Постановка задачи. Определяющие уравнения

Постановка задачи. Определяющие уравнения. Рассмотрим изотермическую жидкую зону в условиях невесомости. Жидкость удерживается между двумя твердыми дисками одинаковых радиусов Я, расположенными на расстоянии Ь друг от друга (рис. 5.3.1). Один из дисков совершает монохроматические вибрации в осевом направлении с круговой частотой ш и амплитудой а. Объем жидкости [c.204]

Исходная система уравнений и постановка задачи. Определяющие вращательное движение и ориентацию твердого тела уравнения запишем в переменных, соответствующих структуре системы (2.5.5) [c.154]

Изложенные выше понятия о проекте ЭМП и процессе проектирования позволяют с помощью обобщенной модели и ее уравнений перейти к общей теоретической постановке задачи проектирования. При этом необходимо абстрагироваться от физического содержания понятий и оперировать только их математическими символами и свойствами. Поступая таким образом, проект можно рассматривать в виде математического объекта или системы, однозначно определяемой заданием определенного числа параметров, под которыми понимаются все проектные данные. Учитывая зависимость некоторых проектных данных от времени, в общем случае проект ЭМП следует представлять в виде динамической многопараметрической системы. Такой подход позволяет для проектирования использовать математический аппарат синтеза многопараметрических динамических систем. [c.68]

Как будет показано ниже, для математической постановки задач механики необходимо установить связь между такими параметрами, как тензор деформаций, тензор напряжений, температура, плотность и т. д. эти зависимости называются определяющими уравнениями и в линейной теории они линейны [c.20]

Рассмотрим одну из возможных процедур численного решения краевых задач для тел, поведение которых описывается определяющим уравнением (5.115), известную под названием метода шагового интегрирования по времени. Для этого используем постановку задачи в перемещениях в форме принципа возможных перемещений (Лагранжа) t [c.247]

Возможны следующие способы представления положения выходного звена некоторой материальной системы звеньев явной функцией, разрешенной относительно параметра, определяющего это положение неявной функцией, уравнением или системой уравнений. Рассмотрим сначала постановку задач анализа точности положения выходного звена. [c.111]

Различные виды анализа, выполняемые в программных системах первой, второй и третьей групп, основаны на классических инженерных подходах к разработке математических моделей поведения изделия при различных воздействиях. В конечно-элементной постановке задачи моделирования исследуемая область предварительно разбивается на ограниченное множество конечных элементов, связанных между собой конечным числом узлов. Искомыми переменными уравнений математических моделей являются перемещения, повороты, температура, давление, скорость, потенциалы электрических или магнитных полей. Эти переменные определяют степени свободы узлов. Их конкретное содержание зависит от типа (физической природы) элемента, который связан с данным узлом. Например в задачах прочностного анализа для каждого элемента с учетом степеней свободы его узлов могут быть сформированы матрицы масс, жесткости (или теплопроводности) и сопротивления (или удельной теплоемкости). Множество степеней свободы, определяющих состояние всей системы в данный мо- [c.58]

Исследована задача о напряженно-деформированном состоянии наращиваемого вязкоупругого клина, конечной полосы, полого шара, задача о наращивании вязкоупругого полого цилиндра, находящегося под действием внутреннего давления и подверженного неоднородному старению, а также задача о наращивании вязкоупругого цилиндра при сжатии и кручении. Приводится постановка и решение двух характерных задач нелинейной теории ползучести для неоднородно-стареющих тел с изменяющейся гра ницей. Для каждой из этих задач установлены определяющие уравнения, даны методы их решения и проанализированы результаты численных расчетов. , [c.9]

В настоящем параграфе вначале изложены определяющие уравнения при сращивании двух тел. Далее приведена постановка и вывод уравнений в общем случае дискретного наращивания. Затем получены уравнения, дающие решение задачи при непрерывном наращивании. [c.28]

