниях в цепи с электронной лампой делают следующее заме чание Часто перед скачком частоты в телефонном приемнике слышен нерегулярный шум . Объяснение этому явлению предложу-но не было, и в классических исследованиях осциллятора Ван дер Поля больше не упоминалось о нерегулярных шумах . [c.98]

Идея о колебательной общности кажущихся непохожими на первый взгляд явлений самой различной природы (механических, электромагнитных, химических, биологических и т.д.) в наше время представляется естественной не только искушенным исследователям, но даже вчерашним школьникам. Действительно, в ответ на вопрос, что такое гармонический осциллятор, многие из них приведут в качестве примера и маятник ходиков , и электрический контур, составленный из емкости и индуктивности одновременно. Тем не менее и сегодня колебательные явления и эффекты, наблюдаемые в не столь тривиальных ситуациях, зачастую не всегда легко связать с основными элементарными процессами. Особенно это относится к волновым задачам. Поэтому имеется насущная потребность в учебном курсе, в котором современная теория колебаний и волн предстала бы перед читателем своими явлениями и эффектами, обнаруживаемыми в самых различных приложениях, по допускающими единое описание и понимание. Подчеркнем, что, хотя формально единство колебательных и волновых процессов совершенно различной природы основывается на сходстве математических моделей, оно не исчерпывается им. Ничуть не менее важным является межведомственная система понятий, моделей и приближений, позволяющая ориентироваться в чрезвычайном разнообразии колебательных и волновых процессов, которые встречаются в природе и технике. [c.11]

Пусть для примера О = 0/3 + Тогда в первом приближении резонанса не будет. Вынужденное решение С08[( о/3 - -имеет частоту, далекую от собственной частоты осциллятора. Однако уже во втором приближении из-за нелинейности появятся слагаемые типа С08[3( о/3 - - АшЩ, т. е. в правой части уравнения для уже будет резонансная сила на частоте + ЗДо (ее амплитуда пропорциональна А ), и, следовательно, возникнет резонанс параметрического типа соответствующая гармоника появляется благодаря произведению [c.290]

Если в системе возбуждена одна собственная мода, то ее амплитуду Aj можно выбрать чисто действительно величиной, тогда из (6) следует, что все Хп действительны, т. е. колебания всех осцилляторов в цепочке происходят либо в фазе, либо в противофазе друг с другом. Наглядно вид собственных мод можно представить, если отложить па графике вдоль оси абсцисс номера осцилляторов, а вдоль оси ординат — амплитуду колебаний. На рис. 2.39 показаны такие распределения для трех первых собственных мод в случае, когда ТУ = 9. Картина похожа па колебания струны, закрепленной в двух конечных точках, однако следует помнить, что в нашем примере речь идет о продольных колебаниях. [c.136]

Мы проинтегрировали уравнения движения осциллятора, находящегося под действием произвольной внешней силы, с помощью несколько искусственного приема сведения к (комплексному) уравнению первого порядка. В этом разделе для той же самой задачи будет развита другая, пожалуй — более естественная, техника, основанная на построении и использовании функций Грина. Такая техника чрезвычайно широко применяется и в теории поля, и в квантовой механике, поэтому будет уместным не пожалеть места, чтобы разработать ее на этом простом примере во всех подробностях. [c.93]

Пример 10. ДИНАМИЧЕСКИЙ ПОГЛОТИТЕЛЬ КОЛЕБАНИЙ . Принципиальную схему динамического поглотителя колебаний можно представить в виде двух грузов P и подвешенных последовательно с помощью пружин АВ ж ВС к неподвижной точке Л (рис. 37). Жесткости пружин обозначим через с, и g. к грузу приложена вертикальная гармоническая возмущающая сила Q sin wt. Описанная схема является, таким образом, последовательным соединением двух линейных осцилляторов — первого (основного) с грузом Pj и жесткостью j и второго — с грузом Pg и жесткостью с . Пренебрегая массами пружин, получим систему с двумя степенями свободы, положение которой при колебаниях будет определяться отклонениями Xj и x грузов от положения равновесия. Уравнения вынужденных колебаний системы будут иметь вид [c.164]

