Теорема Фробениуса

Если связи голономны, то система , = 0 (/ = /с + 1,. .., и) вполне интегрируема. Согласно теореме Фробениуса oj (/ = =/с + 1, должны уничтожаться одновременно с oj. Это [c.293]

Тогда для полной интегрируемости системы (1.12) на основании теоремы Фробениуса необходимо и достаточно, чтобы обращались в нуль все разности вида [c.47]

Многомерный случай. Возможности обобщения алгебры векторов на размерности выше двух чрезвычайно ограничены. В алгебре есть теорема Фробениуса, согласно которой система эллиптических комплексных чисел является единственным (с точностью до изоморфизма) расширением поля действительных чисел с [c.55]

Заметим, что в конечномерном пространстве алгебру с делением можно ввести только в трех случаях алгебра вещественных чисел, алгебра комплексных чисел и алгебра кватернионов. При этом первые две коммутативны (Теорема Фробениуса). [c.34]

Условия, позволяющие установить полную интегрируемость уравнений кинематических связей, составляют содержание теоремы Фробениуса, которую можно найти в теории систем дифференциальных уравнений Пфаффа. При составлении уравнений движения механических систем с кинематическими связями вопрос об интегрируемости этих связей никакого значения не имеет, поэтому мы на этой теореме останавливаться не будем. [c.130]

Последним соображением можно пользоваться для проверки неинтегрируемости кинетических связей, не прибегая к теореме Фробениуса. [c.131]

Причем обраш ение всех этих выражений в нуль влечет согласно теореме Фробениуса (см. 7, гл. I) полную интегрируемость кинематических уравнений связей системы. [c.143]

Основной результат формулируется в теореме Фробениуса уравнение (I) вполне интегрируемо, если и только если отображение у удовлетворяет условию совместности (2) в любой точке [c.71]

Поскольку поля wi,..., Wk левоинвариантные, то эти векторы линейно независимы во всех точках группы G. Так как они коммутируют, то (по теореме Фробениуса) их линейные комбинации порождают интегрируемое fe-мерное распределение касательных векторов на G. Интегральные fe-мерные многообразия этого распределения будут как раз вихревыми многообразиями. [c.180]

Теорема Фробениуса. Представление Г группы С, индуцируемое неприводимым представлением 7 группы Я, содержит каждое неприводимое представление группы С столько же раз, сколько раз в представлении группы Я, даваемом матрицами содержится [c.201]

Если мы составим всевозможные произведения спиновых и координатных функций, то получим некоторый базис П представления у точечной группы. Это представление является прямым произведением представлений, по которым преобразуются спиновые и координатные функции. Рассмотрим представление точечной группы Н, которое получается из антисимметричного (симметричного) представления Аа Аз) группы 3 отбором соответствующих элементов. Обозначим его через 7 (7 ). Мы покажем, что статистический вес рассматриваемого уровня равен кратности этого представления в представлении 7. В самом деле, расширим пространство, натянутое на базис О, так же, как мы делали выше, до пространства, инвариантного относительно группы 5 . В расширенном пространстве реализуется представление группы 5 , которое индуцируется представлением 7 группы Н. Представление Ал Аз) согласно теореме Фробениуса может быть индуцировано только представлением 7 (7 ). Поэтому кратность представления Аа Аз) в расширенном представлении должна быть равна кратности в представлении 7. Это и доказывает наше утверждение. [c.204]

Перрона. Доказательство теоремы Фробениуса может быть найдено в [53]. [c.186]

Эйлера 37 Фробениуса теорема 292 [c.366]

Теорема. Условие интегрируемости поля плоскостей (0 = О при (0 = 0 эквивалентно следующему условию Фробениуса [c.318]

Таким образом, крайние точки множества ЗЛ(/) — эргодические меры. Мы уже использовали понятие крайней точки в доказательстве теоремы Перрона — Фробениуса 1.9.11 в конечномерном случае. Множество 9Л(/) в общем случае бесконечномерно. Докажем теперь существование крайних точек. [c.149]

J = О,..., iV — 1. Такие матрицы называются стохастическими. Подобно ситуации с 0—1-матрицами (см. определение 1.9.6), мы будем называть стохастическую матрицу П транзитивной, если для некоторого т все элементы матрицы П положительны. Следующий факт — простое следствие теоремы Перрона — Фробениуса 1.9.11 и некоторых соображений, использовавшихся в ее доказательстве. [c.167]

Теперь допустим, что матрица П транзитивна. В этом случае теорема Перрона — Фробениуса применима непосредственно и дает единственность инвариантного вектора pea с положительными координатами. [c.168]

В силу теоремы Перрона — Фробениуса 1.9.11 оба эти вектора определены однозначно с точностью до умножения на положительную константу. Так как максимальные собственные значения матриц А я А равны, мы получаем [c.184]

Построение стохастической матрицы П из О — 1-матрицы А посредством равенства (4.4.5) может выглядеть несколько загадочным, но на самом деле оно имеет естественную интерпретацию. Мера — не что иное, как асимптотическое распределение периодических орбит топологической цепи Маркова сг . Чтобы показать это, вернемся к обсуждению из п. 1.9 в, в ходе которого мы выяснили, что число различных периодических орбит периода п в базисном 0-цилиндре С равно диагональному элементу матрицы А". Из теоремы Перрона — Фробениуса 1.9.11 следует, что где д и V определяются равенствами (4.4.3) и (4.4.4). Таким образом, доля числа периодических точек периода п, содержащихся в С°, в силу (4.4.2) равна [c.186]

