Линейные уравнения с частными производными

Мы покажем здесь, что интегралы или инварианты f x t) системы (36) можно определить как решения некоторого вполне определенного линейного уравнения с частными производными первого порядка относительно х тл t. [c.271]

Таким образом, для того чтобы какая-нибудь функция f x t) была интегралом или инвариантом системы (36), необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла линейному уравнению с частными производными (38) относительно п- - независимых переменных х л t. [c.272]

Одним из основных методов решения линейных уравнений с частными производными является метод разделения переменных, согласно которому исходное уравнение разбивается на несколько обыкновенных, содержащих по одному независимому переменному. Разделение переменных возможно лишь в некоторых криволинейных системах координат. Рассмотрим произвольную криволинейную систему координат (gi, I2, ёз), связанную с прямоугольными координатами соотношениями [68] [c.47]

ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ 223 Это приводит к условию [c.223]

Линейные уравнения с частными производными [c.223]

Уравнение (4.73)—линейное уравнение с частными производными первого порядка относительно искомой функции. [c.112]

Появилось много работ, связанных с динамикой неупругих конструкций. В последние годы достигнуты большие успехи в вычислительной технике. Разработан ряд методов численного интегрирования квазилинейных и почти линейных уравнений с частными производными. Численным исследованиям сопутствовали соответствующие разработки аналитических методов решения граничных задач для неупругих тел. [c.7]

В данной книге рассмотрены лишь волновые задачи, которые описываются гиперболической системой квазилинейных или почти линейных уравнений с частными производными первого порядка. Сделан обзор мировой литературы по проблеме [c.7]

В случае системы двух линейных уравнений с частными производными первого порядка с постоянными коэффициентами для двух независимых функций щ и 2 эту систему можно свести к одному дифференциальному уравнению второго порядка с постоянными коэффициентами для функции щ или 2. Тогда решения краевых задач можно определить в аналитическом виде 24, 62]. В этом случае можно также использовать интегральное преобразование Лапласа (см., например, п. 15). Этот метод, однако, непригоден в некоторых случаях, именно тогда, когда вместе с решением данной системы уравнений необходимо определить границу области, в которой ищется решение, например при определении волны разгрузки для упругопластической среды (с кусочно линейной характеристикой материала). [c.68]

Оказывается возможным свести поставленную задачу к решению всего одного линейного уравнения в частных производных (С. А. Чаплыгин, 1902). Это осуществляется путем преобразования к новым независимым переменным — компонентам скорости Vx, Vy (это преобразование часто называют преобразованием годографа плоскость переменных Vx, Vy называют при этом плоскостью годографа, а плоскость х, у — физической плоскостью). [c.607]

Уравнение Шредингера является линейным уравнением в частных производных, т. е. более сложным, чем уравнения Гамильтона. Так как уравнение (1.35) — первого порядка по времени, то с его помощью по заданным значениям Ч " г, 0) волновой функции в момент t = О можно найти ее значение г, t) в момент t. [c.23]

Указав на эти предварительные соображения, составим линейное однородное уравнение с частными производными по 2k независимым переменным р, д, в котором F есть неизвестная функция, F F) = Q. ( ) [c.242]

Для линейных уравнений в частных производных одним из очевидных приемов является применение метода сеток. Тогда уравнение в частных производных заменяется системой линейных алгебраических уравнений с числом неизвестных, зависящим от числа взятых точек. Основным препятствием здесь является недостаточный объем памяти существующих машин. Для нелинейных уравнений в частных производных применение метода сеток приводит, как правило, к непреодолимым трудностям. [c.165]

Предварительные замечания. Под упругими распределенными системами понимают упругие механические системы с непрерывно распределенными массой и жесткостью. Они имеют бесконечное число степеней свободы. В отличие от систем с сосредоточенными параметрами (с конечным числом степеней свободы п), динамическое поведение которых можно описать системой обыкновенных дифференциальных уравнений относительно обобщенных координат i/y (I) (/ = 1, 2,. .., а) (см. часть первую), поведение распределенных систем описывают дифференциальными уравнениями в частных производных относительно некоторых функций координат и времени. Распределенные упругие системы называют линейными, если они описываются линейными уравнениями в частных производных. При решении задач динамики для распределенных упругих систем, кроме начальных условий, требуется формулировка краевых условий. [c.135]

