Умножение обобщенных функций

Данная книга является результатом систематизации и развития материалов цикла статей, опубликованных авторами в отечественных и зарубежных изданиях, и серии докладов на Всероссийских и Международных симпозиумах. Если говорить об основных изложенных в ней результатах, то следует отметить следующие. Во-первых, найдены ограничения гидродинамического характера, в рамках которых возможно аналитическое исследование проблемы. Во-вторых, разработан метод решения задач обсуждаемого класса. В его основе лежит возможность сведения задачи минимизации работы управляющих сил и моментов к задаче минимизации работы сил сопротивления вязкой жидкости, что при указанных выше гидродинамических предположениях позволяет ограничиться во вспомогательной задаче лишь кинематическими связями. Дано строгое обоснование метода, основанное на наших подходах к проблеме умножения обобщенных функций. Наконец, примечательной чертой рассмотренного в книге класса мобильных манипуляционных роботов оказалось то, что на энергетически оптимальных перемещениях мощность сил сопротивления среды и ее производная по скорости движения носителя ММР оказались постоянными. Это дает возможность построить граничную задачу, которая с учетом указанных первых интегралов дифференциальной системы оптимальных движений позволяет численно моделировать особое многообразие — источник для расчета сингулярных оптимальных программных управлений и импульсных позиционных процедур, решающих задачу синтеза в условиях неопределенных возмущений среды. [c.7]

Умножение обобщенных функций [c.202]

Умножение обобщенных функций 203 [c.203]

Умножение обобщенных функций 205 [c.205]

Изложенный подход распространен [46] на обобщенные функции многих переменных [41]. Речь идет об умножении обобщенных функций /(ж), же R , порядка сингулярности не выше 1 на функцию 1 х) с всего лишь обычным градиентом [c.205]

Умножение обобщенных функций 211 [c.211]

Рассмотрим вначале понятие сопряженного пространства, на основе, которого дальше определяются обобщенные функции. Предположим, что на некотором линейном нормированном пространстве Н определено множество всех линейных функционалов, значения которых принадлежат некоторому числовому пространству Е. В этом множестве функционалов можно ввести алгебраические операции сложения функционалов и умножения их на число, благодаря чему оно приобретает все свойства линейного банахова пространства. Такое множество обозначается Я+ и называется пространством, сопряженным с Н. Пространства Н, совпадающие со своими Я+, называются самосопряженными. Таковыми являются, например, пространства [c.219]

Для обобщенных функций как элементов пространства К+ определены операции сложения и умножения на числа. При этом в случае регулярных обобщенных функций (т. е. обычных функций на прямой) операции их сложения я умножения на числа как обобщенных функций совпадают с аналогичными операциями в обычном смысле. [c.220]

Если же (ц — 1и)1и = О для некоторого т, то gJ (ш) должна быть обобщенной функцией. Это происходит, когда и С(з). Мы должны тогда учитывать член с дельта-функцией, обращающийся в нуль при умножении на и — ьи. Если обозначить 8 (и—и ) = [c.209]

Здесь производная по времени скорости движения жидкости понимается в смысле теории обобщенных функций. Умножение слева обеих частей равенства (1.14) на транспонированный вектор скорости движения жидкости дает результат [c.47]

Другой операцией, которая определена для функций и естественно расширяется на обобщенные функции, является умножение на функцию (см. ссылку [1], гл. 5). Поставим целью определить для обобщенной функции Т и функции g [c.62]

Для получения оригинала решения можно воспользоваться обобщенной теоремой разложения. Теорема разложения справедлива для изображений, которые можно представить в виде отношения двух обобщенных полиномов Ф (5) ф (5), а также для отношения необобщенных полиномов, когда последние путем умножения или деления на х —( / <-1) приводятся к первым. При этом предполагается, что функция ф(5) имеет только простые корни и степень полинома в знаменателе на единицу больше степени полинома в числителе. [c.120]

Анализ выражений (1.10), (1.13), (1.14) показывает, что с механической точки зрения дельта-функция Дирака и ее производные должны трактоваться как обобщенная мера, равная нулю. В этом случае любая постоянная величина (сила, момент, бимомент и т.п.), умноженная на дельта-функцию Дирака и ее производные, должна быть равна нулю [c.14]

Легко показать, что оператор умножения на V ( ) является самосопряженным с чисто непрерывным спектром, состоящим как раз из тех значений, которые принимает функция V с) (в этом случае обобщенным собственным значениям X соответствуют обобщенные собственные функции б (X — V с))). Для степенных потенциалов при /г > 5 спектр простирается от vo до бесконечности, а при /г < 5 заполняет отрезок от vo до нуля при п = Ъ спектр [c.88]

