Представления Лакса

Как в случае (А), так и в случае (В) С.-Г. у. допускав представление Лакса [c.524]

Альтернативно метод обратной задачи рассеяния может быть сформулирован на основе представления Лакса. [c.472]

Особыми аналитическими приемами, позволившими найти разделение переменных для ряда задач динамики твердого тела, включая неголономные системы, в совершенстве владел С. А. Чаплыгин. Известные работы С. В. Ковалевской [86, 87] также до сих пор остаются образцом непревзойденного аналитического мастерства. В двадцатом столетии техника точного интегрирования нахождения разделяющих преобразований была частично утеряна, а ее место заняла общая процедура интегрирования с помощью методов обратной задачи рассеяния и нахождений представлений Лакса. В этом подходе считается, что задача является решенной, если предъявлено коммутационное представление Лакса (см. [31]) со спектральным параметром, позволяющим в принципе получить общее решение в тэта-функциях. С точки зрения алгебраической геометрии здесь идет речь о возможной линеаризации потока на многообразиях Прима (Якоби) и, исходя из анализа полюсных разложений дивизоров), делается вывод о возможности представления решения в функциях Римана, Бейкера - Ахиезера и пр. [c.83]

Представление Лакса для этого интегрируемого случая приведено в [208]. [c.179]

Представление Лакса для этого случая приведено в [208]. [c.198]

Правило Лейбница 28 Предельный случай уравнений Пуанкаре-Жуковского 199 Представления Лакса 83 Преобразование Галилея 336 [c.376]

Уравнения (4.12) можно также представить в виде пары Лакса со спектральным параметром А, входящим в это представление рациональным образом [c.214]

Таким образом, мы имеем два совершенно разных подхода к построению решений точно интегрируемых нелинейных динамических систем, а именно метод в классической области, основанный на представлении типа Лакса и техника обычной теории возмущений в классической и квантовой областях. [c.7]

Представление типа Лакса. В основе метода леЖат общие свойства градуированных алгебр Ли и представление типа [c.114]

Левые части уравнений системы (4.6) принимают значения в разных подпространствах ( +ь -i и о соответственно) алгебры , градуировка которой задается элементом Я подалгебры 5и(2). С учетом этого систему (4.6) можно переписать в виде представления типа Лакса (1.1) с операторами = [c.136]

Построение решений без использования представления типа Лакса ). В ряде случаев, в частности для расчетов в конкретных физических приложениях, связанных с классическими сериями простых алгебр Ли, оказывается предпочтительным использовать явные выражения для решений систем (III. 1.9) или (III. 1.10) через определители некоторой матрицы, а не общую формулу (1.11) или (1.12). По этой причине здесь мы [c.145]

Естественно, что решения, построенные в рамках редукционной схемы, полностью совпадают с выражениями, вытекающими в случае серии Аг из общей формулы (1.12), полученной на основе представления типа Лакса. Для того чтобы в этом убедиться, следует воспользоваться явным выражением для старших векторов фундаментальных представлений алгебры А, в виде полинома от соответствующих кратных интегралов. [c.150]

V. 5. Представление типа Лакса систем (П1.2.8) и явное решение для них задачи Коши [107] [c.190]

В этой главе предлагается общая схема построения солитонных решений динамических систем без обращения к матричной реализации представления типа Лакса. Если в методе обратной задачи рассеяния, с помощью которого находятся солитонные решения, удачный выбор Л-пары существенно облегчает все расчеты и, вообще, позволяет их провести, то развиваемая ниже конструкция инвариантна относительно выбора конкретного представления алгебры внутренней симметрии и апеллирует непосредственно к свойствам алгебры. Л-пара в этой конструкции заменяется системой линейных уравнений высших размерностей на одну единственную скалярную функцию, условием совместности которых и является уравнение исходной динамической системы. [c.192]

