Известные интегрируемые случаи

Мы начали писать эту книгу два года назад, задавшись целью собрать в ней все известные интегрируемые случаи в динамике твердого тела. Нам казалось, что такой проект мы осуществим достаточно быстро и книга должна была выйти в 2000 г — в год 150-летия со дня рождения С. В. Ковалевской. Мы также хотели дать исчерпывающую информацию относительно открытого ею случая и метода. [c.10]

Известные интегрируемые случаи. В случае осесимметричного в пространстве одного силового поля, т.е. при U = U j),W = W -f) различными авторами были отмечены следующие аналоги интеграла Гесса, которого в этом случае достаточно для полной интегрируемости [c.250]

В книге рассмотрены основные формы уравнений движения твердого тела, включая движение в потенциальных полях, в жидкости (уравнения Кирхгофа), с полостями, заполненными жидкостью. Приведены условия понижения порядка этих уравнений и существования циклических переменных. Собраны практически все известные к настоящему времени интегрируемые случаи и способы их явного интегрирования. Для исследования широко используются компьютерные методы, позволяющие наглядно представить картину движения. Большинство результатов книги принадлежат авторам. [c.2]

Известные до настоящего времени интегрируемые случаи системы (2.8), (2.9) представлены в таблице 3.2. [c.186]

Интегрируемые случаи для системы (4.1) известны для трех видов потенциалов У (х, /3, 7) = 1 (Ао, А1, Аг, Аз) (здесь а,/3,7 — направляющие косинусы, а А — параметры Родрига-Гамильтона). [c.206]

Еще раз о локальности. Теорема Лиувилля, равно как и предыдущие теоремы, формально носит сугубо локальный характер. Из доказательства теоремы Дарбу следует, что всякая гамильтонова система вполне интегрируема в окрестности любой неособой своей точки. На практике, однако, нас не интересует потенциальное и бессодержательное существование интегралов в малом. Нам важны случаи, когда явно предъявляются первые интегралы движения, определенные во всем или почти всем фазовом пространстве задачи. Вместе с тем, поскольку на практике мы всегда имеем дело с аналитическими функциями, поведение которых в целом, как известно, определяется поведением в малом, то, опираясь на локальные теоремы, мы сможем в конце концов получать заключения нелокального характера о фазовом потоке. [c.266]

Ниже приведен краткий перечень основных общих случаев точной интегрируемости более полные сведения можно найти в известных справочниках [21, 30]. [c.42]

Уравнения движения твердого тела с неподвижной точкой (п = 3) в известных случаях их интегрируемости Эйлера и Лагранжа [3] допускают общий двухчастотный интеграл, и поэтому степень вырождения в указанном выше смысле равна единице. [c.149]

Как же можно математически характеризовать столь сложные движения Прежде всего рассмотрим эргодическое движение. В этом случае траектория любой отдельной точки пересекает произвольно выбранную область фазового пространства бесконечное число раз (при t схз). Сказанное остается справедливым, где бы ни находилась пробная область и какой бы малой она ни была. Нельзя, однако, сократить эту область до отдельной точки. Известна топологическая теорема, гласящая, что одномерная траектория, даже если она плотно заполняет область более высокого измерения, не может проходить через каждую точку данной области ). Тем не менее можно доказать весьма интересное свойство. Рассмотрим динамическую функцию Ь (х), которая является интегрируемой по фазовому пространству [c.379]

Если удается найти / независимых интегралов движения, то система называется интегрируемой. Тривиальным примером интегрируемой системы является система невзаимодействующих частиц с Ф( г ) = О в гамильтониане (1.1.2). Для интегрируемых систем решение уравнений движения можно найти в явном виде, так что динамическое состояние известно для сколь угодно больших интервалов времени. В общем случае уравнения движения могут быть решены приближенно, например, численными методами. [c.13]

Часть границы от В до С будем называть дозвуковой передней кромкой. Как и в случае острой кромки плоской пластинки в дозвуковом потоке, плотность подъемной силы на этой передней кромке будет бесконечной, но интегрируемой. Известно, что если существует бесконечная плотность подъемной силы, то на такой передней кромке появится горизонтальная подсасывающая сила. [c.42]

