ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Движение вблизи сепаратрисы из "Регулярная и стохастическая динамика " В этом разделе мы рассмотрим метод Мельникова [299 ], позволяющий исследовать движение вблизи сепаратрисы системы, близкой к интегрируемой. Этот метод позволяет получить критерий возникновения стохастичности в окрестности сепаратрисы при наличии диссипации. Мы уже видели (см. п. 3.26 и рис. 3.4), что в типичной гамильтоновой системе движение около сепаратрисы всегда хаотическое. Однако в присутствии диссипации это уже не так. Поэтому важно найти условия, при которых возникает хаос. [c.457] Схематически это показано на рис. 7.24, а, где в фазовом пространстве (xi. Ха) системы изображены совпадающие в данном случае входящая х (t) и выходящая х (t) сепаратрисы. Внутри области, охватываемой сепаратрисой, имеется, вообще говоря, эллиптическая неподвижная точка. [c.458] Метод Мельникова. Чтобы найти условие пересечения, вычислим по теории возмущений расстояние О между сепаратрисами в некоторый момент времени Для случая на рис. 7.24, б 0 0, а на рис. 7.24, в 0 0 при любом д. И, только если для какого-либо io величина О меняет знак, возникает хаотическое движение ), показанное на рис. 7.24, г. [c.459] Все эти случаи рассмотрены Мельниковым [298].— Прим. ред. Вообще говоря, это будет лишь так называемый переходной или временный хаос (см. ниже).— Прим. ред. [c.459] Пунктирной кривой показана невозмущенная сепаратриса гиперболической точки которая под действием возмущения смещается в точку Х . [c.460] Действие этого оператора удобно представить в виде хДЗ = где — единичная антисимметричная матрица (612 = ) — Прим. ред. [c.460] Полученная зависимость D от определяет характер движения. Если D ( о) меняет знак, то сепаратрисы пересекаются (рис. 7.24, г) и движение в этой области является хаотическим. [c.461] Стационарное хаотическое движение. Нужно подчеркнуть, что условие пересечения сепаратрис (7.3.38) является локальным критерием стохастичности и применимо только вблизи невозмущенной сепаратрисы. Поэтому такой критерий ничего не говорит о появлении странного аттрактора, который представляет стационарное хаотическое движение в большой области фазового пространства. Уравнение Дюффинга без диссипации (б = 0) является гамильтоновым и всегда имеет хаотические решения вблизи сепаратрисы. Мы знаем, что хаотическое движение в этом случае происходит в узком слое и ограничено инвариантными кривыми. Однако при б 0 все инвариантные кривые разрушаются и траектория, хаотическая вблизи сепаратрисы, может уйти далеко от нее и захватиться устойчивым фокусом или предельным циклом. Такое поведение наблюдал Холмс [195] при аналоговом моделировании уравнения Дюффинга ). Поэтому единственное, что можно ожидать при выполнении условия пересечения сепаратрис (7.3.38), — это нерегулярное блуждание траектории в течение некоторого времени, пока она не попадет на какой-либо аттрактор, простой или странный. [c.463] Напомним, что расстояние между сепаратрисами находится делением D (to) на lA I = l/oi = [u + X (1—[для (7.3.32)]. Вблизи гиперболической точки и, X О, и расщепление сепаратрисы быстро возрастает, а полученные приближенные оценки перестают быть спрайедливыми. В пределах их применимости, однако, это не влияет на условие пересечения сепаратрис (7.3.38) ниже.— Прим. ред. [c.463] Это явление вырождения хаоса, по-видимому, впервые было обнаружено в работе [274] и исследовалось в работах [73, 74, 530].—Прим. ред. [c.463] Метод Мельникова можно обобщить и на многомерные системы [196 ]. В частности, его можно использовать для изучения движения вблизи сепаратрисы вторичных резонансов. Этот метод привел также к важным математическим результатам в теории диффузии Арнольда [197[ ). [c.465] Речь идет о более аккуратном установлении самого факта существования диффузии в окрестности резонансных сепаратрис для широкого класса гамильтоновых систем (гипотеза Арнольда [462]).— Прим. ред. [c.465] Вернуться к основной статье