Квантование уравнений движения

Пространственное фурье-преобразование полей. Переход (1.1.14) от непрерывного аргумента г к дискретному U делает счетным множество переменных, определяющих состояние рассматриваемой системы — электромагнитного поля внутри L , — и тем самым позволяет использовать рецепт квантования уравнений движения, описанный в 2.1. [c.81]

Возможны, однако, и другие обобщения классической механики, порождаемые более тонкой аналогией. Мы видели, что принцип Гамильтона дает возможность компактно и инвариантно сформулировать уравнения механического движения. Подобная возможность имеется, однако, не только в механике. Почти во всех областях физики можно сформулировать вариационные принципы, позволяющие получить уравнения движения , будь то уравнения Ньютона, уравнения Максвелла или уравнения Шредингера. Если подобные вариационные принципы положить в основу соответствующих областей физики, то все такие области будут обладать в известной степени структурной аналогией. И если результаты экспериментов указывают на необходимость изменения физического содержания той или иной теории, то эта аналогия часто показывает, как следует произвести подобные изменения в других областях. Так, например, эксперименты, выполненные в начале этого века, указали на то, что как электромагнитное излучение, так и элементарные частицы обладают квантовой природой. Однако методы квантования были сначала развиты для механики элементарных частиц, описываемой классическими уравнениями Лагранжа. Если электромагнитное поле описывать с помощью лагранжиана и вариационного принципа Гамильтона, то методами квантования элементарных частиц можно будет воспользоваться для построения квантовой электродинамики (см. 11.5). [c.60]

Скобки Пуассона не облегчают существенным образом решения уравнений движения системы, но, как будет видно, оказываются полезными при рассмотрении интегралов движения. Они приводят к математическому аппарату, который при некоторой несложной интерпретации является удобным путем для введения правил квантования в гейзенберговской формулировке квантовой механики. [c.106]

Интегралы, называемые действие , используются в двух направлениях для описания свойств движения и при составлении уравнений движения [51]. Интересна роль действия в теориях, граничащих с классической механикой. Например, в обосновании взаимоотношения классической и квантовой физики [54] действие используется как математический объект, позволяющий проводить квантование, а в перспективе — и вторичное квантование [106]. Понятие о действии является основой утверждений в форме принципов. [c.27]

Траектории действительного движения и варьированные траектории ( окольные пути ) сравниваются при одинаковых начальных и одинаковых конечных положениях (см. (26)) на фиксированном промежутке времени, что не позволяет считать обоснованным применение уравнений движения (27) (а также (29) и (31)), полученных с помощью интегрального принципа, для определения ускорений в моменты времени 0 и 1. В противном случае возникает вопрос являются ли условия фиксированности начального и конечного положений связями, из которых следуют уравнения (26) для виртуальных перемещений, и не требуется ли рассматривать их реализацию с помощью реакций Иначе говоря, является ли область интегрирования, в которой вычисляется действие, замкнутой или открытой При применении общего уравнения динамики (15) этот вопрос не возникает, так как виртуальные перемещения на концах временного промежутка могут быть любыми из множества, определяемого ограничениями, в том числе и не равными нулю. Однако в отличие от силовой механики , действие применяется и при рещении проблем квантования, связанных с проблемой краевых условий. Эти проблемы существуют в механике, математике и физике (вообще в естествознании). [c.32]

Мы получили квантовый аналог классического уравнения движения (349). Уравнение (353) описывает звуковую волну, которую можно рассматривать как квантованную, но на очень высоком уровне возбуждения. [c.314]

Весьма поучительно воспользоваться еще одним методом определения волновой функции основного состояния и элементарных возбуждений в приближении Хартри—Фока. Этот метод состоит в решении уравнений движения для операторов, определяющих одночастичные элементарные возбуждения в системе [10—14] ). Здесь пользуются только представлением вторичного квантования. Волновая функция основного состояния 4 0 считается известной и ищутся операторы (обозначим их, скажем, через Ок и Ок), которые создают или уничтожают элементарное возбуждение с импульсом йк. Эти операторы, [c.107]

Джейнс [36] дал изящное рассмотрение связи между полуклассическим подходом и строгой теорией с квантованными гармоническими осцилляторами. Классическое уравнение движения для -го гармонического осциллятора можно представить в виде [c.414]

Это решение уравнений движения не может, однако, описывать глобальную эволюцию периодической цепочки. Действительно, условия периодичности = д2п влекут за собой квантование волнового числа [c.321]

Для вывода уравнения состояния неидеального газа достаточно рассматривать поступательное движение его атомов, игнорируя все внутренние степени свободы. Поэтому квантование энергетических уровней несущественно, и мы перейдем к классическому описанию, заменяя кратность вырождения g (г, Ы) выражением [c.329]

Приведённые выше примеры имеют дело с чистыми состояниями. Далее мы обращаемся к системам, для описания которых необходима матрица плотности. Мы выводим уравнение для матрицы плотности для случаев затухания или усиления поля в полости. Это немедленно приводит к матрице плотности одноатомного мазера. Спонтанное излучение атома тоже может быть получено с помощью подхода, основанного на матрице плотности. Другая система, для которой необходим такой подход, происходит из области атомной оптики. Мы рассматриваем движение атома через квантованную стоячую волну. И вновь фазовое пространство обеспечивает более глубокое понимание процессов отклонения и фокусировки атомных пучков в электромагнитных полях. [c.49]

