Переход от дискретной системы к непрерывной

Переход от дискретной системы к непрерывной. В качестве примера применения такой процедуры рассмотрим задачу о продольных колебаниях бесконечно длинного упругого стержня. Дискретная система, аппроксимирующая этот стержень, состоит из бесконечного числа точек равной массы, отстоящих друг от друга на расстоянии а и связанных между собой невесомыми пружинами с жесткостью k (рис. 71). Мы будем предполагать, что эти точки могут двигаться только вдоль прямой, на которой они Лежат. Эту дискретную систему можно рассматривать кйк обобщение линейной трехатомной молекулы, исследованной в предыдущей главе. Поэтому мы можем воспользоваться обычным методом изучения малых колебаний. Обозначая отклонение t-й точки от положения равновесия через Цг, получаем выражение для кинетической энергии [c.377]

ПЕРЕХОД ОТ ДИСКРЕТНОЙ СИСТЕМЫ К НЕПРЕРЫВНОЙ 379 [c.379]

Этот простой пример хорошо иллюстрирует метод перехода от дискретной системы к непрерывной. Особенно важно правильно понять здесь роль координаты х, которая не является обобщенной координатой, а представляет непрерывный номер частицы, аналогичный дискретному номеру i. В дискретной системе каждому значению i соответствует определенная обобщенная координата т] . Здесь же каждому значению х соответствует обобщенная координата ii(x). Но так как т] зависит также и от t, то лучше писать не ti(x), а г х, i), указывая тем самым, что X и t можно рассматривать как параметры лагранжиана. [c.380]

Вместо этого мы обратим наше внимание на теорию колебаний непрерывных систем. Исторически переход от дискретных систем к непрерывным (осуществленный Рэлеем и другими) был сделан для исследования колебаний струн, мембран и балок. Другим примером непрерывной системы может служить одна или несколько величин, являющихся функциями х, у, z и t — другими словами, переменное поле. Поэтому, методы изучения непрерывных механических систем могут быть применены и к изучению полей, например к электромагнитному полю. В современной теоретической физике эти методы приобрели важное значение при квантовом исследовании полей элементарных частиц, обнаруженных в последнее время в большом количестве. [c.374]

Другая упрощенная модель, названная моделью тяго вого слоя , разрабатывалась Келлером [39] по предложению Ву [77]. Она основана на представлении, что дискретные силы для совокупности ресничек можно заменить эквивалентным непрерывным распределением нестационарной объемной силы по объему слоя ресничек при условии, что расстояние между соседними ресничками мало по сравнению с длиной ресничек U. Переход от дискретной силы к непре рывной основан на теории сопротивления, которая дает связь между истинной силой воздействия одиночной реснички на среду и ее скоростью относительно течения, производимого системой ресничек в целом. [c.90]

Дискретизируют непрерывные связи по контуру в соответствии с шагом сетки, аппроксимирующей рассматриваемую область. Таким образом, при переходе от заданной области к основной системе вместо кинематических связей на контуре будут действовать неизвестные усилия, число которых равно числу t снятых дискретных связей в дальнейшем будем обозначать эти усилия X i=, 2,. .., ). [c.114]

В самом деле, по определению Е (х) — градиент э. д. с., которая создает ток в трубопроводе и обусловлена возникшей неоднородностью трубопровода вдоль оси х вследствие неоднородной (локальной) деформации. Рассматривая такой деформированный трубопровод как многоэлектродную систему, составленную из последовательности электродов, отличающихся величиной степени деформации, замечаем, что э. д. с. в такой системе складывается из разностей начальных (до замыкания) потенциалов локальных электродов . Переходя от суммы дискретных величин к непрерывному распределению, получаем выражение (298). [c.211]

