О краевых задачах для системы (7.27а)

Для смешанной краевой задачи система уравнений строится путем преобразования (6.2.6) таким образом, чтобы 2N известных граничных параметров были в одной части равенств, а 2N неизвестных параметров — в другой. Например, если на всех N граничных элементах заданы нормальные напряжения = а п)о и касательные смещения ui = ( s)o. систему уравнений можно записать в виде [c.121]

Очевидно, что знание Auj и Auj дает возможность определить из (1.48), (1.52), (1.53) все остальные узловые перемещения, для которых выполняется условие плоского сечения. Следовательно, общее количество неизвестных перемещений в (1.51) уменьшается до 2N — п + 2. Кроме неизвестных перемещений неизвестными являются п узловых сил P i,Pl,...,P k,P i-Таким образом, общее число неизвестных в (1.51) равно 2N+ 2. Для замкнутого рещения краевой задачи необходимо к системе 2N уравнений (1.51) добавить два дополнительных уравнения равновесия сил и момента (1.49), (1.50) по плоскому сечению. Поскольку в уравнениях (1.49), (1.50) axx = f ui, Aoi.....Auu, Avn), to решить совместно (1.49) — (1.51) в общем случае можно только итерационным методом. [c.29]

Применение метода сеток позволяет свести дифференциальную краевую задачу к системе нелинейных в общем случае алгебраических уравнений относительно неизвестных узловых значений функций. [c.12]

Решая (1.80) относительно сеточной функции щ, найдем таблицу значений, аппроксимирующую решение краевой задачи (1.77). При уменьшении шага Л сетка становится все гуще , а таблица значений сеточной функции—все подробнее. При неограниченном стремлении шага к нулю можно было бы получить значения искомой функции в каждой точке области. Однако в реальных случаях степень приближения к точному решению ограничивается рядом факторов, важнейшим из которых является размерность результирующей системы уравнений (1.80). [c.44]

Разностная схема (1.86), (1.87) устойчива и аппроксимирует исходную краевую задачу (1.6) со вторым порядком точности относительно шага. Кроме того, она регулярна по направлениям осей X и у, что позволяет создавать быстродействующие алгоритмы решения результирующей системы алгебраических уравнений. [c.48]

Обрабатывающие модули обеспечивают решение конкретных краевых задач, относящихся к рассматриваемому классу. Кроме того, к этим модулям могут относиться базисные модули, обеспечивающие а) трансляцию исходных данных (геометрия области, краевые условия, вид исходного уравнения) на язык внутреннего описания, принятый в комплексе б) построение сетки (определение по номеру узла его координат и номеров соседних с ним узлов) в) построение дискретных аппроксимаций (формирование матрицы коэффициентов и вектора правых частей системы алгебраических уравнений). [c.51]

Решение краевой задачи. Введем произвольную характеристику первого семейства д1. В силу того, что при сверхзвуковых скоростях уравнения (1.6)-(1.9) имеют гиперболический тип, форма отрезка дЬ не влияет на обтекание отрезка ад. Поэтому, если контур аЬ обладает минимальным сопротивлением при заданной характеристике ае и определенных величинах Ф, Г, то и отрезок дЬ должен иметь минимальное сопротивление при фиксированной характеристике д1 и своих фиксированных величинах Ф, X. В противном случае уменьщение сопротивления отрезка дЬ привело бы к уменьщению сопротивления всего контура аЬ. На участке 1Ь выполняются уравнения (2.15), (2.28)-(2.30), а в точке Ь — граничное условие (2.24). Условия непрерывности функций а, 1 , в точке I и первое условие из (2.12) также удовлетворяются. Но если участок дЬ контура обладает минимальным сопротивлением, то в точке I должно выполняться и условие трансверсальности (2.34), записанное для 4/ Это условие в силу произвольности выбранной характеристики д1 должно выполняться на всей характеристике ЬН. Поэтому оно должно являться интегралом системы уравнений (2.11), (2.15), (2.28)-(2.30). [c.78]

Исследование областей, в которых реализуются те или иные решения, удобнее всего производить в плоскости а, в. Ta oe исследование связано с трансцендентными системами уравнений, например, с системой (4.23)-(4.25) или (3.57), (3.58), (3.44), (3.45) и с решениями краевых задач для систем нелинейных дифференциальных уравнений, например, (1.20), (2.40)-(2,43). Анализ областей существования различных решений в общем виде здесь не представляется возможным. Некоторые необходимые результаты могут быть получены при помощи вычислений. Ряд заключений может быть получен на основании уже имеющихся сведений о решениях вариационных задач. [c.124]

Краевая задача в скоростях состоит в том, что при заданных скоростях изменения внешних сил Ri в области V, поверхностных сил ji на Sq и перемещений iit на найти 15 функций а,/, гц, щ, удовлетворяющих системе уравнений [c.260]