В этой главе вопрос определения напряженно-деформированного состояния исследован в задаче дискретного и непрерывного наращивания призматического тела, в задаче о наращивании клина, полосы и шара, а также в задаче о кручении наращиваемого вязкоупругого цилиндра. Наряду с этим дается постановка и решение двух характерных задач нелинейной теории ползучести для наращиваемых тел. В каждой из этих задач установлены определяющие уравнения, приведен метод их решения и сформулированы результаты численных расчетов. [c.78]

Более простую и не менее общую постановку задачи дает использование уравнений теплового баланса и теплообмена, особенно если дополнить их замыкающей систему характеристикой процесса горения [Л. 26]. В качестве последней может быть использован параметр макс или соответствующая ему связь между температурами 0ф и 00, определяемая величиной показателя температурного режима и и множителя подобия температурных полей т в формуле (6-39). [c.200]

Решение строится обратным методом и состоит из нескольких этапов 1) задаемся формой осуществляемого преобразования V- в V-объем, 2) составляется выражение меры (или тензора) деформации, 3) записывается закон состояния, и осуществляется проверка, что определяемый им тензор напряжений удовлетворяет уравнениям статики в У-объеме, 4) определяются поверхностные силы, требующиеся для поддержания этого напряженного состояния. Получаемые при этом порядке построения решения содержательны, если распределение так найденных поверхностных сил (массовые считаются отсутствующими или наперед заданными) достаточно просто реализуемо, а также если постановка задачи допускает замену найденного распределения статически эквивалентной системой поверхностных сил. [c.686]

В чем суть математической постановки краевых задач и какова роль в ней определяющих уравнений [c.177]

В уравнения (1.84), кроме компонент тензора напряжений а , подлежащих определению, входят напряжения а , а , на поверхностях S+, S-, определяющие внешнюю нагрузку. Их необходимо задать при постановке задачи. Величины q находим из условий теплообмена на поверхности [c.32]

Уравнения (IV.34) и (IV.42) пригодны для описания деформирования материалов на первых двух стадиях ползучести. Для того чтобы учесть третий участок ползучести, предшествующий разрушению, в определяющие соотношения обычно вводят параметр повреждаемости (I) = со ( , который при t = Q равен нулю, а в момент разрушения 4 принимает значение со , и устанавливают для него закон изменения во времени В соотношениях (IV. 17) заложена постановка задачи длительной прочности, если в качестве одного из структурных параметров qi выбрать параметр повреждаемости. [c.110]

В зависимости от постановки задачи условия однозначности можно составлять по-разному, но всегда совокупность определяющих уравнений и условий однозначности должна исчерпывающим образом определять состояние изучаемой системы в любой точке пространства и в любой момент времени., [c.301]

При второй постановке задачи задаются полем тепловыделений, температура же среды является определяемой величиной. Она входит как в уравнение переноса, так и в уравне- [c.313]

Итак, определяющими уравнениями при второй постановке задачи являются (4.12), (4.13) и (4.15) —(4.18). [c.240]

Подчеркнем, что, как утверждалось выше, при произвольных напряжениях а( ) и т( ) выражениям (5.9) и (5.10) не соответствуют действительные перемещения точек оболочки, поскольку уравнение неразрывности деформаций (5.8) будет нарушено. Однако если эти выражения в силу условий (5.11) отождествить с действительными перемещениями граничных точек упругого шара, то тем самым будет наложено ограничение на контактные напряжения a(fl ), т(А ) и в определенном смысле будет удовлетворено уравнение неразрывности (совместимости) деформаций оболочки. В конечном итоге можно считать, что последнее уравнение вследствие указанной трактовки условий контакта (5.11) окажется нарушенным в меньшей степени. Придерживаясь этой точки зрения, примем такую постановку задачи, когда выражения (5.9) и (5.10), определяемые по безмоментной теории тонкой сферической оболочки, в силу условий (5.11) в зоне контакта отождествляются с действительными перемещениями граничной поверхности упругого весомого шара. [c.324]

Постановка задачи. Наряду с (4.4.18) рассмотрим определяющие ориентацию тела кинематические уравнения (4.1.2), (4.1.3). [c.236]