К настоящему времени в динамике известно довольно много интегрируемых задач. Решение всех таких задач, имеющих п степеней свободы, основано на существовании п первых независимых интегралов в инволюции. В этих случаях согласно теореме Лиувилля [2] уравнения движения решаются в квадратурах. Можно показать Щ, что существование полного набора интегралов в инволюции влечет следующую картину поведения траекторий в 2п-мерном фазовом пространстве. Все фазовое пространство разбивается на области, расслоенные совместными уровнями первых интегралов на замкнутые п-мерные инвариантные многообразия. Если эти многообразия компактны, то они суть п-мерные торы, несущие на себе квазипериодические движения. [c.35]

Прошло уже 110 лет с тех пор, как С. В. Ковалевская открыла новый случай интегрируемости уравнений движения тяжелого твердого тела с неподвижной точкой (1888 г.). Однако до сих пор о качественных свойствах движения тела в этом случае известно очень мало. Все параметры движения выражены через время при помощи квадратур, однако они настолько громоздки, что не позволяют непосредственно изучить вращение твердого тела. Были даже поставлены эксперименты с волчком Ковалевской (проф. Мерцалов, см. [30]), но при этом результаты получились очень запутанными и не привели к выявлению существенных закономерностей движения. Запутанность движения оси динамической симметрии в этих экспериментах объясняет, по-видимому, тот факт, что в общем случае множество D ( 4) на неподвижной единичной сфере является двумерной областью, и траектория точки р ( 4) заполняет эту область всюду плотно. [c.224]

Один интеграл всегда существует — это интеграл энергии. Таким образом, для полной интегрируемости уравнений на h достаточно знать еще один независимый интеграл. Перечислим известные случаи интегрируемости. Как уже отмечалось, задача о тяжелом волчке содержит шесть параметров три собственных значения оператора инерции I, l2,h и три координаты центра масс b 2i 3 относительно его собственных осей. [c.89]

До работы [177] было мало что известно об интегрируемости системы (4.2) в общем случае. В [177] рассмотрена система, спектр которой состоит из п+ 1 векторов а1,...,Оп+1, любые п из которых линейно независимы. Доказано, что при этих предположениях критерием алгебраической интегрируемости уравнений [c.387]

Оказывается, что существуют принципиальные динамические эффекты, препятствующие интегрируемости этих уравнений в общем случае. Укажем известные до настоящего времени случаи интегрируемости. В таблице 2.1 случаи Эйлера, Лагранжа и Ковалевской являются общими случаями интегрируемости, т. е. дополнительный первый интеграл существует для заданных ограничениях на параметры (матрицы А и вектора г) [c.88]

В таблице 3.1 приведены все известные случаи интегрируемости уравнений Кирхгофа. Случаи 1, 2, 3,4 являются общими случаями интегрируемости, а 5, 6 — частными, для них помимо ограничений на параметры системы также необходимо накладывать дополнительные ограничения на значения интегралов, т. е. начальные условия. [c.168]

Отсюда, в частности, видно, что для интегрируемости гамильтоновой системы достаточно знать не 2N интегралов движения, а только N. Если нам известно, например, iV 4-1 однозначных интегралов движения, то один из них может быть выражен как функция остальных N интегралов движения. В случае двух степеней свободы (рнс. 1.11) достаточно звать лишь один интеграл движения, так как вторым является энергия. [c.23]

Ат, т) -I- 2 Вт,р) -Ь [Ср,р), всегда имеют три интеграла Fj = = Н, F2 = т,р), F3 = р,р). Задача об их полной интегрируемости сводится к вопросу о наличии четвертого интеграла, независимого с функциями Fj, F2 и F3. Перечислим известные интегрируемые случаи, считая матрицы А, В, С диагональными А = = diag(ai, й2, аз), В = diag(6i, 62,63), С = diag( i, сг, сз). [c.91]

Полную интегрируемость системы с потенциалом а/ z для всех п установил Калоджеро. Затем Мозер [222] нашел интегрируемые случаи, когда f — а/ sin z и f = а/ sh z. Применяя технику Мозера, Калоджеро обобщил эти результаты, доказав интегрируемость системы взаимодействующих частиц с потенциалом в виде р-функции Вейерштрасса [185]. Потенциалы a/z , а/s z и а/ sh . 2 являются, как известно, вырожденными случаями р-функции. [c.51]