Пусть теперь и — и а, ) —решение краевой задачи (5.271), (5.272), (5.274), (5.283) (в предположении, что хотя бы одно такое решение существует) и пусть = (а) —кинематически возможное состояние. Умножим i-e уравнение системы (5.271) на у,-, сложим результаты и проинтегрируем по области Qo. Воспользовавшись при этом формулой Гаусса— Остроградского, получим [c.279]

Полученный результат позволяет увидеть, насколько задачи оптимизации сложнее обычных краевых задач в рассматриваемом варианте число уравнений удваивается и получается система связанных друг с другом уравнений. В аналогичной ситуации для уравнений теории упругости получилась бы система шести дифференциальных уравнений относительно шести неизвестных функций, решить которую при современном уровне развития вычислительной техники можно лишь в крайне редких случаях. [c.304]

Определение решения системы дифференциальных уравнений движения (52) при заданных начальных значениях координат и скоростей (55) представляет собой пример так называемой задачи Коши. Эта задача, как доказывается в теории дифференциальных уравнений, при весьма общих ограничениях, накладываемых на правые части дифференциальных уравнений, имеет решение и притом единственное. В теоретической механике могут ставиться задачи и другого тша —краевые задачи. Так, например, можно задать положения точки, соответствуюш,ие двум различным моментам времени t = to и t = t[ при этом система (53) также приведет к шести уравнениям с шестью неизвестными, но, в отличие от задачи Коши, такого рода краевая задача может и не иметь решения, а если будет иметь, то это решение может оказаться не единственным. [c.33]

Если на границе тела заданы напряжения, то определение напряжений во всех точках тела связано с интегрированием гиперболической системы двух нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных (IX.11) при известных граничных условиях. Обычно эти уравнения решаются приближенными методами построения полей линий скольжения. Иногда удается построить решение краевой задачи, основываясь только на свойствах линий скольжения. [c.116]

Если форма осевой линии стержня в критическом состоянии мало отличается от ее формы в естественном состоянии, то система уравнений (1), (3) позволяет определить модуль критической распределенной нагрузки Критическая нагрузка есть собственное значение однородной краевой задачи для системы уравнений равновесия (3). [c.277]

Система уравнений (4.1) — (4.4) не содержит сил сопротивления, т. е. описывает малые колебания консервативной системы. В этом случае собственные значения краевой задачи Я (частоты) есть действительные числа. После преобразований получаем систему уравнений относительно векторов Ыо, 0о> АОо и АМо [c.75]

При исследовании колебательных процессов в распределенных системах конечной длины обычно используется метод Бернулли, т. е. решение разлагается по собственным функциям краевой задачи. Вид собственных функций существенно зависит от граничных условий, связывающих ток и напряжение пли силу и смещение на границах системы. [c.328]

Вынужденные колебания в распределенной системе конечной длины представляются в виде разложения по собственным ())унк-циям краевой задачи. Если частота внешней силы совпадает с одной из собственных частот системы, происходит резонансное увеличение амплитуды колебаний. [c.334]

Естественно, что одно и то же уравнение в одной системе координат допускает разделение переменных, а в другой может не допускать. При положительном ответе на этот вопрос рассмотрение краевых задач методом разделения переменных целесообразно только тогда, когда в соответствующей координатной системе рассматриваемая область представляет собой параллелепипед соответствующей размерности. Уравнение Лапласа в пространственном случае допускает разделение переменных в некоторых системах координат (декартовых, эллипсоидальных, тороидальных, а в плоском случае в полярных и биполярных). [c.118]

С учетом всего сказанного для краевой задачи получается система алгебраических уравнений. В связи с этим возникают вопросы о разрешимости и устойчивости системы, степени близости приближенного решения к точному в зависимости от размеров шага сетки. Поскольку системы оказываются весьма высокого порядка, то становится важным также и вопрос о методах эффективного их решения. [c.174]

Аналогично, в случае внешней краевой задачи, используя две первые формулы в (1.11), приходим к системам уравнений, определитель которых оказывается равным [c.337]

Будем считать, что напряжения на системе дуг М обращаются в нуль. Их можно устранить посредством частного решения второй основной задачи, задав, например, дополнительно на дугах Ь равные нулю напряжения. В результате суперпозиции на системе М получатся требуемые однородные краевые условия, а на системе L произойдут соответствующие изменения краевых условий. Согласно (7.6) и (7.11) будем иметь краевую задачу Римана с разрывными коэффициентами [c.419]

Осуществляя теперь предельный переход (при тех же, ранее упомянутых ограничениях на поведение функции в концевых точках), приходим к системе краевых задач Римана для функций Ф(г) ИЙ (г) [c.424]