Сделаем некоторое обобщение задач на нагревание тела в среде, температура которой есть функция времени. Пользуясь теоремой умножения изображений, можно доказать известную теорему Дюамеля. Для лучшего уяснения начнем с рассмотрения решения задачи для неограниченной пластины. [c.315]

Существует бесконечное множество наборов нормальных координат, в которых функция Лагранжа -мерной механической системы, совершающей свободные колебания, имеет вид (43.29). Действительно, все координаты, получаемые из-9 умножением на постоянный множитель, будут обладать тем же свойством. Поэтому удобно ввести такие нормальные координаты, в которых кинетическая энергия Т системы имеет при всех квадратах обобщенных скоростей одинаковые коэффициенты, равные 1/2. Обозначим эти нормальные координаты через Q [c.242]

Далее задача не предполагает 1саких-либо геометрических ограничений на управляющую силу. Как показывает опыт [6], [13] [21], 44] [49] в такой ситуации в составе оптимальной управляющей силы могут появиться импульсные составляющие. Тогда при вычислении мощности силы сопротивления жидкости возникает необходимость умножить разрывную скорость гаара на ее обобщенную производную, что связано с так называемой проблемой умножения обобщенных функций. Поэтому попытка регпить задачу 3.1 при помощи известных классических вариационных процедур некорректна. [c.59]

Известно, что обобщенное дифференцирование разрывной функции приводит к импульсам Дирака (об этом более подробно можно справиться в нриложении В). В результате в правой части соотношения (4.7) придется умножить разрывную угловую скорость на импульсное угловое ускорение, что весьма затруднительно, так как каждый момент разрыва угловой скорости сопровождается импульсом в угловом ускорении. Так, в задаче 4.1 возникнет известная проблема умножения обобщенных функций. В данной ситуации для преодоления этого затруднения используется подход, изложенный в приложении В, в рамках которого по определению полагается [c.72]

Если исключить краевые задачи и проблемы нелинейной оптики, в основе которых лежит электромагнитная теория, а также исследования по физике излучения, где используется квантовая теория и статистическая физика, то можно сказать, что главные разделы радиооптики базируются на операционном методе решения задач с помощью преобразования Фурье. Метод преобразования Фурье применяли уже Релей и Майкельсон на рубеже нашего века. Однако только современная теория распределений, или обобщенных функций, основанная на трудах Л. Шварца (1950—1951 гг.), может рассматриваться как универсальный инструмент, пригодный не только для анализа более или менее классических задач в теории образования изображения и в теории связи, но и для синтеза новых устройств и систем. Матричная формулировка образования изображения с помощью линз и зеркал существенно упростила математи еские методы расчета линз, особенно при использовании электронной вычислительной машины. Оптические аналоговые корреляторы и вычислительные устройства, созданные на основе новых математических обобщений, начинают дополнять превосходящие их нередко по сложности электронные вычислительные машины. В гл. 5 на нескольких примерах показано, как, пользуясь оптическими методами, можно осуществлять операции умножения и [c.16]

Если же и—т)1и = для некоторого Ш, то гг( ) нужно считать обобщенной функцией. Это имеет место при и 0 8). Мы должны тогда учитывать член с дельта-функцией, обращаю-идийся в нуль при умножении па и — т. Обозначая б(сс — [c.361]

Б. Определение и свойства обобщенных функций. Функционалом / (действительным или комплексным) на множестве Ф с элементами ср называется однозначное отображение f Ф R (или / Ф (7). Значение функционала на элементе ср будем записывать так (/, ср). Пусть Ф — липейпое пространство. Тогда функционал называется линейным, если для любых элементов ср, ф Е Фи любого числа а выполняются равенства (/, ср + ф) = (/, ср) -ь (/, ф) и (/, аср) = a f, ср). Множество таких функционалов обозначим через Ф Если на нем обычным образом ввести операции сложения (/ - - g, ср) = (/, ср) + (g, ср) и умножения на число Л (Л/, ср) = Л(/, ср), то оно само образует липейпое пространство и называется сопряженным с Ф пространством. [c.359]

