Решение уравнений при условии резонанса

Решение уравнений при условии резонанса [c.206]

Из рассмотрения этих условий нетрудно установить, что резонанс может наступить только в области неустойчивых решений уравнения, при тех значениях параметров а и q, при которых [c.201]

Заметим, что правая часть выражения (91) имеет ту же форму, что и уравнение (15), определяющее частоты главных колебаний. Поэтому знаменатель в формулах (92) обращается в нуль при р — k или р = 2- Совпадение частоты возмущающей силы с одной из частот свободных колебаний, как станет ясно ниже, сопровождается при отсутствии сил сопротивления неограниченным возрастанием амплитуд колебаний с течением времени — явлением резонанса. Отметим, что при р = kt (г—-= 1, 2) определитель системы уравнений (90) обращается в нуль, т. е. система не имеет решений относительно В и Бг. Поэтому частное решение системы дифференциальных уравнений (87) в условиях резонанса следует искать в форме, отлич- ой от (89). [c.585]

Если коэффициент а мало отличается от некоторого целого числа п, то при А ф О или О имеем резонанс, заключающийся в резком возрастании коэффициента а или Ьп. Если же а = п и хотя бы один из коэффициентов Ап или S не равен нулю, то периодического решения нет, так как в общем решении уравнения (10.13) появляется непериодическое слагаемое вида t an os nt -f Ь os nt). Отсюда следует, что при а = п периодическое решение уравнения (10.13) существует лишь в случае отсутствия в правой части членов Un os nt + sin nt, т. e. при выполнении условий [c.196]

Во-первых, резонанс силового происхождения представляет собой вынужденные колебания устойчивой системы, которые, в частности, могут иметь место и при нулевых начальных условиях. Параметрический резонанс — это проявление неустойчивости равновесного состояния, в силу чего система при нулевых начальных условиях остается в положении равновесия и только неизбежные начальные возмущения приводят к раскачке. Так, для системы, описываемой линейным дифференциальным уравнением второго порядка с периодическими коэффициентами, при параметрическом резонансе общее решение без учета диссипации имеет вид [c.245]

Очевидно, кривые, соединяющие те точки карты устойчивости, для которых выполняются условия резонанса, расположены в четных областях неустойчивых решений однородного уравнения, соответствующего уравнению (6.6). При этом характеристический показатель равен [c.201]

Общее решение уравнения (638) неизвестно, но на основании его и известных положений о квазигармонических колебаниях можем написать условия, при которых будет иметь место неуста-новившееся движение, связанное со значительными колебаниями и значительными динамическими нагрузками (параметрический резонанс). Параметрический резонанс будет иметь место при следующих отношениях средней частоты собственных колебаний ро к частоте изменения периодического члена в уравнении 2 [29] [c.275]

Для получения условий подавления субгармонических резонансов при действии возмущения частоты со необходимо найти коэффициенты Фурье периодического решения уравнении (6.9.14), имеющего частоту Я, = со/у, [c.443]

Таким образом, не существует границы между устойчивым и неустойчивым состояниями недемпфированной системы, а есть граница между нейтрально устойчивым и неустойчивым состояниями. Внутри области нейтральной устойчивости все корни располагаются на мнимой оси. На границе устойчивости четыре корня совпадают при положительной частоте и четыре — при отрицательной, а затем уходят с мнимой оси. Внутри области неустойчивости имеются четыре комплексных корня, соответствующие резонансным колебаниям опоры и низкочастотному качанию лопасти. Подстановка s = ш, где со — действительное число, определяет всю область нейтральной устойчивости, а не только границу флаттера. Наиболее простой путь определить границу устойчивости — это найти решение характеристического уравнения при s = ш. Область неустойчивости находится там, где невозможно получить все восемь корней уравнения при действительном (0. При несвязанном движении (5 — 0) корни определяются выражением s = ш, где м = 1, соу и Мх- Поскольку неустойчивость вызывается четырьмя корнями, она требует резонанса колебаний опоры и винта. При резонансе связь, создаваемая Sj, в некоторых условиях порождает неустойчивость. [c.618]

Уравнение может иметь несколько решений (на рис. II 1.5, я три решения), соответствующих нескольким колебательным режимам. Величина амплитуды, устанавливающаяся в действительности, зависит от начальных условий. Изменяя значение (о, можно найти зависимость Ф (и) — амплитудно-частотную характеристику системы. Величина амплитуды при субгармоническом резонансе [c.63]

Классическая теория магнитного резонанса. Частица движется в магнитном поле, индукцией B(t) = Во + Bp(t), Во = = (О, О, 6о), Вр = bp os uut, — sin uut, 0) f t), f t) = O, при t < O, t > т, f t) — Ib интервале O t r. Найти решение уравнений движения магнитного момента при условии uu = IIq, IIq = 760. [c.379]