По времени написания, Введение и основной текст настоящей монографии отделены от Заключения примерно трехлетним сроком. Естественно, что за этот период получен ряд новых результатов, пе нашедших отражения в книге. Кроме того, в связи с ограниченным объемом рукописи авторы были вынуждены опустить главу, посвященную методам изучения и нахождения алгебры внутренней симметрии наперед заданной динамической системы. Направление этих исследований в известном смысле противоположно развиваемому в книге, т. е. идет от системы уравнений к алгебре внутренней симметрии, представлению типа Лакса и решениям, а не наоборот. Поэтому здесь перечислим кратко некоторые результаты, которые авторы, не будучи ограничены временем и объемом, включили бы в монографию. [c.270]

Упражнение. Показать, что в модельном уравнении представление конвективного члена по схеме Лакса, а диффузионного члена центральными разностями приводит к безусловно неустойчивой схеме. Указание. Использовать исследование схемы с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственной переменной, заменив а на а -f a . [c.365]

В этом параграфе речь пойдет об эффективном методе интегрирования гамильтоновых систем, основанном на представлении Гейзенберга (эквивалентные термины представление Лакса, метод изоспектральной деформации, метод Ь — Л-пары). [c.105]

В это же время на основе совершенно иных представлений возникли весьма эффективные методы построения точных решений уравнений Эрнста. Так, на основе аналогии матричных уравнений, эквивалентных уравнениям Эрнста, и уравнений нелинейной <г-молели Мэйсоном [64,65] была высказана уверенность в том, что эти уравнения являются вполне интегрируемыми н более того, ему удалось построить для них некоторое подобие представления Лакса. Практически одновременно с этим Белинский и Захаров [66, 67] не только построили некоторую спектральную задачу, но и применив для нее метод одевания, явно вычислили ЛГ-солитонные решения, а также свели задачу построения решений несолитонного типа к матричной задаче Римана на плоскости вспомогательного комплексного (спектрального) параметра. [c.45]

Подъем интереса к интегрируемым задачам динамики твердого тела в 1970-1990 гг, повлекший за собой открытие целой серии новых интегрируемых случаев, связан с развитием метода изоспектральной деформации (представления Лакса, L — А-пары). Как правило, большинство работ этого периода связано с многомерными обобщениями уже известных естественных физических аналогов. Развитие этого направления исследований также связано с проникновением в динамику идей теории групп и алгебр Ли, а также анализа общих (нелинейных и вырожденных) пуассоновых структур. С современным состоянием этих вопросов можно познакомиться по нашей книге [31]. [c.16]

Действительно, как для известных проинтегрированных задач критические уровни набора интегралов могут быть определены из условия кратности корней в характеристическом полиноме уравнений Абеля-Якоби, так и непосредственно из условия падения ранга интегрального многообразия, что позволяет, видимо, с некоторым произволом восстановить разделяющее преобразование. Комплексные методы, основанные на изучении полнопараметрических лора-новских разложений, видимо, также эффективны [243]. Они, как и спектральные представления Лакса способны дать представление о спектральной кривой в гиперэллиптическом случае, на этом пути можно однозначно восстановить разделяющие преобразования и получить уравнения Абеля-Якоби (М. Адлер, П. ван Мёрбеке [186, 188], П. Ванек [279]). Однако с помощью такого подхода пока также не удалось проинтегрировать ни одной новой системы. [c.84]

Квантование волчка Ковалевской также является вопросом, обсуждаемым уже с момента создания квантовой механики (Лапорте, 1933), но до сих пор в нем нет полной ясности [106, 258]. В работе [204] выписано уравнение Пикара-Фукса, возникающее при интегрировании случая Ковалевской. Первое представление Лакса для п-мерного случая Ковалевской, не содержащее спектрального параметра, было построено А. М. Переломовым [142]. Представление, содержащее спектральный параметр в общей постановке (при движении в двух однородных полях), предложено А. Г. Рейманом, М. А. Семеновым-Тян-Шанским [147]. Это обобщение случая Ковалевской до сих пор мало изучено (в частности, оно не проинтегрировано в квадратурах, отсутствует также топологический и качественный анализ). [c.132]

