Многомерные обобщения

Многомерные обобщения большинства перечисленных наглядно-топологич. задач приводят к Т. многообразий— важнейшему разделу Т., тесно взаимодействующему с совр. матем. физикой. Множество точек М является п-мерным гладким многообразием, если оно представлено в виде объединения нек-рых своих подмножеств (/ , а= 1, [c.144]

Здесь определены понятия цепи, границы цепи и интеграла формы поце-пи. Интеграл дифференциальной формы есть многомерное обобщение таких [c.158]

Многомерное обобщение эллиптического преобразования — это прямое произведение п эллиптических поворотов плоскостей Ри Ql) с собственными числами Я = Нормальная форма [c.354]

При этом до сих пор остаются открытыми многие вопросы, связанные с этой теоремой и особенно с попытками ее многомерного обобщения, важными для исследования периодических решений задач с большим числом степеней свободы. [c.385]

Гюйгенс (1654) обнаружил, что эвольвента плоской кривой имеет точку возврата в том месте, где она подходит к кривой (рис. 252). Эвольвенты и их многомерные обобщения — это волновые фронты на многообразии с краем. Особенности волновых фронтов, как и особенности систем лучей, классифицируются группами, порожденными отражениями. [c.446]

Мы не стали включать в книгу разделы, связанные с неголономными системами, а также многомерными обобщениями динамики твердого тела. Они достаточно обширны, и мы постараемся изложить их отдельно. [c.13]

Если для натуральных гамильтоновых систем с двумя степенями свободы, обладающих дополнительным квадратичным интегралом, существуют общие соображения (см., например, Уиттекер [167], Биркгоф [13]), позволяющие конструктивно построить разделяющие переменные, то уже для ненатуральных двухстепенных систем, а также систем, обладающих дополнительным интегралом с более высокой (> 2) степенью по импульсам, разделение переменных является своего рода искусством. Для многомерных систем вопрос о разделении еще более сложен. Здесь практически известно несколько многомерных обобщений двухстепенных систем (типа задач Якоби и Неймана), для которых имеются аналоги эллиптических и сфероконических координат). Более подробно вопрос о разделении переменных на 8 " рассмотрен в [18, 283]. [c.83]

Наконец, существует естественный алгебраический класс динамических систем, включающий в себя и сдвиги на однородных пространствах, и автоморфизмы, а именно аффинные системы, которые представляют собой проекции аффинных отображений группы С на однородное пространство с конечным объемом. Аффинное преобразование группы — это композиция эндоморфизма и сдвига. Самые простые нетривиальные примеры аффинных преобразований, которые обладают свойствами, отличными от свойств сдвигов и автоморфизмов, — это преобразования на двумерном торе, встречающиеся в упражнениях 1.4.4, 3.2.6 и 4.2.3. Последующие упражнения из 4.2 показывают тесную связь между динамическими свойствами этих отображений и их естественных многомерных обобщений и равномерным распределением дробных долей значений полиномов. Это первое проявление исключительно плодотворной взаимосвязи между динамикой алгебраических систем (сдвигов и аффинных преобразований) и теорией чисел. [c.241]

Далее мы будем использовать многомерное обобщение формулы (3.6), которое, как легко видеть, можно записать в виде [c.53]

Траектории системы х = у х) можно назвать линиями тока. Таким образом, теорема 6 — многомерное обобщение классической теоремы Бернулли из гидродинамики идеальной жидкости. [c.126]

Замечательный факт, открытый Ньютоном, состоит в том, что, по крайней мере для типичных значений коэффициентов, большинство топологических или дискретных инвариантов критической точки не зависит от значений коэффициентов ряда и не зависит от членов, находящихся вне многогранника Ньютона (являющегося многомерным обобщением порядка нуля функции одной переменной). [c.33]

Обсуждение многомерных обобщений сложенных зонтиков имеется в [8]. [c.156]

Эрмита, многомерное обобщение 251 [c.456]

Интегралы (140.7) не содержат в явном виде времени t и называются геометрическими. Эти уравнения в многомерном пространстве обобщенных координат определяет кривую — траекторию изображающей точки. [c.385]

В этом параграфе изложены дополнения к 210 т. I. Рассмотрим результат изменения последовательности повторного ковариантного дифференцирования некоторого вектора и В отличие от т. I, здесь изучаются не трехмерные, а многомерные пространства. Возможность этого обобщения была указана в 210 т. I. [c.505]

В работах [50, 66] была показана эквивалентность критериев разрушения Гриффитса и Баренблатта, основанных на балансе энергии и силах сцепления соответственно. Отметим, что важное следствие гипотезы Баренблатта заключается в сведении всех задач с трещинами к одномерной задаче, т. е. к одной клиновидной форме трещины. При рассмотрении баланса энергии в предыдущем разделе мы видели, что задача распространения трещины в композите явно не одномерная. Поэтому в следующем разделе будут даны соответствующая модификация и обобщение одномерной теории на случай многомерной задачи. [c.230]

