Метод проекции градиента

Основной вариант метода проекции градиента ориентирован на задачи математического программирования с ограничениями типа равенств. [c.168]

Рис. 4.11. Траектория поиска в соответствии с методом проекции градиента Э - условный экстремум О, 1, 2,..., 7 - точки на траектории поиска

По отношению к задаче о минимуме функционала Ф (X) на множестве неотрицательных функций М итерационная схема (15.101) реализует метод проекции градиента [c.525]

Таким образом, контактная реакция (г 0) может быть интерпретирована как множитель Лагранжа (К 0) соответствующей энергетической постановки задачи, а схема простых итераций (15.84) метода обобщенной реакции— как метод проекции градиента в задаче о минимуме соответствующего функционала. [c.525]

Нормальная задача о равновесии трещин-разрезов (полостей) конкретных форм с областями налегания рассматривалась в [13—15]. Области налегания определялись из условия непрерывности напряжений в окрестности их границ в построенном решении. Общее исследование пространственной нормальной задачи вариационными методами проведено в [11,16], где эта задача сведена к задаче минимизации квадратичного функционала с ограничениями. Вариационный подход в сочетании с модифицированным методом проекции градиента позволяет [16] строить численное решение задач при произвольной форме трещины (полости) в плане (и произвольном начальном раскрытии полости). [c.58]

Для численного решения задачи минимизации целевого функционала используется метод проекции градиента. [c.517]

К настоящему времени разработан ряд специальных методов условной минимизации, которые учитывают ограничения области изменения варьируемых параметров. К ним относятся [0.6, 0.7, 11, 12] метод проекции градиента, метод возможных направлений, метод штраф- [c.198]

Система (4.20) содержит и + X алгебраических уравнений, где п - размерность пространства управляемых параметров, ее решение дает искомые координаты экстремальной точки и значения множителей Лагранжа. Однако при численном решении (4.20), что имеет место при использовании алгоритмических моделей, возникают те же трудности, что и в методе Ньютона. Поэтому в САПР основными методами решения ЗМП являются методы штрафных функций и проекции градиента. [c.167]

Следующий метод, называемый методом проекции вектора-градиента, непосредственно применяется к задачам с ограничениями [51]. Пусть требуется максимизировать целевую функцию F W) при наличии ограничений типа [c.158]

Метод проекции вектора-градиента является одним из наиболее эффективных методов решения задач нелинейного программирования. Этот метод позволяет двигаться к условному экстремуму вдоль границ области работоспособности по спрямленной траектории, не имеющей зигзагообразного характера, если, конечно, сама целевая функция не несет ярко выраженного гребневого характера. В противном случае сохраняются недостатки, присущие обычному градиентному методу. [c.159]

При постановке задачи по способу 1 исходная целевая функция может и не быть гребневой. Однако при сведении задачи поиска условного экстремума этой функции к поиску безусловного экстремума штрафной функции последняя также становится функцией, имеющей гребни на своей гиперповерхности отклика. Конечно, в способе 1 возможно и применение метода проекции вектора градиента. Однако эффективность поиска при этом обеспечивается, если целевая функция не будет гребневой. В большинстве случаев это может быть достигнуто только за счет необъективного отражения целей расчета в постановке задачи. [c.161]

Для решения задачи поиска максимума функции 20( У) при наличии ограничений типа равенств, описывающих гиперповерхность гребня, можно предложить метод, основанный на идеях метода проекции вектора-градиента. Описанию этого проекционного метода посвящаются следующие параграфы. Здесь же только отметим, что в рамках этого метода удается осуществлять шаги в направлении, являющемся локально наилучшим в гребневой ситуации. [c.194]