В самом деле, по определению Е х) — градиент э. д. с., которая создает ток в трубопроводе и обусловлена возникшей неоднородностью трубопровода вдоль оси л вследствие неоднородной (локальной) деформации. Рассматривая такой деформированный трубопровод как многоэлектродную систему, составленную из последовательности электродов, отличающихся величиной степени деформации, замечаем, что э. д. с. в такой системе складывается из разностей начальных (до замыкания) потенциалов локальных электродов Переходя от суммы дискретных величин к непрерывному распределению, получаем выражение (311). Вид функции Е (х) определяется физико-механическим состоянием металла в каждой точке, выражающимся величиной деформационного изменения стандартного потенциала (см. предыдущие главы). [c.208]

Квантовая статистика ставит математике и некоторые новые задачи так, обоснование своеобразных принципов статистических расчетов, лежащих в основе новых статистик Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака, потребовало математических рассуждений, принципиально (а не только по аналитическому аппарату) отличных от всех тех, с какими имела дело классическая статистическая механика. Тем не менее можно утверждать, что переход от классических систем к квантовым в основном не создал каких-либо существенно новых математических трудностей любой метод обоснования статистической механики классических систем в принципе может быть применен и к системам квантовым, требуя для достижения этой цели только расширения аналитического аппарата, которое может иногда вызвать небольшие трудности технического характера, но в принципиальном плане не создает новых математических задач там, где мы ранее оперировали интегралами, приходится иметь дело с конечными суммами или рядами, а непрерывные вероятностные распределения заменяются дискретными, для которых имеют место вполне аналогичные предельные теоремы. [c.8]

Приближенная замена дифференциальных уравнений системами конечно-разностных уравнений метода сеток означает переход от континуальной расчетной модели с непрерывным распределением материала к дискретной модели с концентрацией материала в отдельных точках, стержнях, сечениях. [c.66]

Энергия атомной системы не может изменяться непрерывно. Атомная система может обладать лишь определенным набором значений энергии, образующим дискретный ряд. Энергия атомной системы квантована. Каждое из возможных значений энергии относится к конкретному состоянию атомной системы. Переход от одного атомного состояния к другому совершается скачком. Возможные состояния атомной системы составляют дискретный набор атомных состояний. [c.67]

Особенность применения принципа эквивалентных непрерывных представлений к системам с запаздыванием по сравнению с дискретными системами состоит в том, что уравнение с учетом непрерывного представления составляется не для отдельных, поочередно выделяемых составляющих, а для низкочастотной части (IX.37) в целом. В справедливости такого подхода можно легко убедиться, выполнив для низкочастотной части структурные преобразования, показанные на рис. IX. 1, в обратном порядке, т. е. с переходом от схемы рис. IX.1, в к рис. IX.1, а, и заменив звено запаздывания приближенным представлением (IX.I). [c.348]

Связи, соединяющие отдельные стержни, могут быть как непрерывно распределенными по длине шва, так и сосредоточенными в отдельных точках длины стержня (дискретными). Часто сосредоточенные связи имеют одинаковую жесткость и расположены через одинаковые промежутки. В зтом случае при не очень малом числе отдельных связей можно распределить действие каждой связи на участке длины шва, относящемся к этой связи и считать стержень соединенным непрерывно распределенными связями. Получаемая при такого рода представлении о работе составного стержня незначительная неточность компенсируется упрощением решения вследствие возможности перехода от системы линейных алгебраических зфавнений, выражающих взаимодействие отдельных связей по длине одного и того же шва, к одному дифференциальному уравнению. [c.11]

К. Представление о сплошности тела неявно используется во всех ранних исследованиях, начиная с работ Л. да Винчи и Г. Галилея. Лишь в 1812 г. С. Пуассон (1781-1840) предложил модель пластины как системы частиц, распределенных в ее срединной плоскости. Позже подобные модели рассматривали Л. Навье (1785-1836), О. Коши (1789-1857) и некоторые другие ученые. Однако и они используют вместо суммирования по системе частиц операцию интегрирования, неявно переходя таким образом от системы частиц к непрерывной среде. Впервые, по-видимому, уравнения упругого деформирования тела без использования каких-либо дискретных моделей, а на основе пред- [c.11]

