Задача минимизации с ограничением

Специфика поставленной задачи оптимизации по сравнению с полученными ранее задачами минимизации с ограничениями [c.301]

Задача (Р) содержит в себе рассмотренные в 5.5 задачи минимизации с ограничениями, если положить [c.338]

Методы релаксации. Эти методы очень просты в программировании, однако обладают тем недостатком, что в задачах минимизации с ограничениями могут возникать точки блокировки. Приведем поэтому формулировку сразу для случая, когда никаких неприятностей не возникает. [c.341]

Задачи минимизации с ограничением на управление [c.330]

Замена задачи минимизации с ограничениями задачей [c.383]

Можно показать [11], что в достаточно широких предположениях о Рхх f), Рху Ц) задача минимизации без ограничений функционала вида М [г] (/)], а также задача решения уравнения вида (6) во многих естественных с практической точки зрения линейных метрических пространствах являются некорректно поставленными. Для уравнения вида (6), например, может быть нарушено условие непрерывной зависимости решения от вариаций (погрешностей) исходных данных в случае существования и единственности этого решения. Поэтому при использовании приближенных исходных данных, а также при применении цифровых вычислительных машин отыскивать хорошие приближения к точному решению обычными методами вычислительной математики часто не удается [11]. [c.69]

Методы условной оптимизации. Задачи условной оптимизации, заключающиеся в минимизации некоторого критерия оптимальности с ограничениями на область существования переменных проектирования, относятся к классу задач математического программирования. [c.290]

Двойственная задача имеет ряд особенностей по сравнению с исходной, называемой прямой. Если прямая задача требует максимизации целевой функции, то двойственная задача является задачей минимизации, и наоборот. Коэффициенты целевой функции прямой задачи а,,. .., Ор становятся правыми частями ограничений двойственной задачи, а правые части ограничений прямой задачи С],. .., с , — коэффициентами целевой функции двойственной задачи. [c.238]

Основным достоинством методов скользящего допуска является то, что независимо от выполнения условия (П.37), на каждом шаге решаются экстремальные задачи оптимизации без ограничений (минимизация T(Zh) или оптимизация //о(2д). Хотя методы преобразования задач с помощью множителей Лагранжа или штрафных функций также сводятся к оптимизации без ограничений, тем не менее поиск со скользящим допуском на ограничения приводит быстрее к цели. Эффективные алгоритмы поиска по методу скользящего допуска с использованием комплексов для определения направления движения описаны в [80]. [c.253]

Задача минимизации выпуклой функции G(n) при ограничениях (20.11) и (20.16) формулируется в наиболее удобном виде с помощью функции Лагранжа (см. (16.14)) [c.186]

Наиболее значительного сокращения числа неизвестных в многокомпонентной многофазной системе можно достичь, исключая из (22.9) все переменные. ....n. Такая возможность представляется благодаря особой, седловидной форме поверхности функции L(n, к) вблизи экстремума и ввиду очевидного термодинамического смысла множителей "к (см. (16.20)). Вычислительный процесс при этом организуется иначе вместо минимизации функции L в пространстве переменных п ведется поиск максимума этой функции по переменным к. Такую замену называют переходом от решения прямой задачи к решению сопряженной с ней двойственной задачи. В теории выпуклого программирования доказывают теоремы, позволяющие из формулировки прямой задачи по стандартным правилам составить соответствующую ей двойственную. В общем случае часть целевой функции двойственной задачи, от которой зависят координаты максимума, представляет собой функцию Лагранжа прямой задачи, а вместо ограничений л/< >>0 в прямой задаче выступают ограничения (22.10) в двойственной. Для рассмотренного выше частного примера из области линейного программирования двойственная к (22.2), (22.3) задача формулируется следующим образом найти максимум функции [c.188]

В этом и следующем параграфах будут рассмотрены краевые задачи механики деформируемого твердого тела, приводимые к минимизации функционалов с ограничениями в виде неравенств. [c.282]