Обобщение случаев интегрируемости Клебша на пучок скобок Пуассона (в частности, система Шоттки-Манакова) приведено в 2 гл. 3, где также указана ретракция и линейный изоморфизм этих случаев. Интегрируемое семейство Клебша допускает два различных представления Лакса со спектральным параметром, которые приведены в книге [31]. [c.172]

Интегрируемое обобщение случая Клебша не известно, обобщение семейства Стеклова-Ляпунова получено В.Н. Рубановским [149], а соответствующее представление Лакса указано в работе [208]. Гиростатическое обобщение случая Чаплыгина (I) получено X. Яхьей [285] (приведено [c.177]

Впервые представление Лакса с рациональным спектральным параметром (для общего п-мерного случая) найдено в работе С. В. Манакова [121]. Уравнения движения (2.3) с гамильтонианом (2.11) допускают представление в форме Лакса на матрицах, линейно зависящих от произвольного параметра [c.190]

В оригинальной статье [185] дополнительный интеграл, имеющий четвертую степень, был указан в очень громоздкой и несимметричной форме. А. Рейман и М. Семенов-Тян-Шанский несколько позже указали для этого случая спектральное представление Лакса, использовав для его построения особую алгебру 02 [260]. В работе [24] аналогичная L - А-пара получена более естественным образом, соответствующая конструкция также связана с алгеброй 02 и наличием согласованной пуассоновой структуры. Однако получающийся из L — А-пары интеграл требует дополнительных и нетривиальных упрощений, проведенных нами — после которых и получается указанная в таблице 3.2 форма. [c.195]

Представление Лакса и первые интегралы ([21, 31]). Рассмотрим гамильтонову систему в переменных М,а,/3,7, определенную уравнени- [c.212]

Бифуркационный анализ системы (7.5) (как при А = О, так и при А 7 0) также не выполнен, и вопрос о (траекторном, топологическом) изоморфизме систем при ж = О и при х фО остается открытым. Можно лишь показать, что они не переводятся друг в друга при помощи неоднородного вещественного линейного преобразования. Вопрос о бигамильтоновости и наличии спектрального представления Лакса здесь также остается открытым. [c.299]

Росохатиус установил интегрируемость системы (10.19) при помощи разделения в сферических координатах (аналогично п-мерной системе Неймана 7 гл. 1). Представление Лакса и полный набор инволютивных интегралов указал Ю. Мозер в работе [128]. [c.331]

Болсинов А. В., Борисов А. В. Представление Лакса и согласованные скобки Пуассона на алгебрах Ли. Мат. заметки (в печати). [c.350]

Представление Лакса и стационарные конфигурации. Этот раздел носит предварительный характер, но, возможно, способен дать стимул к некоторым новым исследованиям, связанным с более глубоким проникновением современной алгебры в вихревую динамику. Действительно, как мы уже видели в 5, в результате редукции уравнения движения могут быть записаны на орбите коприсоединенного представления алгебры Ли м(п — 1). Эта орбита сингулярна и состоит из матриц вида [c.143]

Монография посвящена исследованию проблемы интегрируемости широкого класса нелинейных двумерных и одномерных динамических систем, обладающих нетривиальной группой внутренних симметрий. В ней дается последовательное изложение нового алгебраического метода построения интегрируемых систем, ассоциируемых посредством представления типа Лакса с алгебрами и супералгебрами Ли. Предлагаемая групповая конструкция позволяет получать явные решения соответствующих диф еренциальных уравнений, определяющиеся запасом произвольных функций, достаточным для постановки задач Коши и Гурса. [c.3]

Возникающие в рамках развиваемого в книге подхода системы нелинейных уравнений порождаются посредством представления типа Лакса в двумерном пространстве элементами градуированных алгебр или супералгебр Ли. В зависимости от выбора адекватной алгебраической структуры и градуировки в ней они описывают широкий класс нелинейных явлений в самых различных областях теоретической и математической физики в физике элементарных частиц (калибровочные поля и монопольные конфигурации), в твердом теле и плазме, теории электролитов, нелинейной оптике, аэродинамике, космологических моделях, проблемах экологии (динамика сосуществования видов), в радиотехнике и т. д. [c.5]