Допустим, что подлежащее определению внешнее напряжение на поверхности 5i представлено в виде ряда с неизвестными коэффициентами по некоторой полной системе функций, умноженного на функцию, учитывающую характер особенности в напряжениях (который определяется согласно 8 гл. III). Тогда приходим к совокупности вторых краевых задач. Решив каким-либо образом эти задачи, находим в каждом случае значения смещений на поверхности 5i. Теперь возникает задача об определении коэффициентов введенного выше ряда из удовлетворения краевых условий на Sj. Здесь можно воспользоваться различными приемами методом коллокаций, методом наименьших квадратов и т. п. Получаемые при использовании конечного отрезка ряда системы алгебраических уравнений для коэффициентов могут оказаться плохо обусловленными ), причем число обусловленности растет с увеличением порядка системы. [c.597]

Применяя неявные схемы, мы получаем для определения значений искомой сеточной функции на верхнем временном слое систему алгебраических уравнений. Если схема линейная, то эта система также линейная и для ее решения можно использовать стандартные вычислительные методы линейной алгебры. Однако число арифметических действий, необходимое для решения линейной алгебраической системы общего вида, имеющей порядок N, быстро возрастает с увеличением N (пропорционально Л ). Для одномерных сеточных краевых задач число N мо- [c.92]

С каждой характеристикой связано некоторое соотнощение. Таким образом, в точке Q имеется s соотношений, которые являются следствиями системы дифференциальных уравнений. Для того чтобы определить р неизвестных компонентов, нужно иметь еще р—S соотношений. Значит, число граничных условий, задаваемых при постановке краевой задачи, должно быть равно р—s (см. 2.2). [c.99]

При переходе от дифференциальной краевой задачи к сеточной нужно аппроксимировать не только внешние граничные условия, входящие в постановку краевой задачи, но и внутренние граничные условия, вытекающие из системы дифференциальных уравнений. Наиболее естественным способом аппроксимации внутренних граничных условий является замена соответствующих характеристических соотношений их сеточными аналогами. На практике часто применяют и другие способы. В частности, вместо характеристических соотношений используют некоторые из уравнений основной системы. Эти уравнения аппроксимируют с помощью явной схемы уголок , имеющей первый порядок аппроксимации, или с помощью неявной схемы прямоугольник второго порядка точности (см. п. 3 3.2, пример 6). Заметим, что в последнем случае трудности при решении уравнений для искомых функций на верхнем слое не возникают, так как в соседнем с границей узле все неизвестные могут быть определены по основной явной схеме. [c.99]

Изложим кратко идею метода матричной прогонки для решения систем вида (3.70). Для упрощения изложения не будем связывать (3.70) с какой-либо конкретной краевой задачей для квазилинейной системы (3.66), а рассмотрим систему уравнений специального вида [c.101]

Краевую задачу длч гиперболической системы (5.35) формулируют следующим образом. Задается некоторое начальное иоле [c.139]

Совместное решение системы алгебраических уравнений (1.5.18). Определение выходных параметров краевой задачи. Для линейных краевых задач система уравнений (1.5.18) линейна. Для ее решения обычно используют методы Гаусса, Халецдого, сопряженных градиентов и иногда, при очень высоком порядке системы, итерационные методы. [c.58]

Для нелинейных краевых задач система уравнений (1.5.18) нелинейна, поскольку матрица К является функцией определяемых неизвес- тных параметров Q . При решении нелинейной системы алгебраических уравнений используют итерационные методы. [c.58]

Исследование пластического состояния, отвечаюгцего грани призмы Треска, упирается в изучение краевых задач системы уравнений (11). Из физических соображений достаточно очевидным представляется тот факт, что краевые условия для этой системы должны удовлетворять специальным ограничительным соотногаениям, обеснечи-ваюгцим сугцествование и единственность регаения. [c.266]

Зависимость всех возмущений от х, у и t задается в виде ехр i к х + + к у — o)i), а зависимость их от z определяется из решения возникающей при этом краевой задачи. Система уравнений в случае произвольного магнитного поля и конечных значений числа Рейнольдса Re, магнитного числа Рейнольдса Re i и числа Гартмана На сводится к системе шестого порядка, состоящей из двух уравнений. Собственная частота находится как собственное значение рассматриваемой краевой задачи, причем ш зависит от / j, /сд, Re, Remt На. Как обычно, целью работ по гидродинамической теории устойчивости является нахождение границы устойчивости, т. е. поверхности Im со = О в пространстве переменных к , / j, Re, Re На. Результаты представляются часто в виде семейства нейтральных кривых Imto kl, Re) = О на плоскости к , Re, причем остальные переменные к , Rem и На) рассматриваются в качестве параметров семейства. В ряде случаев можно уменьшить число параметров, от которых зависят [c.455]