Период квантования определяют из условия устойчивого движения системы к равновесию он зависит от периода колебаний коромысла и приведенного коэффициента трения. При большом Тк движение системы к равновесию устойчиво, но время измерения завышено. При малом значении ту. возможна потеря устойчивости из-за ошибочного включения следующего разряда в область компенсации. Оптимальное время Ту. может быть найдено при исследовании колебаний весов. Известно, что колебания весов такого типа описываются следующим семейством неоднородных уравнений [38] [c.81]

Модель Джейнса-Каммингса-Пауля описывает взаимодействие двухуровневого атома с одной модой квантованного поля излучения. Динамика этой модели определяется уравнением Шрёдингера для вектора состояния объединённой системы, состоящей из атома и поля. Из-за перепутывания двух подсистем нельзя написать уравнение движения для вектора состояния одной из подсистем. [c.562]

Квантование уравгений движения. Пусть нам известны классические уравнения движения рассматриваемой системы. Например, классическая динамика одномерного линейного осциллятора определяется вторым законом Ньютона [c.44]

Менее традиционные применения связаны с вычислением коротковолнового приближения для собственных значений и собственных функций операторов Шредингера, Лапласа и Бельтрами — Лапласа [91]. Дальше для определенности будем говорить об операторе Шредингера. Формулы коротковолнового приближения позволяют по решениям уравнений движения классической механической системы строить приближенные решения уравнения Шредингера, описывающего поведение соответствующей квантовой системы. В частности, если классическая система имеет в фазовом пространстве инвариантный тор, удовлетворяющий арифметическим условиям квантования, то формулы коротковолнового приближения позволяют построить по этому тору асимптотику собственного значения оператора Шрёдингера и соответствующей почти-собственной функции . В близкой к интегрируемой системе есть много инвариантных торов, причем они образуют гладкое семейство (п. 2.2). Соответственно, вообще говоря, есть много торов, удовлетворяющих условиям квантования. Это позволяет приблизить большую часть спектра соответствующего оператора Шрёдингера. [c.213]

Р1,. .., Рп, то в шредингеровском представлении квантовой механики аналогичная система описывается уравнением Шредингера для волновой функции г1з( 1,. .., д , Рь . Рп, t). Установление соответствия между кваптовыми и классическими уравнениями на основе этого представления является затруднительным. Традиционным приемом в этом случае является рассмотрение квазиклассического приблиячепия, которое связывает волновую функцию с квазиклассическими траекториями. Однако эта связь является простой лишь для полностью интегрируемых систем, для которых осуществляется независимое квантование функций действия, соответствующих разделяющимся переменным, по правилам, отвечающим квантованию стационарных орбит по Бору — Зоммерфельду [247]. В случае - же систем, в которых в классическом пределе возможны стохастические движения, простого соответствия между стационарными волновыми функциями и классическими траекториями не существует. [c.384]

Получение недостающей информации осложняется негамильтоновым характером движения заряда в поле ММ. Для классических сред это не создает проблем, но квантовые среды уже нельзя описывать стандартным образом в уравнение Шредингера входят не напряженности полей, а потенциалы, теряющие смысл в присутствии ММ. Поэтому приходится существенно усложнять аппарат, вводя сингулярную струну в методе Дирака, расслоенные пространства в методе Ву-Янга и т.д. [3]. Однако практичность таких подходов далеко не очевидна из-за их сложности. Между тем существует указанная Бялыницкими-Бируля [4] возможность использовать в электродинамике ММ простую и наглядную формулировку квантовой механики Маделунга, где уравнение Шредингера заменяется гидродинамическими уравнениями, включающими особую квантовую силу и силу Лоренца. Обобщение такой схемы на случай ММ не вызывает трудностей, причем условие квантования заряда [c.233]

Квантование волчка Ковалевской также является вопросом, обсуждаемым уже с момента создания квантовой механики (Лапорте, 1933), но до сих пор в нем нет полной ясности [106, 258]. В работе [204] выписано уравнение Пикара-Фукса, возникающее при интегрировании случая Ковалевской. Первое представление Лакса для п-мерного случая Ковалевской, не содержащее спектрального параметра, было построено А. М. Переломовым [142]. Представление, содержащее спектральный параметр в общей постановке (при движении в двух однородных полях), предложено А. Г. Рейманом, М. А. Семеновым-Тян-Шанским [147]. Это обобщение случая Ковалевской до сих пор мало изучено (в частности, оно не проинтегрировано в квадратурах, отсутствует также топологический и качественный анализ). [c.132]

Важный частный случай — движение ч-цы в конечной области пр-ва. При таком финитном движении внутри нек-рой потенциальной ямы К. п. не может быть применимым везде это ясно хотя бы из того, что, доходя до стенки ямы, ч-ца (на языке классич. физики) на мгновение останавливается, т. е. р обращается в нуль, а следовательно, -> оо. Для окрестностей вблизи таких точек поворота нужно искать "ф на основе точного квантовомеханич. Шрёдингера уравнения, а затем потребовать, чтобы между и был непрерывный переход при приближении к точкам иоворота. Оказывается, что из требований этой непрерывности и однозначности я) без дополнит, предположений вытекают условия квантования Бора. [c.248]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...