При наличии внешних источников Jg система (2.14) уже неоднородна и имеет решения типа (2.2) при ш и й, не удовлетворяющих дисперсионному уравнению (2.10). Именно это обстоятельство, как отмечалось в п. 1.1, позволяет рассматривать ш и А в е у(о), к) в качестве независимых переменных. Если плотность Уед-Дш, к) отлична от нуля для ш и й, удовлетворяющих дисперсионному уравнению (2.10), то система (2.14) не имеет смысла. Это и понятно, поскольку такой случай отвечает строгому резонансу между внешним воздействием и нормальными колебаниями (волнами) в среде ). Полная ясность в отношении поведения среды при наличии резонансов может быть достигнута при исследовании задачи с начальными или граничными условиями, что и отвечает физической постановке вопроса (см., например, [7], 5). [c.56]

При решении задач, в которых требуется определить условие, обеспечивающее попадание материальной точки в резонанс, не следует интегрировать дифференциальное уравнение движения. Для этого достаточно, воспользовавшись составленным дифференциальны.м уравнением движения, определить круговые частоты свободных и вынужденных колебаний и приравнять их друг другу. [c.106]

Не выполняя решения системы уравнений (101), можно сделать выводы о влиянии линейного сопротивления на вынужденные колебания системы с двумя степенями свободы. Как и для случая системы с одной степенью свободы, вынужденные колебания являются незатухающими гармоническими колебаниями и происходят с частотой возмущающей силы. Они не зависят от начальных условий. При резонансе амплитуды вынужденных колебаний остаются постоянными в отличие от случая отсутствия сопротивления. [c.469]

Уравнение (37) может иметь несколько приближенных решений вида (40), наибольшее их число достигает 2У+ 1. Одно из этих решений соответствует малым колебаниям системы, при которых обеспечивается выполнение условий виброизоляции. Остальные решения носят резонансный характер, они соответствуют резонансу одной из гармоник вынуждающей силы, в каждом из этих решений одна из амплитуд Цд. преобладает над остальными Нормальное функционирование вибро-защитной системы обеспечивается только при исключении возможности возникновения любого из резонансных режимов, что достигается такими же способами, как и в случае гармонического воздействия (увеличение области линейности и усиление диссипации). [c.244]

Как отмечалось при рассмотрении задачи для конечного прямоугольника, нераспространяющиеся моды с комплексными постоянными распространения играют решающую роль в существовании явления краевого резонанса. Естественно, что рассмотрение полубесконечного волновода при различных условиях возбуждения должно доставить дополнительную важную информацию об этом явлении. Именно это привело к появлению ряда работ, в которых явление краевого резонанса изучалось в полубесконечных телах. Кроме работ [281, 282] плоский случай полубесконечного волновода подробно рассмотрен в работе [158] в связи с решением задачи об отражении первой распространяющейся моды от свободного торца. В работе [158] приведено упрощенное соотношение для определения частоты краевого резонанса. При этом используется лишь одна нераспространяющаяся мода, соответствующая наименьшему по модулю комплексному корню уравнения Рэлея — Лэмба. Данные, полученные из такого соотношения, находятся в хорошем согласии с результатами работы [281], полученными с учетом большего числа нераспространяющихся люд. [c.264]

Если удовлетворяются фазовые условия поперечного резонанса, при которых поверхностные волны после двух последовательных отражений повторяются в фазе, то они интерферируют сами с собой и распространяются в виде направленных мод волновода. Волновые решения для таких мод можно найти непосредственно из уравнений Максвелла [3.1—3.10]. Поле волноводных мод имеет зависимость по оси г в виде ехр( — j Z), где 3 — фазовая постоянная вдоль г (см. рис. 8.1), и по координате у распределение поля не меняется, т. е. д/ду = 0. При таких условиях уравнения Максвелла для поля вне источников будут иметь следующие составляющие. Из уравнения V ХЕ= [c.145]

Далее будет показано, что дробные резонансы высокого порядка при наличии рассеивания энергии яе реализуются, а получаемые здесь решения могут быть эффективно использованы только при достаточно больших значениях По, поэтому можно ограничиться значениями т З и по>2. При выполнении этих условии второй из сомножителей в уравнении (2.4.52) не равен нулю и, следовательно, равен нулю первый сомножитель. Последнее возможно при двух значениях фазы колебаний ф [c.159]