При этом мы должны отметить, что, говоря о траектории системы , мы подразумеваем не траекторию отдельной точки системы в трехмерном пространстве, а многомерную характеристику движения всей системы в целом. Если рассматриваемая система имеет / степеней свободы, то траектория ее движения расположена в /-мерном пространстве обобщенных координат , / (ср. 70). [c.243]

Важность модели О. заключается в том, что все совр. модели квантовой теории поля базируются на многомерном (бесконечномерном) обобщении этого выражения [c.482]

Условия (6.33) и (6.34) являются непосредственным обобщением условий (6.13) для одномерного случая. Существенно, что при многомерном распределении разделение (классификация) состояний по методу минимального риска может быть проведено по отношению правдоподобия, причем знание граничной линии областей не требуется. Условия (6.33) и (6.34) дают простое правило принятия решения при произвольном числе диагностических параметров. [c.43]

Обобщение результатов для одномерных систем на многомерные системы. В 5 и частично в настоящем параграфе рассматривались различные варианты метода статистических решений для одномерных систем (систем с одним диагностическим параметром). [c.44]

Для многомерной системы (q — обобщенный вектор) частотные характеристики W, R, S, L [см. (48)1 являются компонентами векторов W, R, S, которые связаны следующими зависимостями q = Ww, W = (Е — SLi)" R R = HP [c.495]

Рассмотрим винеровский случайный процесс (см. 18), описывающий, пока для простоты, одномерное брауновское движение свободной частицы (многомерное обобщение этого подхода очевидно). Мы уже знаем, что условия и безусловная плотности вероятности удовлетворяют уравнениям Смолуховского (5.27) и Фоккера—Планка (5.39) (в данном случае — уравнению диффузии (5.47)), и нашли их решение (5.48). Обсудим, каким образом можно определить вероятность тех или иных траекторий х 1) бра-уновской частицы, начинающихся при =0 в точке хо. Для этого прежде всего разделим временной интервал (0, ) на п частей (например, равных At=t n) t =jAt и введем для каждого момента пространственные интервалы (aj, 6 ,). Теперь разобьем множество возможных траекторий частицы в зависимости от того, проходят ли они через эти ворота (или окна ) а <Х]<Ь , где, как и раньше, Xj = x(tj) (рис. 9). Вероятность реализации такого множества траекторий можно найти, интегрируя условную плотность вероятности [c.90]

Ещё один важный класс топология, пространств — комплексы, к-рые возникают как обобщения многогранников. Т. комплексов является тем самым комбинаторной версией Т. многообразий (хотя и находится с ней в тесных взаимоотношениях). Подобно тому как многообразия склеиваются из областей евклидова пространства, симплициальные комплексы склеиваются из симплексов—отрезков, треугольников и их многомерных обобщений, и-мерный симплекс определяется как выпуклая оболочка п+Л точек j o, J i, в я-мерном [c.146]

Классический подход основан на мерах рассеяния, связанньи с дисперсией оценки и ее многомерным обобщением. При некоторых достаточно общих условиях среднеквадратическое отклонение Д от истинного значения [c.499]

Все рассмотренные выше ситуации допускают непосредственные многомерные обобщения. Их рассмотрение мало чем отличается от приведенного, но, конечно, теряет в наглядности. Отметим, что принимаемые при этих рассмотрениях упрощенные записи некоторых отображений пе снижают их общности, поскольку основываются на свойствах вспомогательных отображений, не нарушаемых пренебрегаемыми нелинейными членами. Вместе с тем, следует иметь в виду, что существуют ситуации, приводящие к сложным седловым инвариантным множествам, которые могут быть реализованы только при размерности точечного отображения, большей двух. Одна из таких сутуаций была описана в гл. 2. Заметим, что если не требовать взаимной однозначности преобразования, то она реализуема даже при размерности единица. При исследовании этой ситуации также мончет быть применен переход от негатива к позитиву. [c.157]

Подъем интереса к интегрируемым задачам динамики твердого тела в 1970-1990 гг, повлекший за собой открытие целой серии новых интегрируемых случаев, связан с развитием метода изоспектральной деформации (представления Лакса, L — А-пары). Как правило, большинство работ этого периода связано с многомерными обобщениями уже известных естественных физических аналогов. Развитие этого направления исследований также связано с проникновением в динамику идей теории групп и алгебр Ли, а также анализа общих (нелинейных и вырожденных) пуассоновых структур. С современным состоянием этих вопросов можно познакомиться по нашей книге [31]. [c.16]

Для случая Адлера-ван Мёрбеке до сих пор неизвестны разделяющие переменные, не выполнен также топологический анализ. Его существование во многом связано с особой симметрией so(4), допускающей вещественное представление в виде прямой суммы so(3) so(3), он отсутствует на so(3,1) и не допускает многомерных обобщений. [c.195]