Развиваемый в книге подход связан с методом обратной задачи рассеяния, грубо говоря, следующим образом. Как уже отмечалось выше, точно и вполне интегрируемые системы существенно различаются по свойствам их групп внутренней симметрии. Следствием этого является то обстоятельство, что в тех случаях, когда в представлении типа Лакса спектральный параметр исключается преобразованием из группы внутренней симметрии, метод обратной задачи рассеяния оказывается бессилен, тогда как развиваемые в этой книге методы приводят к успеху. Справедливо и обратное если спектральный параметр нельзя исключить указанным способом, то методы обратной задачи рассеяния приводят к нетривиальному спектру солитоноподобных решений, а развиваемый нами подход позволяет получить решение задачи Гурса соответствующей системы в виде бесконечных абсолютно сходящихся рядов.- Вопрос о выделении солитонных решений (из общих) при этом остается открытым. Таким образом, эти два подхода являются взаимодополняющими. [c.9]

Представление типа Лакса как реализация условия автодуальности цилиндрически-симметричных конфигураций калибровочных полей ) [c.133]

В этом месте уместно остановиться на вопросе о взаимосвязи различных форм представления типа Лакса (111.1.1), а именно реализацией операторов вида (III. 1.7) в бесконечномерной простой алгебре Ли конечного роста, приво .-ящей к (1.1), и представлением, связанным с соответствующей конечномерной простой алгеброй Ли и ее конечномерными представлениям , приводящими к системе (1.2), которая отличается от (1.1) тотько конформным преобразованием. С этой целью вспом1 лрл, что бес.. хнечномерные простые градуированные алгебры Ли, используемые в настоящей книге, поро.ждаются своей локальной [c.194]

Теперь каждый элемент алгебры содер.жит в качество множителя параметр к в ссотнетствующей степени, и, таким образом, все элементы начинают различаться друг от доуга. Единственно, что не удается различить с помощью Я, это элемент Ж подпространства о от суммы картановскп.х образующих простых корней. Представление типа Лакса в форме (1,3) совпа- [c.194]

Представление (1.3) означает, как и ранее, градиентность операторов Лакса, т. е. [c.195]

Конечно, переменность скорости и по пространственной координате и большая размерность задачи могут привести к количественному изменению описанного поведения решения. В частности, при переменной скорости и можно допускать, чтобы сеточное число Рейнольдса превышало значение Re > 2 вне окрестности выходной границы, причем пилообразные осцилляции не возникают, если вблизи границы Re < 2. Выводы проведенного здесь исследования оказались приемлемыми для двумерных гидродинамических задач. Используя полные уравнения Навье — Стокса для двумерных расчетов течения нескольких жидкостей в пограничном слое, А. Руссо (личное сообщение) столкнулся с одномерными пилообразными осцилляциями в каждом из направлений — параллельном стенке и перпендикулярном ей. Пилообразные осцилляции в каждом из направлений устранялись либо путем изменения граничного условия на условие Неймана, либо путем перехода к схеме с разностями против потока в одном таком направлении. Другим эффективным средством, нримененным Руссо, является локальное уменьшение шага сетки вблизи стенки (см. разд. 6.1), что локально приводило к уменьшению сеточного числа Рейнольдса до значений Re < 2. Полджер [1971] устранил пилообразные осцилляции в рещении вблизи стенки, учитывая диффузию только с узла, отстоящего на один шаг от стенки. Он проводил расчеты по схеме Лакса (разд. 5.5.4), но схема с разностями против потока (разд. 3.1.8) в этом случае также работала бы. (В линейной одномерной задаче, представленной на рис. 3.26, применение схемы с разностями против потока при г= 10 почти полностью устраняет пилообразные осцилляции.) [c.252]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...