В случае же наличия осесимметричных упругих опор и при условии, что главные плоскости изгиба вала и инерции диска овпадают, применяя описание движения во вращающейся вместе с ротором системе координат, получим дифференциальные уравнения движения (11.50), в которых только [в отличие от (11.50)] в правых частях стоят не нули, а некоторые постоянные (так как проекции силы и момента от неуравновешенного грузика на вращающиеся вместе с валом оси координат будут постоянными). Отыскание частного решения, соответствующего таким правым частям, приводит нас к исследованию двух независимых систем уравнений вида (II.63а) и (11.636) эти системы уравнений ничем не отличаются по своей структуре от уравнений (III.36). Таким образом, для каждой из двух главных плоскостей изгиба вращающегося неосесимметричного ротора будет иметь место решение вида (III.42), содержащее два слагаемых, одно из которых при соответствующем резонансе обращается в бесконечность. Для формального нахождения этого решения, как и в случае осесимметричного ротора, можно, вводя фиктивные массовые моменты инерции диска [c.125]

Математической основой теории резонанса в сосредоточенных системах с периодически изменяющимися параметрами служит, по существу, известная теорема А.М. Ляпунова [3.49] о том, что любая система линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами может быть преобразована в систему линейных же уравнений с постоянными коэффициентами при помощи невырожденного линейного преобразования. Она позволяет в принципе перенести все известные результаты теории резонанса для систем с постоянными параметрами на системы с периодически изменяющимися параметрами. Для уравнений же в частных производных подобная теорема в общем случае не доказана. Однако, применительно к рассматриваемому классу систем, ее доказательство заключается в существов ании невырожденных инвариантных преобразований (3.6), сводящих решение волнового уравнения с условиями на движущихся границах к решению такого же уравнения с условиями на неподвижных границах [3.4Г. [c.114]

Оптические свойства газа свободных электронов впервые были сформулированы Друде еще в начале нашего века. Проблема состоит в решении уравнения движения свободного электрона, колеблюш егося в электрическом поле электромагнитной волны. Таким путем можно связать оптические свойства металла с его электрическими свойствами [27] ). Шульц [37] установил, что при характерных для металлов значениях концентрации электронов N и электропроводности а теория Друде применима лишь в области длин волн от 0,3 до 100 мк. В этой области х > ге, где лих соответственно действительная и мнимая части комплексного показателя преломления п, п = ге — гх, хД — таким образом, измеряя величну х, можно определить эффективную массу носителей (электронов). Однако циклотронный резонанс при подходящих условиях дает более надежные результаты. [c.112]

Фундаментальные результаты по устойчивости в критических случаях изложены в работе Г. В. Каменкова (1939). Здесь изложены результаты автора 1935—1936 гг., а также рассмотрен ряд новых случаев, в частности, случай одного нулевого и пары чисто мнимых корней характеристического уравнения, двух пар чисто мнимых корней при условии отсутствия резонанса и общий случай т нулевых корней с т группами решений, 2п чисто мнимых (при отсутствии резонанса) и д корней с отрицательными вещественными частями. Исследовались также аналогичные случаи для уравнений с периодическими коэффициентами. Здесь рассмотрен вопрос о возможности перехода от полной системы уравнений возмущенного движения к укороченной , содержащей лишь критические переменные, и показано, что такой переход всегда возможен в несущественно особенных случаях при суждении об асимптотической устойчивости или неустойчивости. В случае же неасимптотической устойчивости знак производной функции V может быть изменен членами порядка, большего N. Показано также, что критическая система с т-кратным нулевым корнем, которому отвечает т групп решений, и с2тг чисто мнимыми корнями при отсутствии резонанса преобразуется в новую систему уравнений с (иг + г)-кратным нулевым корнем, которому соответствует т п групп решений. Для систем с г-кратным нулевым корнем с п группами решений доказано, что для неустойчивости невозмущенного двин ения достаточно, чтобы хотя бы на одном вещественном нетривиальном решении системы уравнений [c.56]

Последние работы Каменкова (1966—1967) посвящены исследованию устойчивости периодических движений. Здесь доказана общая теорема о том, что задача об устойчивости периодических движений в случаях, несущественно особенных, всегда приводится к задаче об устойчивости равновесия. Анализируются различные случаи, которые могут при этом представиться. Если среди корней характеристического уравнения имеются по модулю равные единице и выполняются условия отсутствия резонанса в числах до порядка N включительно, то подсистема с 2р переменными, соответствующая этим корням, преобразуется в подсистему с р нулевыми корнями с р группами решений. Если же условия отсутстви я резонанса не выполняются, то каждой паре мнимых сопряженных корней соответствует в преобразованной системе два нулевых корня. Каменков (1967) обобщает свои ранее полученные результаты по принципу сведения на системы с периодическими коэффициентами, а также на системы с произвольными непрерывными и ограниченными коэффициентами. Разработанный Каменковым принцип сведения основан на существовании для укороченной системы функций Ляпунова или Четаева, вследствие чего [c.59]