Как мы видели в гл. 15, исследование поведения динамической системы, описываемой дифференциальными уравнениями (см. 15.3), существенно упрощается, если от системы с непрерывным временем перейти к системе с дискретным временем. Такой переход осуществляется с помощью введения отображения секущей поверхности, разрезающей фазовый поток, в себя. При этом от дифференциальных уравнении мы переходим к разностным. Использование метода точечных отображении особенно удобно при анализе стохастического поведения динамических систем. Во-первых, как уже говорилось в гл. 15, эффективно понижается размерность фазового пространства и, кроме того, из процесса рассмотрения исключаются регулярные компоненты, не дающие стохастичности, но усложняющие описание — это, в частности, движение вдоль траектории, принадлежащей стохастическому множеству. Добавим, что для анализа стохастического поведения на основе отображений в математике развиты специальные методы — методы символической динамики [5, 6]. Их основная идея заключается в кодировании траектории последовательностью символов из некоторого набора, т. е. становятся дискретными не только моменты времени, в которые определяется состояние системы, но и сами состояния. [c.465]

Случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем называется марковским, если для любого времени t условные вероятности всех состояний системы в будущем зависят только от того, в каком состоянии система находится в настоящем, но не зависит от того, когда и каким образом она пришла в это состояние. Таким образом, в марковском процессе будущее зависит от прошлого через настоящее [9]. На практике достаточно часто встречаются процессы, которые с той или иной точностью можно отнести к марковским, что существенно упрощает их математическое описание. Переходы из состояния в состояние происходят под воздействием пуассоновских потоков событий (стационарных или нестационарных). [c.181]

Перейти от описания непрерывной системы в пространстве состояний к описанию дискретной системы в пространстве состояний Совершать обратный переход, [c.207]

Нетрудно видеть, что столь сложная кинематика и система управления обусловлены прежде всего дискретностью работы суппорта, рабочих шпинделей, поворотного стола и др. Существенное упрощение кинематики и конструкции механизмов управления возможно лишь при переходе к автоматам непрерывного действия, где доминирующими являются непрерывные перемещения исполнительных устройств по окружности, с минимальным количеством или даже при отсутствии дискретных элементов, требующих наличия соответствующих команд управления. В качестве примера на рис. Х-19 показана кинематическая схема вертикального автомата непрерывного действия КА-350 конструкции автора. Общий вид автомата был приведен выше на рис. 1Х-25. Привод главного движения автомата осуществляется от электродвигателя 7 (А02-81-4 N == 40 кВт). Движение через муфту 6 передается на первичный вал коробки скоростей, откуда через колеса 3, 4 я 5 на сменные колеса 8 скоростей. [c.293]

Пространственное фурье-преобразование полей. Переход (1.1.14) от непрерывного аргумента г к дискретному U делает счетным множество переменных, определяющих состояние рассматриваемой системы — электромагнитного поля внутри L , — и тем самым позволяет использовать рецепт квантования уравнений движения, описанный в 2.1. [c.81]

Система (7.2) — (7.8) соответствует случаю дискретного распределения частиц по размерам. При непрерывном распределении в системе (7.2) —(7.8) суммы должны быть заменены интегралами. Прежде чем переходить к анализу этой системы, приведем полу-эмпирические формулы, используемые для расчета коэффициента сопротивления и числа Нуссельта. Коэффициент сопротивления зависит от чисел Ке и М,з = 1 — Ш,в /а, где а = У КТ —скорость звука в газе, а число Нуссельта — еще и от числа Рг. При малых числах Рейнольдса (Ке < 0,1) коэффициент сопротивления определяется по классической формуле Стокса, а число Нуссельта равно 2. С увеличением чисел Ке и М необходимо учитывать влияние инерционности, сжимаемости и разреженности при обтекании частицы. Для диапазона чисел Ке = 0,1- 10 стандартная кривая сопротивления сферы в несжимаемой жидкости аппроксимируется, например, формулой [200] [c.294]