Замечание 8.12.1. Использование принципа Гамильтона приводит к необходимости решать краевую задачу, то есть задачу о поиске решения системы дифференциальных уравнений движения, удовлетворяющего заданным краевым условиям q(системы дифференциальных уравнений определяется по начальным условиям q(to), Задача Коши в силу принципа [c.613]

Квазистат иче С ка Я краевая задача состоит в том, чтобы при заданных внешних силах Ri(xk, t) в области V, поверхностных силах qi(Xh,t) на части поверхности 5, и перемещениях щ хк, t) на части поверхности Su найти 15 функций Oii, ег/, U , удовлетворяющих в области V при всяком ie[0, tk] системе уравнений (11.38), (11.34) и краевым условиям (11.39), (11.40). [c.260]

Как известно, постановка задачи в перемещениях не является единственно возможной. В ряде случаев более целесообразным является использование постановки задачи в напряжениях. Краевая задача для соответствующей системы дифференциальных уравнений здесь использована не будет, а будет произведен переход сразу к вариационной постановке — минимизации (максимизации) соответствующего функционала с помощью применения преобразования Фридрихса [17] к получепным ранее проблемам минимизации функционалов вида [c.202]

Возможный способ решения смешанных задач состоит в рассмотрении их как нестационарных и использовании процесса установления по времени. В основе такого приема лежит физический факт, что стационарное течение на достаточно большом отрезке времени при неизменных внешних условиях является пределом нестационарного течения. Численные эксперименты подтверждают, что стационарное решение задач газовой динамики может быть найдено как предел при 1- о° нестационарного-решения при стационарных (не зависяш их от времени) граничных условиях. С этой целью в стационарные уравнения вводится новая независимая переменная — время, в результате чего сложные эллиптико-гиперболические краевые задачи заменяются на смешанные задачи для гиперболической системы уравнений нестационарной газовой динамики, для которых разработаны эффективные численные методы решения. Начальные условия могут быть заданы довольно свободно, так как в процессе установления решения по времени их влияние ослабевает и процессом управляют стационарные граничные условия. [c.268]

Как видим, метод Канторовича — Власова позволяет свести двумерную (а в общем случае и трехмерную) краэвую задачу к краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений типа (8.54). Для ее решения в современной i ычгслительной математике существует ряд эффективных методов. Укажем, например, на метод ортогональной прогонки С. Г. Годунова (см. [20]) и на интерполяционный метод 12, с. 429]. [c.257]

Для численного пптегрировагсия полученной системы уравнений разобьем выделенный объем среды точками г = (г=1, 2,. ... ... п) на и материальных частиц значения всех искомых функций будем определять в точках = г (i=l, 2,. .., п). Тогда четыре последних дифференциальных уравнения в частных производных по времени от иеремеп ых а,, а, w, р2 перейдут в Ап обыкновенных дифференциальны уравнения по времени, для численного интегрирования которых удобно использовать модифицированный метод Эйлера — Коши. Для определения значений давления р i в точках г = г. в к шдый фиксированный момент времени необходимо решать лине пую (для pi ) краевую задачу для первого дифференциального (по / ) уравнения второго порядка с краевыми условиями (6 7.17). [c.53]

Приведем решение краевой задачи, когда имеется система разомкнутых контуров Lj, 2, , (которую будем обозначать L ). Концы дуг в цаправлении интегрирования обозначим йк а bk k , 2, п). Положим для простоты коэффициент [c.25]

Вообще говоря, трудности, возникающие при решении задачи D, такие же, как и при решении краевых задач для области, ограниченной несколькими поверхностями. Здесь имеется ввиду следующее. Пусть несколько поверхностей S/ (/=1,2,. .., п) расположены друг вне друга, а одна, обозначаемая через So (эта поверхность может и отсутствовать), охватывает все остальные. Область D расположена между этими поверхностями ). Тогда решение для искомых гармонических функций (как в задаче Дирихле, так и в задаче Неймана) можно представить в виде потенциалов двойного и простого слоев соответственно, имея ввиду плотности, распространенные на все поверхности. В результате будут получены интегральные уравнения той же структуры, что (7.8) и (7.9), вернее, будут получены системы уравнений для функций ф,( ) (/ = 0,1,2,. .., п). [c.105]

Эта система, вообще говоря, вырожденная, поскольку она должна быть неразрещимой при произвольной правой части. Условием же ее разрешимости является условие равенства нулю главного момента внешних сил ), что должно выполняться по постановке краевой задачи. С другой стороны, как ранее отме- [c.389]

Поскольку на системе дуг L правые части определяются производными от заданных смещений, то фактически краевая задача поставлена для случая, когда смещения штампов заданы с точностью до поступательного перемещения, определяемого в ходе решения всей задачи из дополнительных условий, связанных с приложенными ус]1лиями. Величина моментов определяется после нахождения распределения давления. [c.419]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...