Составленные уравнения для потенциала и функции тока возмущений представляют линейные уравнения в частных производных второго порядка с постоянными коэффициентами. В такой приближенной линеаризованной постановке решение задач газовой динамики может быть выполнено сравнительно простыми приемами. В зависимости от того, является ли движение газа дозвуковым (Моо < 1) или сверхзвуковым (М > 1), уравнения (16) и (17) будут принадлежать к эллиптическому или гиперболическому типу. В первом случае (Моо < 1) уравнения можно сохранить в ранее указанной форме, во втором (Мсо >1) переписать в виде [c.215]

Таким образом, потребности развивающейся новой техники поставили уже в 40-х годах нашего столетия задачу об эффективных способах нахождения решений систем нелинейных уравнений с частными производными с учетом реальных свойств веществ и геометрии проектируемых изделий. Известные ранее аналитические методы решения отдельных типов линейных уравнений (создание их связано с именами Фурье, Адама ра, Римана, Лежандра и других известных математиков) и некоторых нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений (Пуанкаре, Ляпунов и другие) не могли дать решения поставленных задач. Численные же методы, которые также успешно при менялись для решения отдельных задач еще в прошлом веке (Гаусс, Леверье и другие), не могли быть эффективно реализованы до появления хороших счетных машин. Конец 40 х годов и все последующие десятилетия проходили под знаменем бурного прогресса средств вычислительной техники. Первое время рост возможностей электронно-вычислительных машин, в первую очередь их быстродействия и памяти, выдвинул тезис о том, что с помощью достаточно мощных ЭВМ, с использованием сугубо численных методов (прежде всего разностных методов и методов прямого статистического моделирования) можно эффективно получить решение практически всех возникающих в приложениях задач без детального, аккуратного в математическом смысле исследования свойств применяемых математических моделей. [c.13]

Предлагаются конструкции рядов по системам специальных базисных функций, содержащих произвольные функции одного аргумента, для представления решений задач Коши и смешанных задач Коши в случае нелинейных уравнений с частными производными от двух независимых переменных. Описаны системы базисных функций, позволяющие вычислять коэффициенты рядов рекуррентно из систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений для широкого класса исходных нелинейных уравнений. Приводятся примеры применения построенных рядов. [c.217]

Итак, задача устойчивости цилиндрической оболочки сформулирована как краевая задача на собственные значения для системы дифференциальных уравнений с частными производными (6.4.1) — (6.4.5) при краевых условиях (6.4.6) и условии 2л -периодичности решения по угловой координате. Наименьшее из собственных значений этой задачи определяет критическую интенсивность внешней нагрузки, а соответствующая ему собственная вектор-функция — форму потери устойчивости. Параметрические члены уравнений нейтрального равновесия (6.4.1) в общем случае переменны и определяются путем интегрирования линейной системы уравнений осесимметричного изгиба (6.2.14) при краевых условиях (6.2.9). В выражениях для элементов матриц А, В коэффициентов этой системы (см. параграф 6.2) следует выполнить упрощения, соответствующие принятым допущениям о тонкостенности и пологости оболочки, а вектор-столбец / для рассматриваемого ниже случая нагружения оболочки равномерно распределенным внешним давлением интенсивности Р следует взять в виде [c.185]

В результате возникает линейная краевая задача на собственные значения для системы дифференциальных уравнений с частными производными, к интегрированию которой сводится определение спектра свободных колебаний слоистой тонкостенной оболочки. Эта система включает в себя следующие группы зависимостей (считаем оболочку достаточно тонкой и пренебрегаем во всех уравнениях величинами порядка h/R по сравнению с 1) [c.244]

И В 2л -периодичности решения по угловой координате (р. Спектр бифуркационных нагрузок и соответствующих им форм потери устойчивости определяется путем интегрирования линейной однородной краевой задачи на собственные значения для данной системы дифференциальных уравнений с частными производными. Коэффициенты Т, Т, Т, dw/ds, dw/d

[c.257]

Аппарат, использованный в рассматриваемых далее работах, был подготовлен в значительной мере Пуассоном в его Мемуаре об интегрировании некоторых линейных уравнений в частных производных, в частности общего уравнения движения упругих жидкостей представленном Парижской академии наук в 1819 г. Пуассон начинаете замечания, что для уравнений в частных производных второго порядка и высших нет обш,их методов интегрирования поэтому он считает целесообразным изучать отдельные типы уравнений, встречающиеся в наиболее важных задачах механики и физики. В силу этого в первую очередь он начинает с интегрирования в общем виде волнового уравнения [c.273]