Используя неравенство Корна (1.12), можно показать, что задача с ограничениями (при указанных условиях) свелась к задаче о минимизации функционала (1.3) при указанном выше условии на функцию и. [c.628]

Общий подход здесь, как, скажем, и в МКЭ, состоит в применении итерационных алгоритмов, с тем чтобы на каждом шаге нужно было строить решение соответствующей линейной задачи. Так, при решении задачи типа (а) на каждом шаге итерационного процесса сначала неизвестная граница считается условно заданной, затем строится решение линейной задачи для фиксированной области, находится невязка в граничных условиях и вычисляется поправка к форме неизвестной границы, после чего процесс повторяется. Как известно, подобного рода алгоритм достаточно эффективен (особенно в трехмерных задачах) лишь при применении специальных процедур выбора шага итерационного процесса. В связи с этим стоит обратить внимание на другую возможность решения задач с неизвестной границей. В ряде случаев исходную задачу можно привести к вариационной задаче минимизации функционала по границе (или по ее части) с ограничениями в форме равенств и неравенств или к решению вариационного неравенства [2]. В свою очередь подобные вариационные задачи сводятся к задачам математического программирования, численные методы решения которых хорошо разработаны (см., например, [3]). В качестве примеров применения такого подхода укажем работы [4, 5]. [c.7]

Отыскание посредством (iii) наилучшей верхней границы в этой упрощенной постановке сводится к минимизации правой части (63) с ограниченным (55), т. е. к выпуклой квадратичной задаче, аналогичной (32). [c.89]

Попытка перейти от вариационного неравенства (75) к задаче минимизации функционала наталкивается на проблему обеспечения не только потенциальности части оператора А, связанной с упругим потенциалом, но и на проблему ограничения внешних воздействий классом, при котором второе и третье слагаемые в левой части неравенства (75) в целом будут потенциальными операторами над полем перемещений и. В общем случае нетривиальной является также задача проверки условий теоремы о существовании и единственности (или неединственности) решения. По указанным причинам методы решения геометрически нелинейных контактных задач развивались применительно к вариационному неравенству (75) решения конкретных задач даны в работах [8,21,22] и некоторых других [9]. [c.108]

Нормальная задача о равновесии трещин-разрезов (полостей) конкретных форм с областями налегания рассматривалась в [13—15]. Области налегания определялись из условия непрерывности напряжений в окрестности их границ в построенном решении. Общее исследование пространственной нормальной задачи вариационными методами проведено в [11,16], где эта задача сведена к задаче минимизации квадратичного функционала с ограничениями. Вариационный подход в сочетании с модифицированным методом проекции градиента позволяет [16] строить численное решение задач при произвольной форме трещины (полости) в плане (и произвольном начальном раскрытии полости). [c.58]

Данная книга является результатом систематизации и развития материалов цикла статей, опубликованных авторами в отечественных и зарубежных изданиях, и серии докладов на Всероссийских и Международных симпозиумах. Если говорить об основных изложенных в ней результатах, то следует отметить следующие. Во-первых, найдены ограничения гидродинамического характера, в рамках которых возможно аналитическое исследование проблемы. Во-вторых, разработан метод решения задач обсуждаемого класса. В его основе лежит возможность сведения задачи минимизации работы управляющих сил и моментов к задаче минимизации работы сил сопротивления вязкой жидкости, что при указанных выше гидродинамических предположениях позволяет ограничиться во вспомогательной задаче лишь кинематическими связями. Дано строгое обоснование метода, основанное на наших подходах к проблеме умножения обобщенных функций. Наконец, примечательной чертой рассмотренного в книге класса мобильных манипуляционных роботов оказалось то, что на энергетически оптимальных перемещениях мощность сил сопротивления среды и ее производная по скорости движения носителя ММР оказались постоянными. Это дает возможность построить граничную задачу, которая с учетом указанных первых интегралов дифференциальной системы оптимальных движений позволяет численно моделировать особое многообразие — источник для расчета сингулярных оптимальных программных управлений и импульсных позиционных процедур, решающих задачу синтеза в условиях неопределенных возмущений среды. [c.7]

