Нормальные координаты комплексные

При введении нормальных координат функция Гамильтона распадается на сумму ЗгЫ членов. Связанные колебания отдельных ионов формально заменены несвязанными коллективными колебаниями. Использованные здесь нормальные координаты комплексны. Вместо них можно такн<е выбрать вещественные нормальные координаты. [c.138]

Мы рассматриваем решетку с одним ионом на примитивную ячейку. Величины бг и ы, в действительности являются векторами и каждому значению я в зоне Бриллюэна соответствуют три нормальные координаты. Это обстоятельство приводит лишь к несущественному усложнению обозначений, и мы опустим дополнительные индексы, как если бы мы имели дело с одномерной системой. Смещения зависят от времени, поэтому нормальные координаты также зависят от времени. Хотя нормальные координаты комплексны, смещения [c.456]

Иногда эти координаты ошибочно называют нормальными координатами для диссипативных систем (или координатами, при переходе к которым система (6) распадается на независимые уравнения), в то время как нормальные координаты неконсервативных систем являются комплексными. [c.331]

Решение этого уравнения, полученное методом комплексных амплитуд для случая, когда диссипативные силы не связывают нормальные координаты, к [c.375]

Для построения операторов, которые должны представлять динамические переменные и наблюдаемые, как правило, применяются один или несколько из следующих подходов. Во-первых, образование квантовомеханических величин может выполняться по аналогии с классическими величинами примерами могут служить координаты и импульсы, а также комплексные нормальные координаты гармонического осциллятора. Во-вторых, можно строить операторы из других операторов например, операторы компонент орбитального момента количества движения выражаются через операторы координат и импульсов, причем формально сохраняется существующая в классической теории связь между этими величинами. Поскольку применяемые операторы не во всех случаях коммутируют, то при формировании произведений этот метод не всегда однозначно приво- [c.74]

Простое описание достигается путем введения комплексной нормальной координаты. Она получается при помощи линейного преобразования д и р [c.88]

При этом принимается, что в момент времени (о операторы в представлениях Шредингера и Гейзенберга совпадают. Поскольку существует одно-однозначная взаимозависимость между д, р, с одной стороны, и между а, а — с другой, то классический гармонический осциллятор может быть эквивалентным образом описан как координатами д, р, так и комплексной нормальной координатой. Аналогичные соответствующие заключения могут быть сделаны также и для квантовомеханических величин. [c.89]

Это справедливо, пока рассматриваются только вещественные нормальные координаты и коэфициенты. Случай комплексных нормальных координат разбирается ниже. [c.99]

Комплексные норА(альные координаты. Иногда вместо применения двух вещественных (ортогональных) взаимно вырожденных нормальных координат и % удобно вводить комплексные нормальные координаты. Так как любая линейная комбинация координат и является решением уравнений (2,10), то [c.112]

ИЛИ к осям второго порядка, перпендикулярным этим осям более высокого порядка. Поэтому, если такие плоскости илп оси отсутствуют, применимо только (2,82). В этом случае говорят, что колебания вырождены раздельно (см. Плачек [700]), так как может быть найдена пара координат, а именно, пара комплексных нормальных координат -/ и в (2,81), такая, что каждая из них при любой операции симметрии, допустимой для системы, преобразуется сама в себя (по крайней мере, с точностью до постоянного множителя). Однако в приведенных ранее примерах вырожденные колебания нельзя разделить, так как имеются плоскости, проходящие через ось симметрии, и перпендикулярные к ней оси симметрии второго порядка, к которым применимо преобразование (2,82а). Системой, которая обладала бы только раздельно вырожденными колебаниями, была бы, например, молекула типа ХзУ, если бы треугольник, образованный атомами Хз, был повернут относительно треугольника Уд. [c.113]

При рассмотрении некоторых вопросов нужно считаться с тем, что вырожденные колебания и собственные функции точечных групп Ср вырождены раздельно (стр. ИЗ). Комплексные нормальные координаты (или собственные функции), заданные выражениями (2,81), не переходят друг в друга ни при каких операциях симметрии. Поэтому характеры каждой составляющей часто даются раздельно. Они представляют собой просто комплексные множители, на которые нужно умножить нормальные координаты [c.135]

Так как в данном случае нет плоскостей, проходящих через оси симметрии третьего порядка, то дважды вырожденные колебания и собственные функции вырождены раздельно (см. стр. 113). Характеры раздельно вырожденных комплексных нормальных координат (2,81) по отношению к операциям Сз такие же, как и для точечной группы С з (табл. 26) по отношению к операции С характеры обеих составляющих равны -f-1. [c.139]

Нормальные координаты 76, 83, 88, 222 антисимметричные, входящие в потенциальную функцию только в четных степенях 223 для вырожденных колебаний 93, 98, 113 зависимость от времени 83, 87, 223 комплексные 111 полярные 93 [c.617]

Для удобства введем комплексные нормальные координаты и электронные собственные функции [c.51]

Комплексные нормальные координаты [c.209]

Введем теперь совокупность комплексных нормальных координат Q . записав амплитуды из (78.1) в виде [c.209]

Из соотношений (80.9) и (80.10) можно видеть, что комплексные нормальные координаты у являются декартовыми компонентами смещений, умноженными на /и спроектирован- [c.210]

Комплексные нормальные координаты 91,- I как базис для представления группы к) [c.228]

Так л<е как в 76, сейчас желательно получить правила преобразования комплексных нормальных координат. ) Важ- [c.228]

К на комплексную нормальную координату [см. (88.37)] [c.240]

Согласно (86.28), (86.29), совокупность (s-//) комплексных нормальных координат [c.241]