Так как / есть известная функция от х, у, z, р, то это есть линейное уравнение в частных производных относительно р, содержащее три независимых переменных х, у, г таким образом предложенная задача сводится к тому, чтобы найти для этого линейного уравнения с частными производными одно решение p — S> (х, у, z, а) с одной произвольной постоянной а. Го обстоятельство, что требуется знать только odno такое решение, было отмечено Лагранжем. [c.149]

Как видно из предыдущего, задача нахождения инвариантов и инвариантных семейств приводит к необходимости рашать линейные уравнения с частными производными [c.223]

Несколько иной способ упрощения задачи, уточняющий метод Стокса, принадлежит Озину [2] и заключается в том, что в уравнениях движения оставляются только важнейшие из инерционных членов, которые к тому же линеаризуются путем замены неизвестной скорости, стоящей множителем перед производной, ее характерным значением. При этом нелинейная система дифференциальных уравнений движения вязкой жидкости сводится к линейным уравнениям с частными производными первого и второго порядков. [c.238]

Многие изучаемые процессы (теплопроводность, диффузия, упругость, Электромагнетизм и др.) описываются линейными уравнениями с частными производными [21, 56, 208, 209, 249, 259, 260, 324, 353, 388, 413 и др.].10дним из наиболее эффективных методов решения краевых и начально краевых задач математической физики, описываемях линейными уравнениями с частными производными, является сведение их к интегральным уравнениям. Этот метод известен давно и называется методом потенциала [110, 205, 230], или методом граничных интегральных уравнений [237, 445]. Вначале он использовался в основном для теоретического исследования вопросов существования и [c.102]

Система уравнений (27.15) есть система шести почти линейных уравнений с частными производными первого порядка гиперболического типа с тремя независихмыми переменными Хь л 2,< с постоянными коэффициентами при производных. Теория этих уравнений изложена, например, в монографии Куранта и Гильберта [24] она является обобщением представленных кратко в п. 9 систем уравнений с большим числом независимых переменных, чем две. Соответствующий метод был применен в пространственных задачах динамики газов в работах [159, 160, 196, 198]. Этот метод был также применен в динамических задачах теории упругости в работах [161, 20, 195, 199, 182, 206—208. В динамических задачах теории пластичности этот метод применялся в работах [29, 173, 169, 116]. В волновых задачах теории вязкопластичности метод был использован в работах [5, 167, 181, 8, 9, 154—157, 217, 158]. [c.239]

Основные работы В. Г. Имшенецкого охватывают вопросы интегрирования уравнений с частными производными первого и второго порядков, а также интегрирование линейных дифференциальных уравнений высших порядков с одним независимым переменным. Предложенный им метод отделения переменных для интегрирования уравнений с частными производными первого порядка имеет тем большее значение для аналитической механики, что доведение задачи до конца вне рамок применения этого метода является счастливой случайностью. [c.346]

Имея п виду применить результаты произведенного в прошлой лекции исследования относительно совместных решений линейных уравнений в частных производных, к случаю, который вызвал ато исследование и о которым мы столкнулись при интегрированид уравнения в частных производных Н -- h, мы заменим сначала п- - независимых переменных ос , х ,. .. четным числом 2 переменных х , х ,. .. значки у которых будут начинаться не с О, а с 1, так что теперь выражения А if) и B f) будут определены равенствами [c.237]

Ео h—1 друг ог друга независимых линейных уравнений в частных производных с 2 — г переменными д , q ,. . . q , Р вообщ,е до- [c.263]

Привалов, Интегральные уравнения, ОНТИ, 1935 Ловитт, Линейные интегральные уравнения, ГТТИ, 1933 Г и л ь б ер т-К у р а н т, Методы математической физики ГТТИ, 1933 В е б с т е р-С е г е. Уравнения п частных производных, ч. I и II, ГТТИ, 1933 В и ар до. Интегральные уравнения, ГТТИ, 1933 Ф. Франк —Р. Мизес, Дифференциальные и интегральные урайнения математической физики, ОНТИ, 1937 Гурса, 1ос. си., Т. III. Горн, Введение в теорию диференциальных уравнений с частными производными, ГОНТИ, 1938. [c.248]

