Уравнение Дуффинга

Рис. 1.1. Семейство амплитудно-частотных характеристик для уравнения Дуффинга

Рис. 5.5. Графики дисперсии для уравнения Дуффинга при узкополосной случайной нагрузке

Рис. 5.6. Устойчивые и неустойчивые решения уравнения Дуффинга (штриховые линии — неустойчивые ветви)

Аналогичным уравнением можно описать и нерезонансную нелинейную добавку к показателю преломления в среде, нелинейный отклик которой описывается уравнением типа уравнения Дуффинга [c.75]

Итак, рассмотрим осциллятор с кубичной нелинейностью, описываемой уравнением Дуффинга [c.215]

Примерами хаотизации движений осциллятора внешними периодическими возмущениями могут быть хаотические движения в уравнении Дуффинга и осцилляторе Ван-дер-Поля. Пример хаотизации периодическим параметрическим воздействием был указан выше (уравнение (1.23)). Был приведен и пример хаотизации при инерционном изменении параметра (уравнения Лоренца). Более подробное рассмотрение этих примеров и многих других будет дано позднее — в гл. 7 и 9. [c.22]

Прежде всего рассмотрим нелинейный осциллятор, описываемый уравнением Дуффинга и находящийся под действием гармонической внешней силы, содержащей, в общем случае, постоянную составляющую [c.267]

Пример. Уравнение Дуффинга д д = 0. [c.313]

На всей оси х уравнение Дуффинга имеет вид [c.375]

Подставляя (28) в (9) получаем уравнение Дуффинга, содержащее у [c.379]

В случае, когда в уравнении Дуффинга имеется у, существуют две возможности в поведении сепаратрис [c.379]

Уравнение Дуффинга (29) при (5 = 0 всегда имеет хаотические решения вблизи сепаратрисы. Хаотическое движение в этом случае происходит в узком слое и ограничено инвариантными кривыми. При > О уравнение (29) является аналогом уравнения Дуффинга во времени с учетом диссипации и, следовательно, возможно суш ествование стохастических аттракторов. Действительно, при (5 > О происходит разрушение инвариантных линий, ограничиваюш их стохастичность вблизи сепаратрисы, и фазовые траектории могут уходить от нее достаточно далеко и попасть в область притяжения устойчивого фокуса или цикла. Таким образом, как показано с помогцью аналогового моделирования [17], при выполнении условия (35) и (5 > О траектория блуждает в окрестности сепаратрисы, пока не попадет на какой-либо аттрактор, простой или странный (стохастический). [c.380]

В случае, когда в уравнении Дуффинга имеется у, то суш,ествуют три возможности в поведении сепаратрис 1) сепаратрисы нигде не пересекаются, причем любая из них может полностью охватывать другую (рис. 4) 2) сепаратрисы пересекаются в бесконечном числе точек и в этом случае возникает хаотическое движение луча. [c.816]

Уравнение Дуффинга (70) при = О всегда имеет хаотические решения вблизи сепаратрисы. Хаотическое движение в этом случае происходит в узком слое и ограничено инвариантными кривыми. При <5 > О уравнение (70) является аналогом уравнения Дуффинга во времени с учетом диссипации и, следовательно, возможно суш ествование стохастических аттракторов. Действительно, при <5 > О происходит разрушение инвариантных линий, ограничиваюш их стохастичность [c.816]

О ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЯХ УРАВНЕНИЙ ДУФФИНГА [c.234]

Уравнения Дуффинга. Мы будем рассматривать колебания одномерной системы, возбуждаемой внешней гармонической силой. Они описываются уравнением [c.234]

Рассмотрим уравнение Дуффинга [c.314]

Рис. I.I5. Траектории осциллятора с нелинейной возвращающей силой (уравнение Дуффинга (1.2.19)) на фазовой плоскости а — случай жесткой пружины, а, /3 > 0 б — случай мягкой пружины, а > О, /3 < 0 в — потенциал с двумя ямами, а < О, 0 > 0.

Рис. .16. Бифуркационные диаграммы а — бифуркация типа вил для уравнения Дуффинга (1.2.19), отвечающая переходу из состояния с одним устойчивым положением равновесия в состояние с двумя устойчивыми равновесными точками б — бифуркация Хопфа, отвечающая переходу от устойчивой спирали к колебаниям на предельном цикле.