Глава 7 Нелинейные уравнения. Принцип подчинения , пожалуй, наиболее существенна для понимания возможности a юop-ганизации в различных системах (на принятом в книге уровне описания). Принцип подчинения, который иллюстрируется на многих примерах, описываемых как динамическими, так и стохастическими уравнениями, позволяет выделить при образовании (по мере изменения бифуркационного — управляющего — параметра) новых диссипативных структур величины, которые играют роль параметров порядка. Изложение начинается с очень простых примеров и завершается исследованием дискретных отображений со случайными источниками и стохастических дифференциальных уравнений. При этом переход от дискретного времени к непрерывному в стохастических уравнениях не является тривиальным. Надо про- [c.8]

Если конструкция содержит достаточно большое количество слоев, можно перейти от анализа устойчивости пакета как дискретной системы к уравнениям сплошной среды с приведенными упругими параметрами. Условия такого перехода в зависимости от количества слоев и граничных условий были проанализированы в упомянутой работе Р. Шепери и Д. Скала [249]. Путем сопоставления результатов расчета критических нагрузок многослойной колонны по дискретной и непрерывной моделям авторы пришли к выводу, что с приемлемой для технических приложений 6%-ной точностью использование континуальной теории возможно при числе резиновых слоев больше десяти для колонн с защемленными концами и более пяти для колонн с шарнирно опертыми концами. [c.223]

Пакет LADP [31. Кембриджский пакет анализа и проектирования линейных ( систем позволяет проектировать одномерные и многомерные системы с помощью классических частотных методов. К ним относятся методы, основанные на логарифмических частотных характеристиках, годографах Найквиста и Николса, корневых годографах, а также методы моделирования полученных линейных систем. Для многомерных систем используются метод характеристических годографов и метод годографов Найквиста. Робастность многомерных систем можно исследовать с помощью графиков вырожденных значений. В пакете предусмотрен ряд специальных команд, позволяющих пользователю переходить от описания, системы в пространстве состояний к преобразованию Лапласа и наоборот. Имеется возможность исследовать не только непрерывные, но и дискретные системы, строить графики на w-плоскости и переходить от описания дискретной системы в пространстве состояний к г-преобразованию. [c.196]

Такой непрерывный переход, например от системы с п степенями свободы к системе с /г/2 степенями свободы (п — четное), можно мысленно осуществить следующим образом. В нашей дискретной системе будем отделять от одних грузов (положим, с нечетными номерами) малые доли, имеющие массу Ат, и переносить их на грузы с четными номерами. Повторяя эту операцию переноса достаточно большое число раз, мы достигнем того, что массы нечетных грузов обратятся в нуль, массы четных станут равными 2т, а расстояния между ними — равными 2а. Этой систем с п12 степенями свободы свойственны п/2 нормальных колебаний с угловыми частотами, определяемыми выра-исением [c.698]

В такой постановке вопроса необходимо использование нового научного направления — синергетики, созданного Хакеным [13,14] и развиваемого применительно к анализу поведения металлов В. С. Ивановой [15,16]. Указанное научное направление изучает открытые системы, эволюция которых во времени происходит при непрерывном обмене энергией с окружающей средой в направлении уменьшения энтропии. Переходы от одних способов протекания процессов эволюции к другим реализуются дискретно в соответствии с j no-рядоченной иерархией процессов самоорганизации. Обмен энергии реализуется на разных мае- [c.21]