Завалищин Станислав Тимофеевич, доктор физико-математиче-ских наук, профессор. Заведующий сектором нелинейного анализа Института математики и механики УрО РАН. Известный специалист в области управления движением систем с импульсной структурой. Разработал новый подход к построению общей теории линейных систем, опирающийся на аппарат обобщенных функций построил теорию аналитического конструирования импульсных регуляторов, основанную на новом понятии импульсного синтеза и импульсно-скользяще-го режима. Разработал теорию динамических систем с умножением импульсных воздействий на разрывные реализации функций фазовых координат. На этой основе исследовал класс нерегулярных задач оптимизации Лагранжа и решил ряд актуальных оптимизационных задач квантовой механики, динамики летательных аппаратов, механики космических полетов, имеющих оптимальные импульсные решения. Ряд из этих результатов нашел применение в опытно-конструкторских изысканиях по созданию новой техники. В последнее время развивал новое научное направление, связанное с энергетической оптимизацией движения тел и мобильных манипуляционных систем в вязкой среде. [c.223]

Каждая вершина графа, представляющего ИЛ-структуру, соответствует определенному оператору, причем все эти операторы, подвергнувшиеся преобразованию в процессе решения задачи выбора наборов операций, будут иметь такой вид, когда каждый из них соответствует либо одной операции умножения, либо одной операции обращения, либо нескольким параллельно выполняемым поэлементным операциям. Время, затрачиваемое на выполнение операции каждого из перечисленных типов, можно определить по одной из формул (2.1) - (2.12). Для применения той или иной формулы, кроме типа операции, необходимо знать упорядоченность, способ организации и объем каждого файла, содержащего показатели-операнды и результат, типы внешних устройств ЭВМ, в которых располагаются файлы, и объем ОЗУ. Формулы (2.1) - (2.12) имеют вид функций от объемов файлов и емкости ОЗУ, являющихся аргументами. Таким образом, вычисление времени выполнения определенного оператора заключается в выполнении некоторых логических и вычислительных операций определение объемов файлов, выбор расчетной формулы, исходя из типа операции в операторе, из соотношения объемов файлов с емкостью ОЗУ и из упорядоченности и способа организации файлов и, наконец, вычисление по формуле, Это позволяет пред -тавить алгоритм вычисления как некоторую обобщенную функцию от перечислявшихся здесь численных и логических величин. Примем, что при этих вычислениях расчет объемов файлов и выбор типов устройств ЭВМ производится на основании следующего предположения. Будем считать, что каждый показатель, заданный в ИЛС, помещается в отдельный файл. Длина записи каждого файла рассчитывается как произведение количества реквизитов показателя плюс единица на среднюю длину реквизита. Количество записей файла будем считать заданным и обозначим ш.. Будем считать, что для хранения файлов прямого доступа используются накопители на магнитных дисках. Для последовательных файлов используются магнитные ленты. Для результирующих (выходных) показателей — устройство пе- [c.85]

Как было указано в предыдущем параграфе, в квантовой механике задача о состоянии двух электронов в поле ядра ставится таким образом, что квадрат модуля собственной функции обобщенного уравнения Шредин-гера, умноженной на произведение элементов объема и должен давать вероятность обнаружения 1-го электрона в пределах объема dx , а 2-го электрона в пределах объема dx2- При этом необходимо иметь в виду, что с точки зрения квантовой механики одинаковые частицы неотличимы друг от друга состояние, в котором 1-й электрон находится в объеме dx , а 2-й — в объеме dx не отличимо от состояния, в котором 1-й электрон находится в объеме dx2, а 2-й — в объеме dx они оба представляют собой одно и то же состояние. [c.154]

Согласно (17.323), обобщенная координата (смещение груза) равняется би — смещению при силе (действующей на груз), равной единице, умноженному на величину силы. Последняя складывается из силы инерции и силы сопротивления (кулоново трение). Минус в выражении силы инерции имеется потому, что эта сила направлена противоположно ускорению q, а в выражении силы сопротивления — потому, что последняя направлена противоположно скорости. Символ sign обозначает функцию Кронекера (signum — знак). Запись sign коэффициент трения, mg — давление на плоскость, по которой перемещается груз, это давление равно силе тяжести груза, так как плоскость горизонтальна, fmg — сила кулонова трения. Учитывая, что 1/бц = с, где с — жесткость пружины, получим уравнение (17.323) в следующем виде [c.223]

Идея подхода, который излагается ниже, заключается в следующем. Пусть /( ) и д(-) некоторые распределения. Считая первое из них произвольным, но фиксированным, требуется определить некоторое отображение пространства V в себя такое, что сопряженное к нему и есть искомое обобщение. Как раз но этой схеме выгпе была определена операция умножения распределений на фиксированную гладкую функцию а(-), а именно, как операция. [c.199]

А. А. Дородницын (1962) обобщил метод с целью повышения его точности при сохранении числа полос N. Обобщение состоит в предварительном почленном умножении исходных уравнений на произвольные кусочнонепрерывные функции от у. [c.172]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...