Интересно отметить, что и уравнение Дуффинга, и уравнение Ван дер Поля изучаются уже несколько десятков лет, и тем не ме-gee ни в одном из распространенных изданий по нелинейным колебаниям не упоминается об их хаотических решениях. В следующем разделе мы рассмотрим другие нелинейные хаотические цепи. [c.93]

ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ИНДУКТИВНОСТИ УРАВНЕНИЕ ДУФФИНГА [c.162]

ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЧАСТИЦЫ В ПОТЕНЦИАЛЕ С ДВУМЯ ЯМАМИ УРАВНЕНИЕ ДУФФИНГА [c.163]

Пример такого рода вычислений показан на рис. 5.29, где результаты численного интегрирования уравнения Дуффинга (1.2.4) в хаотическом состоянии представлены как функция времени, прошедшего с начала счета (числа циклов). Интегрируемые уравнения имели вид [c.203]

Сравнение показателей Ляпунова при различных значениях параметров в уравнении Дуффинга проведено в табл. 5.1. Изложенный [c.204]

Уравнение Дуффинга Обыкновенное дифференциальное уравнение с кубической нелинейностью и гармонической вынуждающей силой X Л- сх Л- Ьх а> = / сов о>Г. (Названо в честь г. Дуффинга (около 1918 г.).) [c.274]

Полученный здесь результат аналогичен результату исследования нелинейных случайных колебаний, описываемых уравнением Дуффинга. Как показано в гл. 5, при узкополосных случайных воздейстйиях также получаются неоднозначные решения, отра-жаюш,ие явление затягивания амплитудно-частотных характеристик и перескока отдельных реализаций с одной устойчивой ветви на другую. Статистическое истолкование полученных результатов нуждается в дополнительных пояснениях. [c.204]

Частными случаями этого уравнения являются известные уравнения Дуффинга, Хилла и Матье, а также линейный осциллятор под действием внешней гармонической силы. Такой же вид имеет осциллятор Ван-дер-Поля с внешним гармоническим воэдей-ствием. [c.15]

Вынужденные колебания нелинейной системы, описываемой уравнением Дуффинга, исследовать столь просто не удается. И поныне это уравнение исследовано не полностью. Без особого труда удастся исследовать только случай малых затуханий б и а > 0. Резонансные кривые имеют при этом вид, показанный на рис. 1.11, и отличаются от резонансных кривых линейного осциллятора (рис. 1.10) наклоном ника и появлением неодноднознач-ности. Наклон происходит влево или вправо в зависимости от знака величины Ь в уравнении Дуффинга (1.18). Этим наклоном и неоднозначностью вызывается известное явление гистерезиса амплитуды вынужденных колебаний при медленном изменении частоты V внешней силы. Опо состоит в скачках амплитуды и том, что эти скачки происходят [c.16]

ВынужАенные колебания. Вынужденные колебания нелинейного осциллятора мы рассмотрим на примере уравнения Дуффинга [c.203]

Применим эти результаты к уравнениям Дуффинга. Сначала рассмотрим систему из примера а. Прежде всего докажем, что при а ф О невозмущенная система невырождена. Более точно, знак второй производной сРЩ/си совпадает со знаком коэффициента а в выражении для восстанавливающей силы. Кстати сказать, при а ф О эта система тождественно вырождена. [c.239]

Рис. 5.3. Диаграмма, показывающая области хаоса для колебаний материальной очхи в погенш1але с двумя ямами уравнение Дуффинга (3.2.2)]. Гладкая граница оогветствует критерию гомоклинической траектории (разд. S.3.).

К числу таких задач относится, например, задача о колебаниях частицы в потенциале с двумя ямами [уравнение Дуффинга (5.2.2)]. При е О можно провести сечение Пуанкаре трехмерного тороидального потока, синхронизованное с фазой со Л Показано (см. книгу Гукенхеймера и Холмса [57]), что в таком сечении Пуанкаре также существует седло с устойчивым и неустойчивым многообразиями и (рис. 5.19). [c.183]

Твблица 5.1. Сравнение вычисленных значений показателя Ляпунова для уравнения Дуффинга X + кх + = Всхк1 при различных значениях к к В [c.205]

Хаотические колебания (1990) -- [ c.22 , c.30 , c.43 , c.83 , c.93 , c.162 , c.163 , c.197 , c.274 , c.281 ]

Колебания в инженерном деле (0) -- [ c.156 ]

Синергетика иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах (0) -- [ c.68 ]

Элементы теории колебаний (2001) -- [ c.263 , c.267 ]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...