Равенство (4.1) должно выполняться в каждый момент времени из промежутка Следовательно, сформулированную задачу можно рассматривать как задачу минимизации функционала о (х( р)) с бесконечным числом ограничений (4.1) и (4.3). Поскольку эти ограничения типа равенств, то естественно попытаться применить принцип Лагранжа снятия ограничений. Именно можно составить функционал Лагранжа [c.36]

Эти исследования реализованы на базе вариационных методов и заключаются в построении и анализе вариационных неравенств, которые в контактных задачах без учета трения выражают принцип возможных перемещений Лагранжа. Установлено, что статические задачи геометрически линейной теории упругости эквивалентны задачам минимизации функционалов полной энергии с ограничениями в форме неравенств, которые, в свою очередь, решаются при помощи методов математического программирования и оптимального проектирования. [c.478]

Важный круг задач связан с минимизацией квадратичных функционалов вида (14.2) на движениях линейных систем (14.1), но при дополнительных ограничениях на управление и, например, [c.209]

Начнем с произвольного набора свободных коэффициентов. Уравнение параксиальных лучей решается с этими коэффициентами для каждого интервала, а соответствующий интеграл, аберраций оценивается численно. Естественно, с первой попытки коэффициент аберрации будет слишком высок, а ограничения вряд ли будут выполнены. Далее введем штраф, отражающий нарушение ограничений на объективную функцию, постро енную из интеграла аберраций. Эта сумма является функцией мишени N коэффициентов, которую мы пытаемся минимизировать. Таким образом, мы свели проблему к задаче минимизации. функции. [c.529]

В задачах нелинейного программирования функция цели и ограничения могут быть нелинейными. В одних задачах нелинейной является функция цели, в других — ограничения, а в третьих —и то и другое. Решение нелинейных задач сопряжено с большими трудностями, а процесс минимизации обычно не завершается за конечное число шагов. [c.15]

Задачи математической физики с односторонними ограничениями сводятся к вариационным неравенствам и задачам минимизации выпуклых функционалов. Поэтому приведем некоторые основные определения и результаты математического характера, которые используются при рассмотрении таких задач. [c.89]

П.6. Коррекция с ограниченной тягой двигателя. Рассмотренная импульсная коррекция межпланетной траектории КА отвечает идеализированному случаю использования двигателя с неограниченно большой тягой. Естественно возникает вопрос, как изменятся полученные рекомендации для оптимальной по расходу топлива стратегии проведения коррекции при использовании двигателя с ограниченной тягой. Такая задача исследована в работе [П.2] в обш ей постановке, когда допускается регулирование тяги двигателя от нуля до заданной максимальной величины при условии, что скорость истечения газов из сопла остается неизменной. Определяется оптимальный закон изменения вектора тяги по времени (т. е. величина и направление) из условия минимизации суммарных затрат топлива на коррекцию известных ошибок терминальных параметров движения. [c.434]

Решение задачи минимизации времени от входа в плотные слои атмосферы до выхода на ограничение (14.14) показало, что оптимальным управлением является программа одноразового переключения аэродинамического качества с -К иа +К . Точку переключения определяют с учетом начальных условий входа и величины допустимой максимальной перегрузки. После достижения максимума перегрузок необходимо мгновенно уменьшить эффективное значение качества для удержания СА на ограничении (14.14). В дальнейшем происходит увеличение [c.394]

Рассмотренный алгоритм обеспечивает решение задачи безусловной минимизации целевой функции. Однако, как уже отмечалось, при оптимизации АФАР область изменения варьируемых параметров часто бывает ограничена, что формально приводит к задаче условной минимизации (т. е. к задаче вида (7.1) с ограничениями [c.198]