В этой главе излагаются общие положения теории конвективной устойчивости, на основе которых в последующих главах проводится решение конкретных задач. Сначала приводятся общие уравнения, описывающие тепловую конвекцию несжимаемой жидкости, и обсуждаются приближения Буссинеска, лежащие в основе этих уравнений. Далее формулируются условия механического равновесия неравномерно нагретой жидкости. В третьем параграфе содержится постановка задачи об устойчивости равновесия подогреваемой жидкости относительно малых нормальных возмущений, формулируется краевая задача для амплитуд и выясняются некоторые общие свойства спектра возмущений. В последнем параграфе этой главы речь идет о нахождении критических (нейтральных) возмущений и критических значений числа Рэлея, определяющих границы устойчивости равновесия. Здесь же обсуждаются варианты метода Бубнова — Галеркина, позволяющего эффективно решать краевые задачи для характеристических возмущений [c.7]

Как видно, вывод закона подобия из теории подобия и раз мерности более краток, чем из анализа полной системы уравнений. Это впечатление, однако, обманчиво, и оба приведенных вывода практически эквивалентны, так как при подборе систе-мы определяющих параметров мы неявно исходили из общей постановки задач, в частности, из вида уравнений и определяющих граничных условий. Например, для получения из общей-теории подобия и размерности принципа гиперзвуковой стабилизации нужно знать конкретные соотношения на ударной волне, исходя из которых, можно пренебречь давлением роо, энтальпией h или скоростью звука йоо невозмущенного потока для получения закона бинарного подобия необходимо знать структуру и особенности уравнений химической кинетики и т. д. [c.121]

Возвращаясь к начальной постановке задачи, запишем дифференциальные уравнения, определяющие эволюцию, во времени выбранной совокупности классических частиц. Для г-й частицы они име- [c.205]

Как известно, система определяющих параметров и критерии 1юдобия могут быть одинаковыми, когда действительные физические связи постановки задач и уравнения, описывающие процессы, разные, причем эти уравнения можно варьировать в довольно широких пределах. [c.8]

Отметим, что вторая постановка точнее первой описывает исходную задачу. Одйако в первой постановке основные определяющие уравнения имеют более простую структуру. [c.254]

Информация о процессе передачи теплоты в твердом теле и условиях теплообмена на его поверхности составляет существо постановки задач теплопроводности. Эта информация входит в формализованном виде в уравнения и дополнительные соотношения, которые связывают между собой заданные параметры с определяемыми величинами. Совокупность таких уравнений и соотношений называют математической формулировкой данной задачи теплопроводности или математической моделью рассматриваемого процесса тетшопроводности. [c.196]

Задание закона состояния приводит к замкнутой системе дифференциальных уравнений, по которой определяется реализуе- мое в теле напряженное состояние и вектор перемещения точек среды. Из сказанного следует, что в линейной постановке задача определения формы и размеров упругого тела в конечном состоянии отодвигается на второй план—их находят после того, как задача решена в предполон<ении неизменности начальной формы тела. Этот прием позволяет избежать серьезной трудности нелинейной теории упругости, когда напряженное состояние приходится разыскивать в 1/-объеме — в теле с неизвестной наперед границей О. Его законность подтверждается тем, что при решении задач нелинейной теории упругости методом последовательных приближений, например в форме ряда по степеням параметра ма.пости, характеризующего малость градиента вектора перемещения, исходное приближение, получаемое при пренебрежении слагаемыми, содержащими этот параметр, представляет решение задачи для линейно-упругого тела, когда определяющие уравнения отнесены к начальному объему и начальной форме его границы. [c.102]

В постановке задачи этого пункта использовались интегральные уравнения статики (4.3.2) этим из рассмотрения были исключены напряженные состояния, представляемые членами ряда для Uzip, 0), отличными от (4.3,5). Их присутствие следует связать с наличием в угловой точке статически эквивалентных нулю (с исчезающими главным вектором и главным моментом) особенностей. Пренебрежение этими членами, когда они создаются нагружением по малому участку границы, характерно для решений, в которых принцип Сен-Венана используется в его классической формулировке. Оно законно, если соответствующие им напряжения затухают при удалении от участка распределения поверхностных сил быстрее, чем состояния, определяемые действием момента этих сил. [c.539]