В главе 1 мы опишем метоя Уолквиста и Эстабрука в обшем случае, а затем, в главе 2 проиллюстрируем его иа примере наиболее известных интегрируемых уравнений Кортевега — де Ври , Лиувилля, синус-Гордона. При этом мы в основ1юм будем следовать работам (31-35], но дополним их алгебраической интерпретацией результатов в духе изложенных выше представлений. [c.8]

Подъем интереса к интегрируемым задачам динамики твердого тела в 1970-1990 гг, повлекший за собой открытие целой серии новых интегрируемых случаев, связан с развитием метода изоспектральной деформации (представления Лакса, L — А-пары). Как правило, большинство работ этого периода связано с многомерными обобщениями уже известных естественных физических аналогов. Развитие этого направления исследований также связано с проникновением в динамику идей теории групп и алгебр Ли, а также анализа общих (нелинейных и вырожденных) пуассоновых структур. С современным состоянием этих вопросов можно познакомиться по нашей книге [31]. [c.16]

Система переменных Андуайе - Депри не разбивается на позиционную и чисто импульсную составляющие подобно углам Эйлера и сопряженным им каноническим импульсам. Однако они очень удобны для применения метода теории возмущений, так как связаны с компонентами кинетического момента. В двух наиболее известных интегрируемых (невозмущенных) задачах динамики твердого тела — случаях Эйлера и Лагранжа — переменные С и Ь соответственно являются интегралами движения. Сходные системы оскулирующих элементов , не обязательно являющихся каноническими, использовались еще Пуассоном, Шарлье, Андуайе и Тиссераном при построении теорий физической либрации Луны и вращательного движения планет в небесной механике. Их введение в этом веке А. Депри в работе [71] преследовало цель прояснить фазовую геометрию случая Эйлера (см. 2 гл. 2) и позволило осознать их универсальный характер в динамике твердого тела — они использовались для применения методов качественного анализа в [92], где называются специальными каноническими переменными, и для численных исследований [28]. [c.47]

В качестве примеров рассмотрим классические задачу Якоби о геодезических на трехосном эллипсоиде и задачу Неймана о движении точки на сфере в квадратичном потенциале. Они связаны с двумя различными, но взаимными друг другу, интегрируемыми случаями Клебша в уравнениях Кирхгофа (см. 1 гл. 3) и их интегрирование, а также возникающие в процессе эллиптические и сфероконические координаты имеют универсальный характер в теории интегрируемых систем. Все известные задачи, допускающие разделение переменных (на конфигурационном пространстве), решаются с использованием этих координат или их вырождений. [c.78]

Поскольку движение точечных вихрей на сфере является обобщением случая плоского вихревого течения, приведем кратко известные результаты для задачи о взаимодействии вихрей на плоскости. Простейший пример движения двух вихрей рассмотрен Гельмгольцем [23]. Г. Кирхгоф [27] установил гамильтоновость уравнений движения N точечных вихрей, а также нашел четыре первых интеграла этой системы, которые связаны с независимостью гамильтониана от времени и его инвариантностью относительно параллельного переноса и поворота системы координат. Интегрируемость задачи трех вихрей отметил А. Пуанкаре [32] (существуют три первых интеграла, находящихся в инволюции). В работе [18] система точечных вихрей рассматривалась в качестве модели двумерной турбулентности. Там же получено решение задачи о взаимодействии трех одинаковых вихрей. Авторы работы [19] на основе численных расчетов устанавливают стохастические свойства системы четырех вихрей и тем самым показывают, что двумерное течение идеальной жидкости в общем случае не является вполне интегрируемой системой. Как уже было отмечено, аналитическое доказательство неинтегрируемости системы четырех точечных вихрей на плоскости дано в работах Зиглина [9, 33]. Отметим также работы [20] и [22]. В [20] проинтегрирована в эллиптических функциях система трех одинаковых вихрей и показана хаотизация движения четырех вихрей равной интенсивности. В [22] рассматриваются интегрируемые случаи движения четырех вихрей. [c.376]

