Теорема топологическая

Свойства сферы, сформулированные в последней теореме, топологически инвариантны, т. е. сохраняются при всех топологических отображениях сферы. [c.548]

Теорема. В типичном двупараметрическом семействе систем Лотка—Вольтерра (10) встречаются лишь такие деформации систем легкого типа, которые топологически эквивалентны одному из главных локальных семейств [c.33]

Теорема ([180]). Если две типичные однопараметрические деформации ростков диффеоморфизмов (R , 0)->(R , 0) с парой невещественных мультипликаторов на единичной окружности топологически эквивалентны, то мультипликаторы деформируемых ростков совпадают. [c.47]

Эта теорема следует из топологической инвариантности числа вращения для диффеоморфизма окружности. [c.47]

Замечания. 1. Теорема о ж,есткости навязывает некоторую гладкость сопрягающему отображению, которое по определению было лишь гомеоморфизмом. Поэтому для отображений, осуществляющих лишь топологическую, а не гладкую эквивалентность семейств диффеоморфизмов, удалось провести те же построения, что и для гладких отображений в п. 5.9. [c.78]

Теорема . 1. В типичном однопараметрическом семействе векторных полей на S , г 2, k l, встречается не более счетного множества бифуркационных значений параметра (в окрестности которых семейство топологически перестраивается). При остальных значениях параметра поле грубое. [c.99]

Ограничения на топологический тип поверхности появляются из-за того, что для поверхностей, не перечисленных в формулировке теоремы, не доказана в С -топологии лемма о замыкании при г 2. [c.101]

Теорема ([ИЗ]). В типичном однопараметрическом семействе векторных полей встречаются векторные поля с вырожденной особой точкой О, имеющей одно собственное значение О, седло по гиперболическим переменным и р гомоклинических траекторий Г,- точки О, р>1. Тогда для всех полей v , соответствующих достаточно близким к критическому значениям параметра, лежащим по одну сторону от критического значения, справедливо следующее утверждение. Для некоторой окрестности и объединения ОиГ,- ограничение потока поля на множество неблуждающих траекторий топологически эквивалентно надстройке над топологической схемой Бернулли из р символов. [c.113]

Заметим, что эта теорема не дает возможности судить о топологической структуре инерциальной кривой с . [c.250]

Теорема 5.3. Пусть G — планарный граф, в котором цепи х и у имеют единственную общую вершину у. Тогда для существования плоского топологического представления T G), в котором цепи х и у не перекрещиваются в вершине у, необходимо и достаточно, чтобы граф АО был планарным. [c.189]

Дело в том, что в топологическом графе Т (Го. р) цепи /, 5, 4 и [2, 5, ff], соответствующие второму и третьему дифференциалам, оказались перекрещивающимися. Последнее означает, что при попытке построить схему механизма один из этих дифференциалов окажется разорванным. Чтобы убедиться в этом, воспользуемся теоремой 5.3 и построим граф ДГ,,. р, который будем называть дополнительным графом размещения. С этой целью, согласно преобразованию А, разобьем вершину 5, являющуюся общей для обеих цепей, на две вершины 5 и 5", [c.200]

Как же можно математически характеризовать столь сложные движения Прежде всего рассмотрим эргодическое движение. В этом случае траектория любой отдельной точки пересекает произвольно выбранную область фазового пространства бесконечное число раз (при t схз). Сказанное остается справедливым, где бы ни находилась пробная область и какой бы малой она ни была. Нельзя, однако, сократить эту область до отдельной точки. Известна топологическая теорема, гласящая, что одномерная траектория, даже если она плотно заполняет область более высокого измерения, не может проходить через каждую точку данной области ). Тем не менее можно доказать весьма интересное свойство. Рассмотрим динамическую функцию Ь (х), которая является интегрируемой по фазовому пространству [c.379]

Замечание 4.1. Из проведенных рассуждений следует, что система (4.2) при выполнении условий предыдущей теоремы имеет хотя бы одно периодическое решение с единичным периодом. Действительно, при достаточно больших с множество и (л , у) с представляет собой, как легко видеть, замкнутый топологический круг. Так как при преобразовании Т этот круг переходит в себя, то из теоре.чы Брауэра и следует наше утверждение. [c.68]

Доказательство. Доказательство леммы мы будем проводить от противного. Предположим сначала, что число вращения 1 уравнения (11.1) иррационально. Возьмем произвольное е > 0. Сделаем относительно решения 6 = (ср, 0) уравнения (11.1) такие же предположения, как и при доказательстве леммы 11.1. Как было показано, тогда число вращения (Х уравнения (11.9) больше числа вращения (х уравнения (11.1). В силу теоремы 11.1 число вращения (15(е) уравнения (11.9) зависит от е непрерывно, и потому существует такое бо < е, что число вращения х (ед) рационально. Но ясно, что тогда не существует топологического преобразования тора R на себя, переводящего интегральные кривые уравнения (11.1) в интегральные кривые уравнения (11.9), в котором е = 5о ибо в противном случае при таком преобразовании незамкнутая кривая переходила бы в замкнутый цикл, что невозможно. Но тогда из определения 11.2 следует, что уравнение (11.1) не является грубым. Мы получили [c.180]