Если решение задачи основано на постановке в деформациях через тензор Те или в скоростях деформаций через тензор Т , то соответствующие условия Б.Сен-Венана должны учтываться в замкнутом множестве уравнений. Пример таких множеств без учета инерционных и массовых сил для сред, свойства которых описьшаются определяющими уравнениями (1.5.2) или (1.5.4), приведен в табл. 8. При этом тензор напряжений представлен в виде (1.4.19) с помощью тензора Т функций напряжений Э.Бельтрами для безусловного вьшолнения уравношя равновесия (1.4.18). С использованием тшзора Т уравнения (1.5.2) и (1.5.4) принимают соответствующий вид [c.136]

При решении некоторых задач МСС, например, теорш упругости, кинематическую постановку удобно осуществлять в перемещениях. Она фактически сводится к замене лагранжева вектора L вектором перемещения с помощью (1.2.4) во всех уравнениях основного множества уравнений табл. 5 или в уравнении (1.5.28) и в краевых условиях, где статические параметры заменяются с помощью определяющих уравнений типа (1.5.30) на кинематические параметры. [c.140]

Поскольку на основании (4.90) Пв является включением О, то из общих соображений очевидно, что оптимум модели М, вообще говоря, предпочтительнее оптимума модели Ме, так как показатели эффективности оптимального проекта оболочки, найденные в постановке задачи 5 = 0, не могут быть лучще соответствующих показателей оптимального проекта оболочки, полученного из решения задачи, сформулированной в общей постановке 5=(ф,0). Геометрически это означает, что точка 5 модели М может принадлежать 5 5е, т. е. не принадлежать 5е. Таким образом, глобальный оптимум проекта оболочки, вообще говоря, может достигаться только в случае общей постановки задачи 5= (ф, 0), реализация которой осуществляется методом ОСП. Если в конкретной задаче оптимизации имеет место указанная ситуация, то очевидно (см. рис. 4.5), что решение такой задачи в постановке 5 = 0 будет принадлежать одной из двух границ 5е, определяемых уравнениями [c.199]

Уравнение равновесия (3.6.14), уравнение несжимаемости (3.6.5), граничные условия (3.6.6), (3.6.7), определяющие соотношения (3.6.15), а также соотношения (3.6.2), (3.6.3), (3.6.11)-(3.6.13) составляют постановку задачи об образовании к-го отверстия в координатах к-го состояния. Решение этой задачи рассмотрено далее в предположении, что напряжения на бесконечности не меняются после приложения начальных нагрузок, т.е. r (t) = onst. [c.106]

Следует отметить, что в случае некорректных контактных задач, когда незначительные изменения в исходных данных ведут к значительному изменению результатов, возможны различные решения упругопластических задач в зависимости от алгоритма поиска контактных зон и последовательности вычислений во вложенных итерационных процессах. Обычно в этих случаях задача чувствительна к степени дискретизации на конечные элементы, диаграммам деформирования, уровням нагрузок и легко обнаруживается потребность дополнительных исследований, в результате которых обычно вскрывается причина ее некорректности. На практике такие задачи встречаются редко, поэтому оставим их без внимания. В задачах с трением возможны случаи, когда фрикционные силы не могут уравновесить действующую нагрузку и решение в статической постановке отсутствует, что легко обнаруживается в ходе расходяш,егося итерационного процесса. Будем считать, что корректность постановки задачи должна обеспечиваться надлежащими входными данными. В данной реализации решение поставленной задачи получено путем последовательного решения ряда смешанных задач в итерационном процессе, на каждом шаге которого границы контактных площадок, условия взаимодействия на них полагаются фиксированными и изменяются в соответствии с выполнением условий (II.2) — (II.3). При этом материальные константы упругой системы выбираются исходя из удовлетворения определяющих уравнений задачи. [c.20]