Поиск на втором этапе осуществляется в соответствии со стратегией метода проекции вектора-градиента и требует последовательного выполнения пар шагов. Первый шаг в каждой паре есть шаг в сторону гиперповерхности ограничений, т. е. в сторону гребня. Цель шага — попасть в возможно меньшую окрестность некоторой точки гребня Ша. Направлением шага у является нормаль к гиперповерхности гребня. Второй шаг есть шаг вдоль гребня в направлении проекции вектора-градиента функции на гиперповерхность гребня. [c.202]

При реализации метода проекции вектора-градиента приходится многократно решать систему линейных алгебраических уравнений вида [c.211]

Докажем теперь важное свойство коэффициентов Lik, называемое соотношениями взаимности Онсагера. Оно заключается в том, что матрица коэффициентов Lik симметрична, Lik = Lki (с некоторыми оговорками, которые будут сформулированы ниже). Для доказательства соотношений Онсагера уже недостаточно соображений феноменологической термодинамики и следует прибегнуть к микроскопической теории. Основная гипотеза, на которой базируется теория Онсагера, заключается в том, что макроскопическое слабо неравновесное состояние системы можно рассматривать с помощью методов статистической физики, рассматривая его как крупную флуктуацию. Иначе говоря, по гипотезе Онсагера градиенты температуры, плотности, проекций скорости и т. д., созданные в неравновесной макроскопической системе внешними воздействиями, подчиняются тем же статистическим законам, что и градиенты, возникающие благодаря флуктуации. [c.573]

При изучении различных случаев движения жидкости в анизотропных трещиноватых пластах-коллекторах могут быть встречены оба из рассмотренных методов измерения направленной проницаемости. Так, приток жидкости в скважину и интерференция скважин соответствуют тем условиям, когда направленная проницаемость измеряется проекцией вектора градиента давления на направление вектора скорости фильтрации [c.141]

Релаксационные методы решения задач математического програм чарования (экстремальных задач с огранишниями) отличаются тем, что при выборе направления спуска учитывается, что оно должно быть возможным в том смысле, что очередная точка Xk+i, вычисляемая в ходе реализации релаксационного процесса, должна принадлежать допустимой области G. Метод проекции градиента [36, 55, с. 204] и метод условного градиента [55, с. 210] применимы для задач минимизации на выпуклых множествах, при этом для задач выпуклого программирования существуют априорные оценки, метод возможных направлений [55, с, 214] хотя и проще реализуется, но не позволяет априорно оценить точность решения. [c.133]

Частным случаем применения метода проекции градиента являются задачи оптимизации с максиминным критерием. Действительно, для поиска экстремума функции минимума [c.170]

Как вы считаете, можно ли применять метод проекции градиента для решения задач оптимизации с ограничениями типа нера-венста [c.199]

Несмотря на ряд очевидных преимуществ, методы случайного поиска не исключают необходимости использования в процессе численной реализации оптимизационных задач регулярных поисковых процедур. Так, если с11тл <5 и свойства функций моделей оптимизации достаточно просты, регулярный поиск по сравнению со случайным оказывается более быстродействующим. Особенно в таких задачах, где градиенты функций могут быть вычислены по аналитическим выражениям. Таким образом, наиболее эффективным и универсальным средством численной реализации задач оптимизации несущих конструкций следует считать алгоритмы, которые рационально, т. е. с учетом особенностей и свойств решаемого класса задач, сочетают достоинства как случайных, так и регулярных методов поиска. Данный вывод является итогом обобщения практического опыта решения задач оптимизации несущих конструкций из композитов (см. заключительные главы книги). При решении указанных задач использованы алгоритмы, содержащие как регулярные поисковые процедуры (метод проекции градиента Розена, метод скользящего допуска и др.), так и методы случайного поиска (поиск по наилучшей пробе и метод статистических испытаний (Монте-Карло)). Отдельные задачи решены методами теории планирования многофакторных экспериментов. Все использованные методы достаточно хорошо известны и подробно обсуждены в тех публикациях, на которые сделаны соответствующие ссылки. [c.217]