Если область не односвязна, то две траектории между точками Он Р могут соединяться поверхностью, целиком лежащей в жидкости, только в том случае, если выполняются некоторые топологические условия. Если это не так, то нельзя сделать необходимого заключения из теоремы Стокса и тогда потенциал скоростей может иметь больше одного значения в точке Р, которое зависит от траектории, соединяющей точку О с точкой Р. [c.97]

Для исследования динамических свойств нелинейных автоматических систем в настоящее время существует много методов, позволяющих исследовать свободные и вынужденные колебания нелинейных автоматических систем. Ведущее значение имеют методы, опирающиеся на фундаментальные теоремы А. М. Ляпунова об устойчивости движения. Кроме них, широко применяются топологические методы, связанные с геометрическим построением структуры фазовых пространств, методы качественной теории дис еренциальных уравнений, припасовывания, разностные, опирающиеся на понятие передаточной функции и частотной характеристики системы, а также математического моделирования. [c.4]

Доказательство теоремы 4 использует сложную топологическую технику и здесь не приводится (см. [155, 156]) в отличие от доказательства п. 1, оно не дает содержательной информации о явлениях качественного характера, препятствующих интегрируемости. [c.141]

Доказательство теоремы 1 основано на методе работы [81] (см. п. 1 2). Оно использует тот факт, что в каждом классе свободно гомотопных путей на М имеется неустойчивая замкнутая геодезическая. Существование замкнутых геодезических (без анализа устойчивости) на многообразиях с выпуклой границей было отмечено в классических работах Уиттекера [163] и Биркгофа [18]. Вместо группы гомологий, примененной для доказательства неинтегрируемости в случае пустого дМ, здесь используются Другие топологические инварианты [25]. [c.142]

Топологические препятствия к существованию нетривиальных групп симметрий обратимых систем впервые получены автором в [106] (теорема 2). Там же сформулирована в виде гипотезы теорема 1. Эта теорема доказана С. В. Болотиным с помощью детального анализа семейства траекторий, двоякоасимптотических к периодическим траекториям из различных гомотопических классов. Более точно, доказано, что в предположениях теоремы 1 3 найдется замкнутая гиперболическая траектория с трансверсально пересекающимися асимптотическими поверхностями. Из этого результата вытекает, в частности, стохастизация фазового потока и, как следствие, отсутствие дополнительных интегралов и групп симметрий (см. по этому поводу гл. V). [c.156]

Теорема 1. Если эйлерова характеристика х(М) < О гл энергия /г > О, то топологическая энтропия ограничения системы на уровень энергии положительна. [c.149]

Для натуральных систем с Н = Н2 + теорема вытекает из результатов Катка [19]. При тех же условиях, Козлов [20] доказал неинтегрируемость системы. В случае двух степеней свободы, положительность топологической энтропии влечет неинтегрируемость. [c.149]

Теорема 2. Если эйлерова характеристика х(М) О, то существует бесконечное число гомоклинических траекторий к положению равновесия Существуют также хаотические траектории ка Ео, и топологическая энтропия системы на Ео положительна. [c.151]

Если М топологически устроено более сложно, чем тор, т. е. х(М) < О, то теорема 3 справедлива без условия (12). [c.155]

Так же, как при доказательстве теоремы 2, из предложения 3 вытекает, что нри малых к > О функционал фь имеет минимум во внутренности множества Z. Этот минимум соответствует периодической траектории энергии к, близкой к цепочке N гомоклинических траекторий. В пределе ТУ ос получаются хаотические траектории, соответствующие заданной траектории jk kez топологической цепи Маркова. [c.158]

Теорема. Топологическая сложность задачи Р т,г) при достаточно маленьких е>0 не меньще числа m—min Dp (m), где Dp(m) —сумма цифр в /з-нчном представлении числа т, а минимум берется по всем простым р. [c.150]

Теорема сведения ([117], [20]). Локальное семействовекторных полей (и О, 0), г (О, 0)=0 топологически эквивалентно надстройке седла над ограничением семейства на его центральное многообразие. Это ограничение (обозначим его-(ш О, 0) представляет собой локальное семейство с с-мерным фазовым пространством, где с — размерность центрального многообразия ростка v -, 0)). Если локальное семейство (ш О, 0) является версальной деформацией ростка w -, 0), тО исходное семейство (и О, 0) является версальной деформацией, ростка г ( , 0). А [c.18]