В соответствии с критериальной функцией необходимо обеспечить минимальные значения р. Исходя из практического опыта изотермической штамповки, поставлена задача минимизации значений нормальных напряжений ап при некоторых предельно допустимых значениях поврежденности со < [со] и деформации смазочного слоя ео1 < [ 01]- При этом обеспечивается максимальная стойкость формообразующего инструмента при регламентированных значениях ресурса деформируемых изделий. Ограничение допустимой степени деформации смазочного слоя обусловлено необходимостью создания гидродинамического режима трения. [c.354]

Оказывается, вместо задачи (Р) можно рассмотреть целый класс новых задач, решив которые можно получить и решение этой задачи. Один из возможных методов преобразования задачи (Р) был определен и использован в 4.7 (преобразование Фрндрихса). Обобщением преобразования Фридрихса на случай задач минимизации с ограничениями является преобразование Юнга (Юнга —Фенхеля —Моро), которое сейчас и рассмотрим. [c.338]

Градиентные методы. Эти методы представляют собой обобщение на случай задачи минимизации с ограничениями идеи перехода от данного ирибли-жеиия к последующему по направлению наибыстрейшего убывания функции J (v) (будем считать, что каким-либо из методов функционал J (и) приближен [c.340]

Основной недостаток состоит в том, что вычисление дпскрет-ного решеиия ( , ф/,) требует рептения задачи минимизации с ограничениями, так как функции 6 и 6 изменяются не независимо одна от другой. Этот вопрос рассматривается в разд. 7.2 с тем, чтобы показать, как можно реншть такую задачу, используя метод двойственности. [c.371]

Условия, наложенные между элементами, всегда вызывают практические трудности, и это приводит к конструкциям метода множителей и гибридного метода. Например, Андерхегген [А9] предложил использовать для задачи четвертого порядка о пластине и обычного метода Ритца минимизации функционала потенциальной энергии I v) кубические полиномы, для которых наклон нормали обычно разрывался между элементами. Наложение ограничения на непрерывность наклона связывает с краем каждого элемента множитель Лагранжа и заменяет метод Ритца методом минимизации с ограничением. Требуемые изменения в программах очень просты. Однако матрица жесткости становится неопределенной и (из-за неизвестных на сторонах) вычислительное время для кубических функций оказывается сравнимым с обычным методом жесткости для редуцированных полиномов пятой степени, предложенных в разд. 1.9. [c.158]

Методы геометрического программирования базируются на использование неравенств, приспособленных к оценке нижних граней позиномов. Поэтому они особенно удобны для решения задач минимизации. Применение неравенств к минимизации позинома рассмотрим сначала для экстремальной задачи без ограничений. Пусть целевая функция На определяется выражениями (П.44) и (П.45). Оценку На снизу можно дать с помощью известного неравенства, согласно которому арифметическое среднее аддитивной функции с неотрицательными составляющими не превышает геометрического среднего. Это неравенство, называемое геометрическим, после определенных преобразований принимает следующий вид [c.256]

В этой задаче вариация массы стержня привела к системе дифференциальных уравнений, которая оказалась разрешимой аналитически. Интересным является то обстоятельство, что это же решение можно получить, варьируя действие, т. е. интеграл по времени, от разности кинетической и иотеициальной энергий [386. В 3T0iM случае, правда, нужно изменить формулировку задачи требуется найти такую функцию S x) для стержня заданной массы Л/с, которая дает максимальную первую собственную частоту колебаний со. Нетрудно убедиться, что эта задача эквивалентна рассмотренной выше задаче минимизации массы при заданной частоте. Действительно, любая функция S x), отличная от (7.70) и удовлетворяющая ограничению (7.61) с заданной величиной Me, будет давать частоту oi, меньшую частоты (о. Для доказательства можно допустить, что wi >> со. Тогда, чтобы получить частоту со, нужно изменить профиль всего стержня в а < 1 раз. А это эквивалентно тому, что частота со достигается стержнем с массой аМ , меньшей, чем (7.71), что невозможно, так как при заданной частоте она минимальна. Таким образом, форма стержня (7.70) дает из всех возможных форм наибольшую первую собственную частоту. [c.263]

