ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Линейные уравнения с частными производными из "Основы теоретической механики Изд2 " Теорема. По заданному инфинитезимальному оператору U = = JliVidfdqi группа q =Q[q,p) восстанавливается (с точностью до замены параметра л) единственным образом. [c.216] Разложим групповую операцию 7(/i / + 5/ ) в ряд по степеням 5pi. 7(/ /X -f i/j) = 7(/ у) + r(/i)i/u +. .., где 7(/х /х) = О и Г(/Х) = 97(/Х1, /Х2)/9/Х2 при /XI = /Х и /Х2 = /X. [c.216] Так как /х в этом соотношении произвольно и оно (это соотношение) должно обращаться в тождество при подстановке в него q = Q q, fl), то это означает, что группа q = Q q, fJ ) может быть получена из этого соотношения, рассматриваемого как дифференциальное уравнение с начальным условием q f Q = q. [c.216] Правая часть его определяется лишь оператором группы. Решая его, мы восстанавливаем группу полностью с точностью до указанной замены параметра. Теорема доказана. [c.217] Замечание 1. Доказанная теорема означает, что между всеми одночленными группами в Д и всеми автономными обыкновенными дифференциальными уравнениями с аналитическими правыми частями существует взаимооднозначное соответствие (с точностью до несущественной замены параметра). [c.217] Замечание 2. Параметр г = Г(/1) /1 носит название канонического. Построение группы при помощи решения автономного дифференциального уравнения определяет эту группу автоматически через канонический параметр. [c.217] Выбирая любой оператор из алгебры Ли операторов группы, можно построить таким образом все ее однопараметрические подгруппы. [c.218] Найдем связь преобразованной функции Г [д, г) с исходной функцией Е д) и оператором группы II. [c.219] Указанная эквивалентность позволяет заменить изучение нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений часто более удобным изучением линейного уравнения первого порядка в частных производных. [c.220] инвариант группы играет роль константы для ее оператора. [c.221] Инвариантное семейство поверхностей. Если функция G[q) есть инвариант группы, то приравнивая ее произвольной постоянной G[q) = С, получаем семейство гиперповерхностей, каждая из которых преобразуется сама в себя. Иными словами любая такая гиперповерхность является инвариантной. [c.221] Представляет интерес несколько другая ситуация. Пусть задано некоторое семейство гиперповерхностей ш д) = С. Причем и д) инвариантом группы не является. Таким образом, преобразование группы изменяет каждую конкретную гиперповерхность семейства. Нас будет интересовать случай, когда при таком изменении они переходят в другие гиперповерхности того же семейства. Такое семейство называется инвариантным. [c.222] Пример. Семейство прямых, исходящих из начала координат в плоскости (дьдг)- 91/92 = С, является инвариантным семейством группы вращений. [c.222] В случае поиска инварианта уравнение однородное, т.е. п+1 = О-Если ищется инвариантное семейство, то уравнение неоднородное. [c.223] Доказательство следует из отмеченной в предыдущем параграфе эквивалентности уравнения Лиувилля соответствующей ему системе обыкновенных уравнений. [c.223] Приравнивая ее нулю и разрешая относительно и, и получаем решение исходного неоднородного уравнения. [c.224] Вернуться к основной статье