Таким образом, при слабой нелинейности взаимодействие трех осцилляторов в системе с сосредоточенными параметрами или трех нормальных мод резонатора может быть эффективным лишь в случае, когда выполнено условие (17.2). Причем, если мы рассматриваем среду с дисперсионной характеристикой такой, как на рис. 17.16, в, то условие резонанса в этом случае должно быть выполнено не только для частот, но и для волновых чисел и>1 + Ш2 = з, к1 -Ь кг = кз [1]. Итак, для слабонелинейной консервативной системы с тремя степенями свободы исходные уравнения можно записать в виде (17.1). Воспользуемся для их решения асимптотическим методом (см. гл. 16), отыскивая решение в виде [c.352]

Проведенный выше анализ формы и величины сигналов резонанса при наличии низкочастотной модуляции был основан на использовании стационарных решений уравнений Блоха и неявно предполагал, что период модуляции 2я / й и тем более <свремена сканирования через линию весьма велики по сравнению с Г1 и На практике этому условию трудно удовлетворить. Если линия уширена вследствие неоднородности внешнего поля и имеет ширину АЯ, а модуляция и сканирование определяются законом Н = 4-/Гтп созй , то для описания формы и величины [c.89]

К задаче об условиях воз-никновени<][ основного субгармонического резонанса в системе с нелинейной инерционностью и нелинейной упругостью при параметрическом возбуждении гармонической силой в постановке, близкой к задаче, решенной В. В. Болотиным, вновь обратился Р. Грибош [40]. Применяя метод малого параметра и метод вариации постоянных, автор рассмотрел случай произвольной частоты возбуждения и исследовал устойчивость полученных в первом приближении уравнений. [c.10]

Дв жение поршня компрессора, осуществляющего расширение и сжатие воздуха, является заданным, оно определяется кине-матико кривошипно-шатунного механизма. Это позволяет наметить общий путь аналитического расчета составление уравнений движения, нахождение функциональной связи ме кду движением рабочего поршня и поршня компрессора, решение и анализ уравнений движения. Поскольку пневматический молот представляет собо11 колебательную систему, необходимо учитывать условия, при которых систе, ш находится в резонансе, так как это [c.404]

Такое возмущение тока нарушает азимутальную симметрию магнитного поля и приводит к резонансам магнитных линий. В случае цилиндрической симметрии одна винтовая мода приводит к образованию только одного резонанса, и конфигурация магнитного поля остается регулярной. Однако с учетом тороидальности появляются новые резонансы. Например, винтовая мода с / = 2 и я = 1 приводит к образованию одного резонанса второй гармоники на магнитной поверхности I = л. Тороидальность же добавляет к нему резонанс третьей гармоники при I = 2я/3. В токамаках обычно обе резонансные поверхности расположены в области, занятой плазмой. Структура магнитных поверхностей в этих условиях, полученная путем численного моделирования для стационарной винтовой моды, показана на рис. 6.26. В данном случае область стохастических магнитных линий оказалась незначительной. Однако если присутствует еще и винтовая мода с / = 2, и = 2, то область стохастичности резко увеличивается. Результаты численного моделирования эволюции двух этих мод путем решения самосогласованных уравнений для частиц и поля показаны на рис. 6.27 для четырех моментов времени. На первом кадре ясно видны резонансы с I = к и I = 21г/3. На втором кадре виден результат взаимодействия между резонансами — большая часть магнитных линий в в районе резонанса I = к стала стохастической. На третьем кадре стохастичность распространяется и на область резонанса I = 2л/3. И наконец, на четвертом кадре показана заключительная стадия эволюции, которая привела практически к полному разрушению магнитных поверхностей. Связанное с этим резкое изменение распределения тока по сечению камеры считается причиной неустойчивости срыва в токамаках. [c.404]

Оказывается, что лишь у весьма небольшого числа координатных систем волновое уравнение получается достаточно простым и позволяет получить решение в функции от одной координаты (из трёх систем, показанных на фиг. 58, только первая обладает этим свойством). Если система координат не обладает таким свойством, то скорости частиц не параллельны координатным линиям р., и волна имеет склонность больше отражаться от поверхности рупора, чем двигаться параллельно ей. Как мы видели в предыдущем параграфе и как увидим в следующей главе, любое отражение волны при распространении её вдоль трубы уменьшает количество энергии, выходящей наружу, и задерживает часть энергии внутри трубы, из-за чего возникают резонаасы на одних частотах и плохая передача на других. Для музыкальных инструментов, где желателен сильный резонанс, эти условия приемлемы. Но для рупоров громкоговорителей, где нужна однородная по частоте передача, они неприемлемы. [c.296]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...