Таким образом, если функция р конечна всюду (или почти всюду), то она является неподвижной точкой оператора Перрона — Фробениуса (см. определение 5.1.7) и потому задает плотность абсолютно непрерывной /-инвариантной меры. Чтобы гарантировать, что р — функция из класса L и, следовательно, рП—конечная мера, достаточно показать, что р равномерно ограничена. Кроме того, если р также ограничена снизу некоторым положительным числом, то мера рП эквивалентна П. Таким образом, мы доказали следующий аналог теоремы 5.1.13 для необратимых отображений. [c.199]

Доказательство. Будем считать, что период р минимален, и рассмотрим отображение / =/ . Заметим, что по лемме 15.3.3 граф Маркова / относительно разбиения, индуцированного периодической орбитой, содержит подграф (15.3.1). По теореме 15.1.9 и теореме Перрона — Фробениуса 1.9.11 достаточно показать, что энтропия (15.3.1) равна наибольшему корню многочлена х — 2х — 1. Таким образом, мы должны вычислить характеристический многочлен марковской матрицы, ассоциированной с (15.3.1), т. е. нам нужна формула для нахождения наибольшего собственного значения (п х п)-матрицы [c.506]

Согласно теореме Перрона — Фробениуса [93], собственный вектор, соответствующий максимальному собственному значению, должен иметь все положительные компоненты. Из (8.5.3) видно, что это возможно только в том случае, когда г = 1 поэтому мы должны выбрать решение [c.144]

С помощью теоремы Фробениуса проанализировать, голономна или неголономна система связей, возникающая при описании качения без прюскальзывания абсолютно твердого шара по абсолютно твердой абсолютно шероховатой плоскости. [c.374]

Если В ф onst, то естественно рассмотреть распределение касательных к N плоскостей П(х), порожденное линейными комбинациями независимых векторов v x) и w(x). Так как v и w коммутируют (см. теорему 1), то по теореме Фробениуса (см. [41]) распределение П интегрируемо. Это означает, что через каждую точку X Е N проходит единственная интегральная поверхность этого распределения, которая в каждой своей точке касается векторов V и W. Если поля V и W полны на S, то, как известно из топологии, Е диффеоморфна одной из следующих поверхностей (плоскость), IR X (цилиндр), (тор) (см., например, [53]). При этом в некоторых глобальных координатах на S линии тока и вихревые линии являются прямыми. В общем случае поверхности [c.71]

Теорема Бернулли обобщается на случай, когда поле и является особым ранг матрицы rot и (или, более общо, ранг матрицы А из уравнения (2.12)) падает более чем на единицу. Вихревые векторы в каждой точке х Е N образуют линейное подпространство Wx С С TxN. В случае постоянства ранга матрицы rot и (или А) размерность Wx не зависит от х. Таким образом, имеется распределение касательных пространств. Ввиду (2.13), согласно теореме Фробениуса, это распределение интегрируемо. Следовательно, конфигу- [c.71]

Согласно теореме Фробениуса для полной интегрируемости пфаф-фотой системы [c.11]

Теорема Фробениуса. Отображение/ впоше интегрируемо, если и только если оно удовлетворяет соотношению совместности [c.30]

Для произвольных особенностей этот результат допускает следующее обобщение. По теореме Фробениуса [103], существует базис решетки Ь, в котором форма пересечений задается Л1атрицей цХц вида [c.91]

Тогда вихревые линии будут отличаться от линий тока — траекторий частиц жидкости (интегральных линий поля v). В этом случае каждой точке х из области течения естественно поставить в соответствие плоскость 7г(ж), порожденную линейными комбинациями независимых векторов v x) и и х) (или, что то же самое, v и w = и/р). Согласно теореме 1, поля и w коммутируют [v,w] = 0. Поэтому, по теореме Фробениуса, распределение плоскостей инволютивно (или интегрируемо) через каждую точку х проходит единственная максимальная интегральная поверхность этого распределения, у которой касательная плоскость в любой точке г G совпадает с n z). Ясно, что линии тока и вихревые линии лежат на интегральных поверхностях. В самом общем случае поверхности М могут быть погружены в весьма сложным образом они, вообще говоря, не замкнуты. [c.21]

Возвращаясь к нашей задаче, мы можем сказать, что характер представления группы перестановок, по которому преобразуется рассматриваемая волновая функция, определяется формулой (18.10), а разложение этого представления на неприводимые можно найти с помошз>ю теоремы Фробениуса. [c.202]

Теорема 1.9.11 (Перрон — Фробениус) [ ]. Пусть Ь —такая (МхМ )-матрица с неотрицательными коэффициентами., что для некоторого натурального числа п все элементы Ь" положительны. Тогда Ь имеет единственный (с точностью до умножения на константу) собственный вектор е с положительными координатами и не имеет никаких других собственных векторов с неотрицательньши координатами. Кроме того, собственное значение, соответствуюи ее этому вектору, положительно, превосходит модули всех других собственных значений и имеет кратность один. [c.66]

Отображение Т сг — сг, определенное в доказательстве теоремы Пмро-на — Фробениуса 1.9.11, в этом случае совпадает с ограничением П на симплекс сг. Следуя доказательству теоремы Перрона — Фробениуса, мы заключаем, что П сохраняет выпуклое множество [c.167]

В обоих случаях из (8.5.7) с очевидностью следует, что все значения (л 1, J 2) строго положительны, поэтому, согласно теореме Перрона — Фробениуса, мы нашли решение, соответствующее максимальному собственному значению матрицы V в субблоке л = 2. [c.145]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...