Рассмотрим пример определения массы планеты на основании данных сопровождения зонда в окрестности точки встречи с планетой. Масса планеты измеряется в единицах массы Солнца. Однако измерения дальности или интегрируемого допплерова сдвига частоты выражаются через скорость света с в единицах длины и времени (в астрономических единицах и секундах соответственно). До тех пор, пока получаемая информация связана с той областью, где планета в основном определяет движение зонда, почти невозможно отделить влияние точности знания массы от влияния точности знания скорости света. Следовательно, если масса будет входить наравне со скоростью света с а. е.1сек) в решение, полученное классическим методом наименьших квадратов, то матрица A WA будет слабо определенной. Даже в том случае, когда располагаемая точность вычислений позволит обратить эту матрицу, полученные поправки к значениям массы и скорости света окажутся настолько сильно коррелированными, что решение будет практически бесполезным. Однако величина с известна достаточно точно из результатов радиолокации планет и других экспериментов вне области встречи зонда с планетой ). [c.113]

В связи с тем, что в случаях Лиувилля и Штеккеля возможность решения задачи в квадратурах связана с существованием квадратичного относительно обобщенных скоростей первого интеграла, были предприняты исследования условий, при которых динамические уравнения движения системы допускают подобные интегралы. В этом направлении в конце XIX в. ряд результатов получили Г. Пирро, П. Пенлеве, Т. Леви-Чивита Ж. Адамар 103 и П. Бургатти нашли новые случаи интегрируемости уравнений движения материальной системы (при наличии квадратичных относительно обобщенных скоростей первых интегралов), из которых ранее известные вытекают как частные случаи. Однако до настоящего времени не доказано, что эти случаи интегрируемости явля10тся самыми общими. Работы на эту тему появлялись [c.103]

П. В. Воронец опубликовал новый метод преобразования дифференциальных уравнений динамики, который позволил значительно расширить известные ранее результаты в области задачи п тел. Развивая идею Э- Рауса об игнорировании координат , он показал, что в случае, когда уравнения движения системы допускают линейные относительно скоростей интегралы, из этих уравнений можно исключить циклические координаты и соответствующие им скорости и ускорения. Этот метод дал возможность П. В. Во-110 ронцу сравнительно просто получить известные результаты Ж. Лагранжа, К. Якоби, Э. Бура, А. Бриоши и Р. Радо при произвольном законе притяжения. П. В. Воронец подробно исследовал задачу четырех тел и указал случай интегрируемости в квадратурах для закона притяжения обратно пропорционально кубам расстояний. В случае сил взаимодействия, пропорциональных любой степени расстояний, он установил возможность двух типов движений. Исследуя дифференциальные уравнения задачи трех тел Ув форме Лагранжа, Воронец изучил случай аннулирования кинетического момента, а также случай пространственного движения, при котором образуемый телами треугольник остается равнобедренным и массы точек, расположенных в его основании, равны. [c.110]

Замечание 2. В рассматриваемой задаче известен ряд частных случаев интегрируемости [36]. В основном это периодические решения, выраженные в конечном виде через известные функции. Некоторые из них (например, решения Бобылева-Стеклова) при малых значениях параметра ц представляют собой частные случаи периодических решений, существование которых доказывается теоремами 1 и 2. [c.85]

В случае, разобранном С. В. Ковалевской, так же как и в ранее известных, система уравнений движения имеет дополнительный первый интеграл, что и обеспечило возможность их интегрирования в квадратурах. При этом оказалось, что в некоторых естественных переменных переменные Эйлера-Пуассона) во всех случаях интегрируемости дополнительные интегралы являются многочленами, так же как и классические первые интегралы. Таким образом, общее решение представляется мероморфными функциями времени как раз в тех случаях, когда существует новый алгебраический интеграл. Этот результат, естественно, поставил общую задачу о связи между существованием алгебраических интегралов аналитических систем дифференциальных уравнений и мероморфностью общего решения. На важность этой задачи впервые обратил внимание Пенлеве [41]. [c.126]

Если В ф onst, то естественно рассмотреть распределение касательных к N плоскостей П(х), порожденное линейными комбинациями независимых векторов v x) и w(x). Так как v и w коммутируют (см. теорему 1), то по теореме Фробениуса (см. [41]) распределение П интегрируемо. Это означает, что через каждую точку X Е N проходит единственная интегральная поверхность этого распределения, которая в каждой своей точке касается векторов V и W. Если поля V и W полны на S, то, как известно из топологии, Е диффеоморфна одной из следующих поверхностей (плоскость), IR X (цилиндр), (тор) (см., например, [53]). При этом в некоторых глобальных координатах на S линии тока и вихревые линии являются прямыми. В общем случае поверхности [c.71]