Имея разложения (38) — (39), вычисляем энергию деформации и кинетическую энергию для каждой отдельной ячейки. Последующее осреднение по ячейке дает среднюю энергию, полностью определяемую своим значением в центре волокна. После этого осуществляется завершающий этап перехода от системы дискретных ячеек к однородной континуальной модели, который состоит во введении полей кинематических и динамических переменных, непрерывных по всем координатам. Значения этих переменных на средних линиях волокон совпадают со значениями соответствующих параметров, вычисленными для системы дискретных ячеек. Следовательно, кинетическую энергию и энергию деформации, подсчитываемые так, как это описано выше, можно интерпретировать как плотности энергий для вновь введенной непрерывной и однородной среды. Плотность энергии деформации содержит не только члены, зависящие от эффективных модулей, но и члены, зависящие от некоторых констант, включающих характеристики как физических, так и геометрических свойств компонентов композита (т. е. от эффективных жесткостей ). Этим и объясняется название теории — теория эффективных жесткостей . Определяющие уравнения этой теории были получены при помощи принципа Гамильтона в совокупности с условиями непрерывности и с использованием множителей Лагранжа. Аналогичная теория для композитов, армированных упорядоченной системой прямоугольных волокон, была разработана Бартоломью и Торвиком [11]. [c.377]

Введение. Когда мы переходим от рассмотрения дискретной системы материальных точек к системе, образованной непрерывным или видимо непрерывным распределением материи, безразлично, будет ли она жидкою или твердою, нам нужен некоторый, физический постулат для обобщения законов движения, которые до сих пор были достаточны. В самом деле, эти законы являются вполке определенными только до тех пор, пока тела, к которым ояи относятся, можно рассматривать как математические точки. [c.136]

В численных расчетах осуществляется переход от непрерывных распределений параметров погока и других величин по пространству и процессов их изменения во времени к дискретным. Нестационарный вихревой слой на крыле и за ним моделируется системой дискретных вихрей, представляющих собой прямолинейные или кольцевые нити в зависимости от формы крыла (рис. 2.2). Непрерывный процесс изменения во времени граничных условий и аэродинамических нагрузок на несу[цей поверхности заменяется ступенчатым (рис. 2.3). Полагается, что граничные условия и нагрузки скачкообразно изменяются в некоторые расчетные моменты времени т = 0, (,- = О, 1,. ..), а в промежутках между данными моментами остаются неизменными и равными чначсния этих величин в начале каждого промежутка. [c.53]

В монографии [33] рассмотрен вопрос о переходе от непрерывной структуры ОПФ к дискретной, что очень важно для практики, так как изготовление дискретного ОПФ значительно легчСг Дифференцирование в системах с дискретными ОПФ осуществляется обычно с помощью многоканальных устройств, например мозаичных приемников излучения с различными весовыми коэффициентами в отдельных каналах. Простейшей схемой является схема с балансным (встречно включенным) соединением чувствительных площадок приемника. Для фона, спектр мощности которого ) 1/ р> при наличии центральной симметрии объекта необходимо создавать дискретный фильтр с центрально-симметричной структурой. Примером такого ОПФ является 7-элементная структура, в которой центральный элемент имеет весовой коэффициент [c.83]

Поскольку для описания реальных систем специалисты по управлению обычно используют нелинейные модели, в пакет IMPA T будут включены соответствующие структуры. С их помощью можно будет получать линеаризованные модели, используемые для проектирования соответствующих линейных регуляторов. Следующий этап состоит в моделированйи процессов в исходной нелинейной системе, управляемой спроектированным регулятором. Если результаты окажутся неудовлетворительными, процедура проектирования может быть повторена, возможно, с использованием иного критерия синтеза. В пакете IMPA T предусмотрены также несколько способов для перехода от линейного описания систем к нелинейному и наоборот. Он позволяет моделировать непрерывные и дискретные системы, а также импульсные системы, включающие в себя и те, и другие одновременно. [c.143]