Многомерные обобщения. А. П. Веселовым был предложен многомерный аналог отображения (6.9)-(6.10), в котором векторы 5 принадлежат /с-мерной сфере е С 3 = с11а (7о, Jk) Интегралы (6.12) для этого случая можно записать в удобной симметричной форме, если воспользоваться 1 гл. 3 (интегралы К. Уленбек [278]) [c.294]

Исторически первым результатом, основанным на теории монодромии, является теорема Ньютона о неинтегрируемости плоских овалов в 4.1 мы доказываем многомерные обобщения этой теоремы и приводим несколько новых формул Пикара—Лефшеца, естественно возникающих в этой задаче. 4.2 посвящен теории лакун Петровского, изучающей регулярнбсть фундаментальных решений гиперболических уравнений в частных производных вблизи волновых фронтов. Помимо прочего, здесь мы доказываем обращение локального критерия Петровского для гиперболических операторов общего положения. [c.9]

Для механизмов с несколькими степенями свободы изображающая точка должна рассматриваться в фазовом яростран стве обобщенных координат и скоростей. Тогда для изучения многомерных фазовых траекторий применяется общая теория точечных преобразований поверхностей. [c.203]

ИЗ двучленов о, —не обращается в нуль, т. е. не может произойти срыва в вычислительном процессе (14.44). Характерная особенность рассмотренной вычислительной схемы при определении собственных векторов состоит в том, что в ней не происходит накопления ошибок. Алгоритм (14.44), будучи исключительно простой структуры, значительно экономичнее гугетода обратной итерации, применяемого для надежного (в вычислительном плане) определения собственных форм ценных многомерных динамических моделей общего вида [28, 95]. Компоненты собственных форм, отвечающих исходным обобщенным координатам подсистем, принимая во вииманпе зависпмость (13.2), можно представить в виде [c.238]

В статьях С. Л, Каменомостской [15, 16] рассмотрена задача Стефана в самой общей постановке многомерный случай, произвольное число заранее неизвестных поверхностей раздела фаз, зависимость тепловых коэффициентов от температуры. Введено определение обобщенного решения, показано, что классическое решение является обобщенным, доказана его единственность. При помощи метода конечных разностей доказано существование решения краевой задачи и задачи Коши. [c.211]

В обобщенном виде система балансовых уравнений может быть представлена в виде вектор-функции Ф (Z, Z ) = О, устанавливающей соотношение между термодинамическими и расходными параметрами связей, обеспечивающее получение заданной стационарной нагрузки установки с определенными конструктивнокомпоновочными характеристиками. В геометрической интерпретации [87 1 вектор-функция Ф (Z, =- О задает нелинейную поверхность стационарных состояний установки в многомерном пространстве, координатами которого являются значения нагрузки установки как по электрической энергии, так и по холоду, а также величины подмножеств Z и Для расчета приведенных затрат, учета ограничений, отражающих требования технологичности изготовления, длительной надежной эксплуатации установки и т. д., и в дополнение к системе балансовых уравнений в математическую модель вводятся соотношения для вычисления различных технологических и материальных характеристик отдельных агрегатов. Эти соотношения получаются в результате совместного решения задач теплового, гидравлического, аэродинамического и прочностного расчета агрегатов и представляют собой в большинстве случаев неявные функции параметров совокупностей Z и Z . Опыт математического моделирования показал, что для теплоэнергетических агрегатов число этих характеристик невелико. Это характеристики изменения давления, энтальпии и средней скорости каждого теплоносителя, наибольшей температуры стенки, ее абсолютной или относительной толщины, а также расходов материалов. В обобщенном виде система характеристик описывается вектор-функцией (Z, Z ) = 0. [c.40]

СТРУН ТЕОРИЯ — раздел матем. физики, связанный с описанием разл. состояний (фаз) в теории поля. В основе С. т. лежит представление о то.м, что всевозможные модели теории поля могут рассматриваться как раэл. состояния единой общей теории в пространстве теорий . Собственно С. т. описывает подобным образом двумерные полевые модели. Обобщение этих представлений ка многомерный случай известно как теория / -бран)> (струнам отвечает р=, мембранам — р = 2) и пока (1997) плохо разработано. [c.9]

Существуют многочисленные обобщения классич. эргодич. теорем. Одно из них касается ДС с многомерным Временным параметром. Если, в частности, г пробегает [c.627]

Приведенные решения [например, соотношения (6.38) и (6.39) ] относились к системам с п диагностическими параметрами (многомерные системы). Можно указать простое общее правило обобщения результатов для одномерных систем на системы многомерные. Оно состоит в том, что одномерные плотности распределения f x D ) и f xlD ) заменяются многомерными / (J /Di) и / (лгЮз), а граничные точки — граничными линиями, одномерные области интегрирования —многомерными [уравнения (5.11), [c.44]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...