Соответствующие уравнения Гамильтона описывают движение материальной точки но евклидовой плоскости = х, у] в силовом поле с потенциалом третьей степени. Среди таких систем находится уже известная нам система Хенона—Хейлеса [а = Ь = = -е = 1). Перечислим известные случаи интегрируемости. [c.93]

В уравнении (0.2), которое часто называют представлением нулевой кривизны, величины Г н О обычно являются матрицами, элементы которых зависят от неизвестных функций, входящих в нелинейное уравнение. Они могут быть также дифференциальными операторами по некоторой дополнительной переменной. И в том, и в другом случае с ними удается связать некоторую алгебру, которая и определяется видом этих матриц и операторов. Уравнения (0.2) обладают богатой ал1 бр.шче крй ст ктуррй. Конкретизируя ее, удается построить.бес-конечные наборы интегрируемых систем. Так, в монографии [7] покат-зано, как каждой полупростой алгебре Ли можно сопоставить непериодическую цепочку Тоды, и предъявлена схема их интегрирования. В работе [4] алгебрам Каца — Муди сопоставляются периодические цепочки Тоды. В работгос [23, 24] с помощью однородных пространств построены системы нелинейных уравнений Шредиигера, а в работах [25-28] изучалась связь супералгебр и суперсимметричных цепочек Тоды. Этот список легко продолжить. Здесь были перечислены лишь самые простые и наиболее известные примеры, иллюстрирующие связи между алгебраическими конструкциями и системами интегрируемых уравнений. Остановимся далее на тех алгебраических конструкциях, которые приводят к построению Ь — Л-пар или Р — С -систем и пс зволяют отыскивать ПБ, а также на самих ПБ, возникающих таким путем, и рассмотрим их детальнее на конкретных примерах. Начнем же мы с того, что дадим определение ПБ. [c.6]

Выясним смысл замены (2.51) и (2.51 ). Поскольку в лагранжиан входит упругая энергия, то должны входить и упругие деформации. Поэтому в (2.51) й следует понимать как интегрируемые упругие смещения, вызванные внешней нагрузкой. Прп снятии внешних воздействий упругие смещения исчезают. А — упругие дисторсии, вызванные присутствием в материале трансляционных дефектов, т. е. неинтегрируемая часть дисторсии Ва. В случае (2.51 ) и имеет смысл полных смещений, которые, как хорошо известно из континуальной механики дефектов, определены. В этом случае имеет смысл тензора пластических дисторсии, связанных с трансляционными дефектами. Таким образом, В — тензор упругих ди-сторсий, где невозможно разделить упругие смещения от внешней нагрузки и упругие смещения от дефектов. Так что при снятии внешней нагрузки совершенно неясно, какая часть BJ исчезает. Следовательно, замены (2.51) и (2.5Г) существенно отличаются по физическому смыслу. [c.34]

Существует один особо интересный случай, который, насколько известно, фактически может быть общим случаем Может случиться, что все точки нашего объема в среднем ведут себя существенно одинаковым образом (конечно же, не принимая во внимание исключительного множества меры 0). В противном случае, все пространство может разбиваться на инвариантные измеримые множества. Так, например, для эллиптического стола, движение полностью заполняет кольцо за пределами некоторого меньшего софо-кусного эллипса, это кольцо образует такое замкнутое инвариантное множество эта интегрируемая задача — предельный случай геодезического потока на поверхности сплющенного эллипсоида. [c.353]

При проверке почти всех современных и классических случаев интегрируемости использовалась система аналитических вычислений MAPLE. При этом некоторые уже известные ранее результаты оказались не совсем корректными, а другие были значительно упрощены. [c.12]

Рассмотрим три случая последовательно и приведем все известные условия интегрируемости, характеризующиеся необходимыми дополнительными ограничениями на свободные параметры. При этом движение является регулярным, а траектории, в неособом случае, являются квазипе-риодическими обмотками трехмерных торов — совместных поверхностей уровня первых интегралов. [c.207]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...