В первой главе обоснована необходимость вероятностного описания реальных структур композитов, приведены определяющие соотношения для пьезоэлектрических и пьезомагнитных материалов. В рамках структурнофеноменологического подхода композит рассматривается как система взаимодействующих друг с другом элементов структуры однородные физико-механические свойства элементов структуры задаются с помощью общепринятых в механике феноменологических уравнений и критериев, а эффективные свойства композита вычисляются из решений краевых задач для уравнений механики с кусочно-постоянными быстро осциллирующими коэффициентами. Представлена постановка краевой задачи пьезомеханики для структурно неоднородного тела с пьезоактивными элементами структуры и определены этапы ее решения на основе двухуровневой иерархической модели. [c.5]

В такой постановке задача очень трудна для решения, за исключением, 1М0жет быть, случая гармонических сил. Вообш,е удобнее перейти к уравнению, содержащему только одночастичную функцию распределения Р = Py +l, определяемую формулой [c.129]

Соответствующее и естественное определение изучаемых фи зических закономерностей дает как следствие структуру соот ветствующих уравнений, представленных в безразмерном виде Определяющие парам-етры, переменные или постоянные, выде ляемые постановкой задачи, можно рассматривать как вели чины, в известном диапазоне не зависящие одна от другой Определяемые величины можно рассматривать как величины, вы ражаемые с помощью некоторых математических операций че рез определяющие. Соответствующие функциональные связи между размерными величинами обладают вполне определенной структурой, обусловленной независимостью этой связи от выбора основных единиц. Эта структура связана с существованием в классе рассматриваемых явлений своих собственных характерных величин — собственных единиц измерения, не зависимых от условных единиц измерения, выбранных на основе специального соглашения. [c.10]

В общем случае изучение механических процессов в начально-деформированных телах необходимо проводить в рамках нелинейной теории упругости. Однако, множество процессов, происходящих в начально-деформированных телах, можно рассматривать в рамках линеаризованной теории наложения малых деформаций (возмущений) на конечные деформации (начальное состояние) в предположении, что возмущения малы. Традиционно [30, 41, 42] различают три состояния тела естественное (ненапряженное) состояние (ЕС), начально-деформированное состояние (НДС) и актуальное (возмущенное по отношению к НДС) состояние. При этом особое значение приобретает выбор системы координат, которая может быть связана либо с естественной конфигурацией (система координат Лагранжа или материальная система координат), либо с актуальной конфигурацией (система координат Эйлера) [30, 41, 42]. Линеаризованные уравнения движения существенным образом зависят как от выбора системы координат, так и от выбора определяющих соотношений, поскольку имеет место возможность определения напряженного состояния различными тензорами (Коши, Пиола, Кирхгофа и т.д.) и множественность их представления через меры деформации (Коши-Грина, Фингера, Альманзи) или градиент места. Более детально с особенностями постановки задач для преднапряженных тел можно ознакомиться в монографиях А. И. Лурье [41], А. Лява [42] и А. Н. Гузя [30]. [c.290]

Моделирование работы камер сердца. С того времени как в 1892 г. Вудс впервые воспользовался уравнением Лапласа для исследования механических свойств левого желудочка (ЛЖ) значительные успехи биомеханики, медицинской и компьютерной техники позволили существенным образом расширить область математического моделирования жизнедеятельности сердца. Наибольший интерес у исследователей, традиционно, вызывает моделирование ЛЖ, как органа наиболее напряженного и в наибольшей степени определяющего гемодинамику сердечнососудистой системы (ССС). На современном уровне развития биомеханики ЛЖ можно выделить два главных направления изучение напряженно-деформированного состояния (НДС) стенки ЛЖ и моделирование насосной функции сердца. Исследования, выполняемые в ) азанных областях, как правило, существенно отличаются по постановке задач и методам их решения. [c.552]

Отметим также, что поскольку индентор является подвижным, то постановка задачи должна включать уравнения, позволяющие определить кинематический или степический торсор. Следовательно, пространство функций, в котором разыскивается решение, нужно определять как прямое произведение введенных выше пространств и шестимерного пространства торсоров (см. выше). Пусть, для определенности, задаются силы, действующие на индентор. Тогда в определение множества кинематически допустимых полей в этом пространстве будут присутствовать вариации бЯо скоростей смещений начала подвижной системы отсчета и вариации скоростей углов Эйлера, определяющих вариации матрицы вращений А [c.483]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...