Сосредоточим внимание на собственных энергетических состояниях, когерентных и сжатых состояниях и повёрнутых квадратурных состояниях. В частности, обсудим распределение по энергии для этих состояний. Для случая полевого осциллятора это соответствует статистике фотонов электромагнитного поля. Когда речь идёт о колебательном движении, распределение по энергии соответствует вероятности заполнения отдельных фононных мод. Мы покажем, что распределение по энергии когерентного состояния является пуассоновским, в то время как соответствующее распределение сильно сжатого состояния содержит характерные осцилляции. Мы выведем простые аналитические выражения для этих распределений в пределе больших квантовых чисел. Именно здесь мы столкнёмся с первыми примерами того явления, которое красной нитью проходит через всю книгу в соответствующем асимптотическом пределе сложные явления становятся простыми. Следуя М. Берри, будем называть такой подход асимптотологией. Ещё один вопрос, обсуждаемый в данной главе, — временная зависимость координатных и импульсных распределений упомянутых выше состояний. Эти распределения можно найти из эволюции во времени [c.123]

Главной темой книги является асимптотология. Мы рассматриваем волновые функции квантовой системы в асимптотическом пределе больших квантовых чисел. В качестве первого примера такого асимптотического подхода рассмотрим волновую функцию гармонического осциллятора, отвечающую данной энергии, в пределе ш >> 1. Покажем, что волновая функция в данной точке пространства представляет когерентную суперпозицию волн, распространяющихся направо и налево с фиксированной разностью фаз. В фазовом пространстве эти величины имеют простой геометрический смысл. Следует подчеркнуть, что указанное свойство присуще не только волновой функции гармонического осциллятора, но может быть распространено на волновые функции, отвечающие любому произвольному потенциалу (см. обсуждение в гл. 5). [c.124]

Глава 7 (Гармонический осциллятор). Очень важны линейные задачи и, в частности, задача о вынужденных колебаниях гармонического осциллятора. Даже в объеме минимальной программы необходимо разобрать первый из трех примеров нелинейных задач, потому что он дает студентам понятие о том, как они могут оценить ошибки, обусловленные линеаризацией задачи о колебаниях маятника. Понятие о сдвиге фаз при вынужденных колебаниях гармонического осциллятора не сразу воспринимается большинством студеп-тов. Здесь помогает хорошая лекционная демонстрация. Электрические аналогии плохо воспринимаются на этой стадии преподавания, и их, может быть, следовало бы оставить для лабораторных работ. В демонстрации входят гармонические колебания камертонов (следует усилить их, чтобы звук был хорошо слышен, а также показать форму волны на экране) вынужденные колебания груза на пружине задаваемые генератором сигналов вынужденные электрические колебания контура, состоящего из сопротивления, индуктивности и емкости прибор Прингсхейма колебания связанных осцилляторов. [c.15]

На первый взгляд может показаться, что понятие устойчивости по Ляпунову является естественным обобщением устойчивости, рассматривавшейся нами для положения равновесия (которое можно трактовать как вырожденную характеристику). Но для классической динамики это понятие оказывается не всегда пригодным, поскольку оно связано со слишком сильными требованиями, накладываемыми на систему. Правда, выше мы привели несколько примеров, для которых имеет место устойчивость в указанном мысле, однако дан е для весьма простых систем, для которых интуитивное представление об устойчивости не вызывает сомнений, критерий устойчивости по Ляпунову не выполняется. Рассмотрим, например, частицу, движущуюся прямолинейно в силовом поле. Согласно определению устойчивости по Ляпунову движение в однородном поле неустойчиво это же относится и к обычному либрационному движению (если не считать некоторых тривиальных исключений, таких, как колебания гармонического осциллятора). Если однородное поле имеет направление вдоль оси Ох, то невозмущенной характеристикой, проходящей через начальную точку (а, и), будет [c.477]

Частными примерами задач с центральной силой являются изотропный гармонический осциллятор и куло-новское или гравитационное поле сил. В первом случае потенциал дается выражением [c.15]