Идеи метода проекции градиента находят применение также для решения задач математического программирования с ограничениями типа неравенств и для поиска максимина. В этих задачах гиперповерхность 1 (Х), на которую проектируется градиент, заранее не определена и выявляется в процессе поиска. В задаче с ограничениями типа неравенств гиперповерхность определяется системой уравнений ф1(Х)=0, ге/, где /—множество индексов нарушенных ограничений. При поиске максимина в систему уравнений, задающую гиперповерхность И7(Х), включаются уравнения вида (X)—5"(Х)=0, где (X) —запас работоспособности некоторого выходного параметра, причем включение осуществляется на й-м шаге поиска, если окажется 5 (Хй) <5 Хй 1), 5"(Х) —целевая функция. [c.76]

Существует также несколько приемов, позволяющих в процессе направленного поиска отстроиться от действия ограничений. К таким приемам относятся построение допустимого направления движения к экстремуму в каждой точке поиска (метод Зойтендейка), введение функций штрафа, организация зигзагообразного движения вдоль границы области Д поиск в направлении проекции градиента функции цели 164 [c.164]

В настоящей работе используется третий путь решения названной выше проблемы, т. е. в процессе оптимизации осуществляется постоянный учет ограничений [10, 12, 25—27]. В связи с этим остановимся подробнее на одном известном методе движения по границе области — методе Розена [И, 28]. Для его реализации необходимо, чтобы искомая точка, из которой начинается движение, оказалась некоторой граничной точкой области (что не всегда просто достигается на практике). Допустимым направлением движения, соответствующим наибольшей скорости убывания функции цели, является направление вектора, совпадающее с проекцией градиента целевой функции д31дХ 1) на соответствующую касательную плоскость, проведенную к одной из поверхностей ограничения/а (Х)(ае I,/"), либо 2) на пересечение гиперплоскостей, проведенных в этой точке ко всем поверхностям fp (X) = /р (р = 1, г), если среди направлений 1-го варианта не оказалось допустимых. Вычислительная схема метода для 2-го варианта довольно громоздка при этом решается система линейных алгебраических уравнений, которая может оказаться вырожденной в случае, если среди функций /р (X) (р = 1, г) найдутся несущественные. Кроме того, при движении из точки, находящейся на нелинейной поверхности ограничения, на шаг конечной длины в указанном направлении (1 или 2) следующая точка поиска может оказаться вне области Л. В этом случае возвратить точку на поверхность ограничения можно, применяя [c.19]

Алгоритмы решения максиминных задач, рассмотренные в предыдущей главе, не являются единственно возможными. В этих алгоритмах не используется понятие гребня функции минимума. В то же время гребни функции минимума, определение которых дается в данной главе, обладают специфической особенностью, заключающейся в том, что в процессе поиска становятся известными уравнения, описывающие гиперповерхность гребня. Использование этого обстоятельства позволяет с успехом применить для нахождения максимина идеи метода проекции вектора-градиента. Данная глава посвящается рассмотрению метода и реализующих его алгоритмов применительно к поиску экстремума функции минимума. [c.189]

Специфической особенностью функции минимума является возможность дать такое определение гребня, из которого непосредственно вытекает алгоритм нахождения точек гребня. Эта возможность обусловлена тем обстоятельством, что гиперповерхность гребня функции 10 является гиперповерхностью пересечения гиперповерхностей конфликтных запасов работоспособности, один из которых принят за целевую функцию. Уравнение гиперповерхности гребня можно рассматривать как ограничение типа равенства в постановке экстремальной задачи. Тогда, применяя для поиска такой метод, как метод проекции вектора-градиента, удается удерживать траекторию поиска в достаточно малой окрестности гребня. Другими словами, движение к экстремуму в гребневой ситуации будет происходить в локально наилучшем направлении. Именно эта особенность функции минимума обусловливает преимущество максиминного критерия с позиций эффективности поиска. [c.191]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...