Получается, что полный набор собственных векторов (90.1) или комплексных нормальных координат (90.2), являющихся базисом неприводимого представления группы , может служить также базисом неприводимого представления )( )(/) группы , если этот базис преобразовать с помощью оператора обращения времени К- Отсюда сразу следует, что если )( ) является неприводимым представлением группы то )( )(/) тоже является таковым. [c.242]

Чтобы и оставалось вещественным всегда, должны существовать условия, налагаемые на представления, по которым преобразуются собственные векторы и комплексные нормальные координаты. Убедимся в этом на примере (86.1) [c.244]

Комплексные нормальные координаты как базис неприводимых представлений группы [c.284]

Пользуясь известным правилом преобразования от смещений в декартовых координатах к комплексным нормальным координатам уравнением динамики и соотношениями ортогональности для собственных векторов получим следующее выражение для кинетической энергии [c.331]

Здесь введен индекс V, чтобы подчеркнуть, что само существование и специфическая форма потенциальной энергии ядер за висит от электронного состояния системы, определяемого индексом V. В приведенной здесь форме уравнение (113,44) описывает движение ядер как движение ЪгЫ связанных гармонических осцилляторов. Чтобы расцепить осцилляторы, нужно провести преобразование к комплексным нормальным координатам аналогично (80.9), (80.10). Это унитарное преобразование приводит потенциальную энергию к диагональной форме (80.3) и оставляет кинетическую энергию Ф в ее диагональной форме (80.5). В классической теории [4] после преобразования к комплексным нормальным координатам можно перейти любым из двух способов к вещественным нормальным координатам. Этот вопрос обсуждается ниже в 114. [c.361]

В 101 было установлено, что удобный способ учета полной группы пространственно-временной симметрии состоит во введении в качестве динамических переменных комплексных нормальных координат Q . так как именно они являются базисом неприводимых представлений группы Таким образом, для учета симметрии кристалла комплексные нормальные координаты являются более удобными. [c.363]

С другой стороны, в квантовой механике более удобными являются вещественные основные переменные, так как комплексные классические координаты и импульсы при выполнении процедуры квантования дают локальные степени свободы, обусловленные калибровкой ([103], стр. 12). При обычном рассмотрении [4] вводят либо вещественные нормальные координаты первого рода [c.363]

Нахождение комплексных корней характеристического уравнения и модальных векторов неконсервативной системы представляет собой весьма трудоемкую операцию. Линеаризованные, реконсер-вативные модели механических крутильных систем приводов машин являются обычно определенно-диссипативными системами с малым трением [81], расчет свободных колебаний которых может быть упрощен. Рассмотрим нормальные координаты 8у (у = 1, 2,. . ., п) [c.163]

Преимущества перехода к нормальным координатам консервативной системы очевидны можно анализировать колебания по каждому собственному тону независимо, а исследование колебаний сводится к простому и наглядному рассмотрению одностепенных систем. О комплексных нормальных координатах неконсервативной системы см. работу [16]. [c.331]

Величины ala t) однозначно определяют вектор-потенциал в каждый момент времени. Можно показать, что величина ШаЦ) ведет себя в точности так же, как комплексная нормальная координата а 1) одномерного гармонического осциллятора в механике из содержащегося в разд. В 1.22 описания механического осциллятора видно, что величины а 1) и ЩаЦ) изменяются в точности одинаковым образом с течением времени [см. уравнение движения (В2.22-6а) и его общее решение (В2.22-7а)]. К такому же выводу можно прийти на основании уравнения (1.12-20). Далее возникает точно такая же взаимосвязь между гамильтоновскими функциями, на что непосредственно указывает сравнение уравнений (В2.22-5а) и (1.12-22). Комплексная нормальная координата а 1) полностью определяет в механике поведение гармонического осциллятора. Поэтому [c.135]

При классическом описании оказалось, что величина ala t) поля излучения формально эквивалентна комплексной нормальной координате механического осциллятора. Поэтому квантование выполняется таким образом, что величине О/а(0 сопоставляется некоторый оператор, обладающий такими же свойствами, что и оператор комплексной нормальной координаты в частности, он удовлетворяет тем же основным перестановочным соотношениям [ср. уравнение (В2.22-4в)]. Для каждой моды (/, о) величина а/а(/) заменяется на а.1а 1). Оператор а/о(/) обладает свойствами (зависящего от времени) оператора комплексной нормальной координаты. Следовательно, его нужно понимать в смысле представления Гейзегберга. На основании соотношений, задаваемых уравкением (В2.22-4в), получаются следующие перестановочные соотношения [c.139]

Следовательно, первое преобразование приводит только к умножению комплексных нормальных координат на некоторый (комплексный) множитель, тогда как второе преобразование превращает одну координату в другую, умноженную иа (комплексный) множитель ). Второе преобразовани . (2,82,а) применимо, как и прежде, только к плоскостям, проходящим через оси симметрии порядка выше второго, обусловливающие вырождение, [c.112]

В(к). В нескольких следующих параграфах мы построим базисные блоховские векторы, которые осуществляют приведение З . Мы установим их связь с фурье-компонентами смещений, динамической матрицей и собственными векторами динамической матрицы. Будут определены возникающие в таком рассмотрении комплексные нормальные координаты, для которых будут устд- [c.202]

Анализ, выполненный в 87—100, дает возможность завершить рассмотрение 86. По определению физическим неприводимым представлением является неприводимое копредставление. В (86.28) и (86.30) были получены правила преобразования комплексных нормальных координат (фурье-компонент) [c.284]

Выразим теперь все величины через нормальные моды . Ситуация при этом оказывается несколько отличной от рассмотренной в 4, поскольку здесь удобно использовать комплексные (т. е. неэрмитовы) нормальные координаты. [c.189]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...