Теорема (о версальности). Росток однопараметрического семейства общего положения векторных полей We) на гомокли-нической траектории негиперболической особой точки—седла по гиперболическим переменным в R —топологически эквивалентен ростку одного из главных семейств О или 0 на гомоклини-ческой траектории поля или V . [c.115]

Главные семейства в и их свойства. В этом пункте строятся топологические нормальные формы семейств в окрестности гомоклинической траектории седла в R . Соответствующие теоремы версальности формулируются в п. 5.5. Семейства строятся с помощью описанных ниже склеек из линей- [c.129]

Теорема (В. С. Афраймович, Ю. С. Ильяшенко, 1985 г.). Пусть гладкое векторное поле в R имеет гомоклиническую траекторию гиперболического седла с собственными значениями a ip, К а-Х<0. Тогда отношение а/Я является топологическим инвариантом. [c.133]

Теперь пусть s = 3. В этом случае согласно Л в G должны быть удалены и ребра цикла, образующего грань, поэтому пересечение в области D можно попытаться устранить путем изменения порядка следования ребер (осьР), ( 2, Р), ( 3, Р), получаемого при обходе вершины р против часовой стрелки. Однако нетрудно убедиться, что получаемые при этом топологические графы будут изоморфны друг другу. Значит, и в этом случае остается принять, что граф AG планарный. Теорема доказана. [c.193]

Дефекты в конденсированных средах как Т. с. Топологич. анализ дефектов не претендует на полноту описания физ. картины, в частности, он практически не даёт количественных ответов, к-рые по сути слабо зависят от реализуемой топологии. Тем не менее такой анализ позволяет простыми средствами выявлять те качественные особенности рассматриваемых явлений, к-рые должны бьпь приняты во внимание при более летальном описании. Напр., легко можно понять причину отсутствия топологически устойчивых образований в обычной жидкости. Как известно, вихри могут быть устойчивы лишь в идеальной жидкости (теорема Кельвина—Гельмгольца), а под влиянием вязкости такие вихри рассасываются. С точки зрения топологии причина состоит в том, что обычная жидкость не вырождена. В то же вре.мя квантованные вихри в сверхтекучем Не топологически устойчивы именно в силу вырожден-ности осн состояний. В результате никакое вязкое трение не может изменить кванта циркуляции сверхтекучей скорости Не с др. стороны, рассасывание вихря означало бы расширение области дефекта (наруишния сверхтекучести), что энергетически невыгодно. [c.136]

Собственно говоря, проведенное построение уже дает необходимый опровергающий пример. Для того чтобы окончательно привести его в соответствие с конфигурацией рис. 2, д, достаточно представить всю конструкцию вложенной в матрицу из материала бесконечно малой проницаемости. Более того, варьируя длины и сечение однородных участков /-К, можно изготовить всю конструкцию рис. 2, а из одного и того же нелинейно проводящего материала, с законом фильтрации, подобным показанному на рис. 6, используя для получения нужных характеристик различные участки закона фильтрации. Такую Я-образную область из однородного материала можно сделать как пространственной, так и плоской. Возьмем плоский вариант описанной конструкции и превратим его в пространственный, ограничив спереда и сзади изолирующими поверхностями, добавив и сделав верхнюю и нижнюю поверхности идеально проводящими (рис. 1, а, б). Полученное пространственное тело будет иметь топологическую структуру трубки тока и проводимость, равную с точностью до числового множителя проводимости исходной конструкции рис. 5. Если теперь вдавить заднюю стенку , удалив часть горизонтальной перемычки (пунктир на рис. 7, в), то ее сопротивление увеличится, и система перейдет в новое состояние, отвечающее состоянию / рис. 6, и будет иметь больпшй расход. Таким образом, в случае пространственного течения при произвольном законе фильтрации первая теорема о вдавливании для расхода не имеет места. [c.24]

Теорема 3 [191]. Если ао О, то для любого локально трансверсального сечения Е траектории 7 и любого натурального 3 найдется компактное инвариантное гиперболическое множество Л С , на котором отображение последования Пуанкаре топологически сопряжено сдвигу Бернулли в пространстве бесконечных последовательностей из з символов. [c.308]

В общем случае, доказательство теоремы можно провести, например, так. Принцип Мопертюи сводит задачу к финслеровой геомет-эии. Используя эту редукцию, можно доказать, следуя Морсу [23], существование бесконечного числа минимальных замкнутых геодезических, и бесконечного числа минимальных геодезических, гомоклинических к этим минимальным геодезическим [4]. В силу условия на топологию М, эти гомоклинические геодезические топологически трансверсальные. Отсюда вытекает положительность топологической энтропии. [c.149]

Теорема 3 может быть уточнена. Оказывается, что отображение Пуанкаре системы на инвариантном подмножестве в полусопряже-но топологической цепи Маркова произвольного порядка. Конструкция состоит в следующем. [c.156]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...