Возможности программного обеспечения это интерактивная программа предназначена для анализа и проектирования линейных одномерных систем. Для описания линейных систем можно использовать семь различных способов. Для непрерывных систем это — передаточная функция Н (s), модель в пространстве состояния и частотные характеристики. Для дискретной системы это — дискретная передаточная функция Я (г), а также модель в пространстве состояния и частотные характеристики. Переходные характеристики можно использовать для описания как непрерывной, так и дискретной системы. Программа TRIP обеспечивает переход от одного описания системы к другому. Например, взяв за основу передаточную функцию Н (s), можно вычислить функцию Н (z), модель в переменных состояния, временные и частотные характеристики. Такие вычисления называются преобразованиями. Программа TRIP обеспечивает 35 таких преобразований. Кроне того, предусмотрены следующие операции вычисление оптимальной обратной связи по состоянию, вычисление корневого годографа, быстрое Фурье-преобразование, метод наименьших квадратов, фильтрация, подбор кривой по точкам, решение уравнений Риккати и Ляпунова, Вычисление годографа Найквиста, логарифмических частотных характеристик и некоторые другие. [c.317]

Возможности программного обеспечения пакет программ позволяет решать широкий диапазон задач анализа и проектирования систем управления, идентификации, параметрической оценки и моделирования. Могут б1 ть использованы различные формы представления системы, например модель в переменных состояния, многомерная передаточная функция в непрерывной или дискретной форме, матричная полиномиальная модель. В состав пакета включены программы, обеспечивающие переход от одной формы представления к другой. Программы анализа и проектирования основаны на временных и частотных методах. В пакет включена адаптивная программа, реализующая метод размещения полюсов и алгоритм обобщенной минимальной дисперсии. Классические методы анализа и проектирования для одномерных систем также включены в состав пакета. Программы идентификации и параметрической оценки предназначены для одномерных и многомерных, линейных и нелинейных моделей. В них реализованы такие методы, как метод максимального правдоподобия и расЩиренный фильтр Калмана. В программах моделирования использованы методы решения дифференциальных и разностных уравнений. Пользователь задает параметры модели с помощью подпрограмм, написанных на языке ФОРТРАН, затем они помещаются в файл данных, где легко могут быть изменены. Пакет содержит также программы для традиционных матричных операций и анализа случайных величин. [c.327]

В п. 2.8—2.9 обсуждались пути возникновения хаоса при эволюции динамических систем, описываемых функциями от времени (непрерывного или дискретного — первый случай сводится ко второму, если вместо всего фазового потока рассматривать создаваемое им отображение последования Пуанкаре некоторого трансверсального подмножества фазового пространства). В течениях жидкостей и газов такими функциями от времени являются значения их термогидродинамических характеристик в той или иной фиксированной точке пространства. Однако течения обладают также и пространственной структурой, которая у ламинарных течений упорядочена, а у турбулентных — хаотична, и возникновение хаотической эволюции во времени еще не означает возникновения пространственного хаоса, т. е. перехода к турбулентности. Так, например, стохастизация течения Лоренца, описываемого динамической системой (2.114), не меняет его упорядоченной пространственной структуры — конвективных роликов (2.113). [c.155]

Универсального критерия классичности системы не существует, его надо формулировать по отношению к каждому отдельному виду микроскопического движения. В этом параграфе мы рассмотрим наиболее характерный для многотельных систем вид этого движения — трансляционное движение N одинаковых частиц. Чтобы отвлечься от иных типов движения, положим, что система состоит из N материальных точек (тем самым мы автоматически исключим внутренние движения, которые в действительности происходят в молекулах, атомах и т. д. мы рассмотрим их отдельно в следующей главе). Если состояние системы задано с помощью волновой функции ф(гь. .., Гл ,/), то распределение плотности в координатном пространстве 1ф(г1,. .., гд , ) , соответствующее Л/-частичному квантовомеханическому состоянию, оказывается в общем случае непрерывным (рис. 138, а), в то время как в классической механике оно дискретно (набор N материальных точек в объеме V рис. 138, б). Переход к классическому описанию соответствует случаю (рис. 138,6), когда размазанное распределение 1-Ф12 распадается на частицы (или пакеты , сгустки и т. п.). Условие такого распадения — это не й- О, так как Я 1Х эрг/с — это константа, постоянная Планка, а требование [c.332]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...