В отличие от задач без трения, которые могут быть сведены к решению вариационных неравенств или к задаче минимизации выпуклого функционала на вьшуклом множестве ограничений, содержащем ограничения в виде неравенств, контактная задача с трением сводится к решению квазива-риационного неравенства. В работе [29] приведен итерационный процесс решения такого неравенства, а также дан алгоритм практического решения задачи, основанный на идее двойственности. Решение задачи проводится с помощью алгоритма типа Удзавы. На каждой итерации решается задача, эквивалентная обычной задаче теории упругости с граничными статическими условиями на Гк, причем последовательно уточняются как напряжения а , так и напряжения а . Для определения этих напряжений по данным предьщущей итерации применяются операторы ортогонального проектирования на множество Стр<0, Эти операторы имеют вид [c.152]

Один подход связан с выделением доминирующего активного ограничения. В практических задачах ограничения (9.15.2) обычно не равноакгавны. Опыт и интуиция проектировщика часто позволяют выделить основное доминирующее ограничение. Задача минимизации функционала (9.15.1) без ограничений [c.231]

На основании проведенных рассуждений, задачу оптимизации развивающихся СПРВ с учетом надежности можно сформулировать как задачу минимизации расчетных затрат при выполнении физико-технических условий, ограничений на диаметры и длины трубопроводов, которые вычисляются на основе узловых норм вероятностей безотказного снабжения и зависящих от них вероятностей безотказной работы участков сети в нормальных условиях эксплуатации и при особых условиях (сейсмические воздействия). [c.235]

После определения угловой скорости консоли требуемую ориентацию вектора перегрузки обеспечивают, управляя углами поворота карданова подвеса ценрифу-ги. Вообще говоря, для этого достаточно двух поворотов карданового подвеса. Для имитации перегрузок можно закрепить, например, вилку и найти требуемые углы поворота кольца и кабины. Однако во многих случаях такое решение приводит к очень большим изменениям углов поворота на шаге имитации, что вызывает большие паразитные угловые ускорения поворотов кольца и кабины, что может исказить картину имитации перегрузок. Поэтому алгоритмы имитации направления перегрузки используют все три угла поворота колец карданового подвеса, на каждом шаге решая задачу минимизации суммарного угла поворота подвеса. Эта задача сводится к задаче минимизации одномерной функции при наличии ограничений и тоже может быть с приемлемой точностью решена в реальном масштабе времени. [c.66]

Рассмотрим задачу минимизации машинного времени с учетом ограничений по скорости съема металла в конце цикла обработки изделия ( ри реализации алгоритма (4), получившего наиболее широкое распространение на современных внутришлифовальиых станках, с учетом различных способов построения дискретных контуров самонастройки. Эту задачу можно решить за счет дискретного изменения или времени чернового щлифования t = t T ), или скорости суппорта на этапе чистового шлифования Ус= ( 2(Гс), или времени задержки чистовой подачи /з = /з( с) при соответствующих вариациях постоянной времени системы СПИД. [c.192]

Подробно алгоритм решения рассматриваемых динамических контактных задач с односторонними ограничениями рассмотрим в следу ющей главе, где будет рассмотрен вопрос о его сходимости и разрешимости поставленной задачи. Как отмечалось выше алгоритм Удзавы состоит из двух частей, причем определяется только его вторая часть как оператор ортогонального проектирования на некоторое подпространство решений задачи. Например, для односторонней контактной задачи без трения на множество р 0. Что касается первой части алгоритма, т. е. задачи минимизации функционала без односторонних ограничений, то она не определена. Каждый исследователь сам должен определить, каким методом пользоваться при решении той или иной задачи. Для этой цели применяем метод граничных интегральных уравнений и его численную реализацию — метод граничных элементов. [c.101]