В данной главе рассматриваются свободные и вынужденные установившиеся гармонические колебания стержневых систем. Как и в статике, точные дифференциальные уравнения гармонических колебаний стержней являются нелинейными. Упрощая задачи динамики, нелинейные уравнения линеаризуют. Точность решений линейных уравнений удовлетворяют требованиям инженерных расчетов при //г > 10, поэтому они используются в инженерной практике. Линейные дифференциальные уравнения содержат частные производные по координате хи времени t. Методом Фурье разделения переменных уравнения с частными производными сводятся к уравнениям с обычными производными, описывающими перемещения стержня в амплитудном состоянии. Принцип Д Аламбера, используемый при выводе дифференциальных уравнений, позволяет рассматривать задачи динамики как задачи статики. Поэтому ниже применены предпоженные правила знаков для граничных параметров и нагрузки в п. 1.2, 1.4. [c.124]

Подавляющую часть физических процессов и явлений, которые происходят в сплош ных средах (жидких, твердых, газообразных, типа плазмы и др.), можно описать с помо щью систем дифференциальных уравнений или интегродифференциальных уравнений с частными производными. Такие уравнения — весьма сложный математический объект, особенно если они являются нелинейными, а именно учет нелинейных членов в урав нениях является зачастую решающим для описания очень важных эффектов механики сплошной среды. Надежное количественное описание таких эффектов является необхо димым элементом при проектировании самых различных машин и устройств, начиная от таких крупномасштабных объектов, как самолет, подводная лодка, ракета и кончая такими миниатюрными приборами, как интегральная схема, гибкий световод и т. п. Особенно существенно значение количественных характеристик явлений при оптимальном проек тировании конструкций, когда требуется добиться большей экономичности, дальности полета, минимального веса или улучшить другие аналогичные параметры. Так, например, проектирование летательных аппаратов, полет которых может проходить со скоростью, большей скорости звука, требует умения решать задачу об обтекании тела газовым пото ком в рамках нелинейных уравнений газовой динамики. Здесь в рамках линейных моделей не удается правильно описать эффект возрастания сопротивления при приближении ско зости полета к звуковой. Таких примеров можно было бы привести очень много. [c.13]

В большинстве практически важных случаев для описания докритического равновесного положения оболочки можно использовать линейные уравнения изгиба. При этом характеристики основного напряженно-деформированного состояния пропорциональны параметру нагрузок. Если же в уравнениях устойчивости сохраняются члены, которыми учитывается влияние перемещений и деформаций перед потерей устойчивости, то зависимость коэффициентов этих уравненй от параметра нагрузок в общем случае остается нелинейной. Эта зависимость становится линейной лишь тогда, когда пренебрегается как нелинейностью основного равновесного состояния, так и влиянием докритических деформаций. В этом случае решение задачи устойчивости сводится к определению собственных чисел и собственных элементов линейной однородной краевой задачи для системы дифферециальных уравнений с частными производными. Упрощенные уравнения такого типа позволяют выявить точки бифуркации и нашли широкое применение [c.61]

Рассмотрим задачу об устойчивости равновесия упругой слоистой анизотропной оболочки вращения, нагруженной осесимметричной системой внешних сил, интенсивности которых пропорциональны одному параметру. Докритическое равновесное состояние оболочки определяем на основе линеаризованных уравнений статики, а его устойчивость исследуем в рамках статической концепции Эйлера о разветвлении фop равновесия, позволяющей трактовать (см. параграф 3.3) задачу устойчивости как линейную краевую задачу на собственные значения для системы дифференциальных уравнений с частными производными. Решение этой задачи строим в форме тригонометрических рядов Фурье по угловой координате (см. параграф 3.6) с коэффициентами, зависящими от меридиональной координаты. Отделяя угловую координату и вводя 2х-мерный вектор j>(x) вариаций безразмерных кинематических и силовых характеристик напряженно-деформированного состояния оболочки (см. параграф 3.6), приходим к линейной краеюй задаче на собственные значения для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, которую запишем в векторной форме [c.205]

Этот результат Пуассона (обобщенный им в той же работе на другие виды линейных уравнений в частных производных второго порядка гиперболического типа с постоянными коэффициентами) был наиболее крупным достижением теории колебаний и волн, полученным после XVIII в. ведь даже Лагранж должен был признать (например, в Аналитической механике ), что у него нет подхода к интегрированию волнового уравнения в дву- и трехмерном случаях. Но в 1819 г. Пуассон не располагал еще общими уравнениями теории упругости и не искал применений своих математических результатов в этом направлении. [c.274]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...