Истинные ридберговские переходы обычно весьма интенсивны, если AiS = О и переход разрешен по симметрии. Для первых членов серии сила осциллятора / может быть порядка единицы. Так же как и в случае серий Ридберга для атомов, интенсивность уменьшается но мере увеличения п. Тем не менее часто даже у предела серии интенсивность оказывается достаточно большой, так что можно наблюдать нримыкаюш,ий сплошной спектр. Если в первом члене серии интегральная интенсивность в основном связана с одной полосой, то коэффициент поглош ения в максимуме пика поглощения может достигать величины порядка 5000 см атм , т. е. при давлении 1 атм поглощающий слой толщиной 1/5000 см достаточен для уменьшения первоначальной интенсивности в 1/е раз, или, другими словами, если толщина поглощающего слоя равна 1 м, то для достижения указанного эффекта достаточно давление около 1,5-10 мм рт. ст. Примером может служить первый ридберговский переход у молекулы H3I (фиг. 102), наиболее интенсивная полоса которого при 2011,6 А появляется уже при давлении 10 мм рт. ст., если толщина поглощающего слоя равна I0 см (Герцберг и Шайбе [539]). [c.434]

Рассмотрим вначале метод Крускала и проиллюстрируем его на примере вычисления адиабатического инварианта первого порядка для медленно изменяющегося гармонического осциллятора. Мы выбрали работу Крускала, а не Крылова и Боголюбова, поскольку Крускал показывает, как неканонические возмущенные решения связаны с переменными действия в тех случаях, когда дифференциальные уравнения можно получить из гамильтониана. [c.115]

Мы уже видели, что хаотическое движение может возникать в диссипативных потоках с размерностью фазового пространства не меньше трех, или в соответствующих этим потокам обратимых отображениях Пуанкаре, размерность которых не менее двух. В общем случае хаотическое движение имеет место лишь для узких интервалов параметров. В этом существенное отличие от гамильтоновых систем, где хаотическое движение сохраняется, как правило, в широком диапазоне параметров. Ниже описаны два критерия локальной стохастичности для диссипативных систем. В п. 7.3а метод квадратичной ренормализации применяется к двумерным обратимым отображениям и показывается сходимость последовательности бифуркаций удвоения периода и возникновение локального хаотического движения. В п. 7.36 получен критерий перехода к хаотическому движению вблизи сепаратрисы на примере вынужденных колебаний осциллятора с затуханием. Наконец, в п. 7.3в pa ютpeнa модель ускорения Ферми с диссипацией и используется описание хаотического движения с помощью уравнения ФПК. Это уравнение позволяет получить первое приближение для инвариантного распределения на странном аттракторе. [c.453]

Если же начальное возмущение не локализовано в пространстве, а, например, периодическое, характер его эволюции будет совершенно иной — нарастающие в результате модуляционной неустойчивости синусоидальные волны модуляции будут нелинейным образом искажаться на периоде волны образуются одни или несколько солитонов, но затем солитоны сглаживаются, и волна вновь приходит в начальное состояние, потом все повторяется и т. д. Явление возвращаемости наблюдалось экспериментально и для обсуждаемого нами примера — гравитационных волн на глубокой воде [11, 17, 45]. Соответствующие численные результаты представлены на рис. 20.3 [11, 18, 19, 45]. На рис. 20.4 показаны результаты физических экспериментов с нелинейными ЬС-цепочками, которые приближенно описываются уравнениями типа КдВ с кубичной нелинейностью. При синусоидальном возбуждении цепочки на границе наблюдалась почти полная возвращаемость вдоль цепочки синусоида трансформировалась в периодическую последовательность солитонов, т. е. возбуждалось большое число осцилляторов-гармоник, затем солитоны вновь превращались в синусоиду — все гармоники возвращали энергию первой гармонике. Впервые этот эффект в численном эксперименте наблюдали Ферми, Паста и Улам [20]. Они пытались подтвердить гипотезу о том, что в системах с очень большим числом степеней свободы наличия даже слабой нелинейности достаточно, чтобы энергия, запасенная в отдельных степенях свободы (модах), равнораспределилась по всем модам (перемешивание) и таким образом установилось бы термодинамическое равновесие (тер-мализация). Ферми, Паста и Улам экспериментировали с моделями нелинейных линейных цепочек из большого числа частиц и термализации [c.420]

Пример 29.2. Вычислим функцию V t,q,p ) для линейного осциллятора из примера 29.1. Из первого уравнения в общем решении (29.17) находится зависимость q t,q,p ), которая подставляется в формулу (29.22) (предполагается, что зависимость W t,q ,p ) в результате интегрирования в (29.3) получена). Итогом вычислений является полуглавная функция Гамильтона [c.166]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...