Задаче минимизации (9.46) при ограничениях (9.47) соответствует прямая программа. Неизвестные данной задачи—г, к и С. Минимизируемая функция /По(О является прямой функцией. Заменим прямую программу двойственной. В двойственной программе максимизируется двойственная функция У(6) при двойствен- [c.225]

Различные методы минимизации отличаются друг от друга способами выбора направления gW и шага и им посвящено большое количество работ, в том числе несколько монографий [0.6, 0.7]. Поэтому опишем только алгоритм и основные особенности одного из наиболее эффективных методов, а именно метода Дэвидона— Флетчера —Пауэлла (ДФП) [0.7]. Этот алгоритм в дальнейшем модифицируется, что позволяет использовать его для решения задач оптимизации с несвязанными ограничениями на варьируемые параметры, т. е. задач, часто встречающихся при параметрическом синтезе узлов АФАР. [c.194]

В качестве важной особенности ЭМУ как объекта оптимизации необходимо отметить большое количество ограничений как основных, так и вспомогательных. Это приводит к сложной конфигурации допустимой области изменения параметров, а также к существенным трудностям попада1ШЯ в нее, что в совокупности значительно усложняет поиск экстремума функции цели. При этом часто лучшим вариантам проекта соответствуют точки в пространстве параметров, лежащие на границе допустимой области. При этом задача оптимизации ЭМУ сводится к отысканию лишь условного зкстремума функции цели. Примеры такой ситуации показаны на рис. 5.15 и 5.16, где представлены области поиска соответственно при минимизации времени разгона асинхронного гиродвигателя с короткозамкнутой беличьей клеткой в пространстве параметров к(кратность максимального момента) и при оптимизации на максимум КПД (р) асинхронного конденсаторного микродвигателя [19] в пространстве параметров к — коэффициента трансформации и Хном номинального скольжения. [c.147]

Часто предварительное исследование практических задач проектирования ЭМУ позволяет упростить поиск оптимального управления и свести его к статической оптимизации. Рассмотрим такую возможность на примере задачи определения оптимального управления асинхронным двигателем (J =780 г M ,d =4,4 см, с =60000об/мин) в процессе разгона. Целью управления является минимизация времени разгона до номинальной частоты вращения П ом- При этом в качестве параметров управления используются значение и частота напряжения питания. Координатами состояния объекта являются частота вращения ротора I2 и ток статора /). При этом накладываются ограничения на значение напряжения ([/ <75 В) и тока статора (Ii < 2 А). [c.225]

Рассмотрена задача о минимизации перемещения верхнего Сечения колонны, возводимой с детерминированной или случайной скоростью. Изучены задачи ироектирования армированных балок при ограничениях по прочности или по жесткости. Задачи оптимального,""проектирования балок по жесткости исследованы в минимаксной и стохастической постановках. Далее решена задача об усилении полого вязкоупругого цилиндра многослойной обмоткой. Изучены оптимальные формы стареющих вязкоупругих тел при их простом нагружении. Для каждой из перечисленных задач оптимизации конструкций выведены соотношения, определяющие решение в общем случае, приведен их анализ и рассмотрен (численно или аналитически) вид оптимальных форм для конкретных ситуаций. Отметим, что модель неоднородно-стареющего упругоползучего тела служит, в частности, для адекватного отражения картины распределения возрастов материала. По этой причине функция, характеризующая процесс неоднородного старения в теле, может рассматриваться как управление. Выбор указанного управления может осуществляться, например, из условия оптимальности характеристик прочности и жесткости. Указанное обстоятельство является источником постановки ряда принципиально новых задач оптимизации конструкций. [c.10]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...