Возможные разрывы в уравнениях движения

Возможные разрывы в уравнениях движения. 1 . Пусть 1/ — относительная скорость по отношению к телу В находящейся с ним в соприкосновении материальной точки т тела А. До тех пор, пока отлично от нуля, происходит скольжение. Если П 0, то имеют место качение и верчение тела А на теле В и тела В на теле А. Допустим, что в начальный момент /q скорость Vy = Q. Нужно узнать, будут ли в следующие моменты t оба тела катиться [c.107]

Возможность или невозможность возникновения волн в среде полночью определяется типом присущих ей функционалов состояния и От ( 11), которые в уравнениях движения и распространения тепла дифференцируются по координатам и времени. Но именно на поверхностях разрывов они могут терпеть разрывы, и потому дифференциальные уравнения должны пониматься в обобщенном смысле или заменяться интегральными. Это означает либо решение задачи МСС, т. е. дс(х, /), у(л , t), Т, р..., надо искать во всей области G в виде обобщенных функций, либо поверхности разрывов выделить из С/ и включить в состав поверхности 2, на которой записываются граничные условия , и тогда искать в получившейся области классические решения. [c.172]

В предыдущем параграфе оказалось возможным исследовать уравнение переноса количества движения независимо от уравнения переноса энергии. Однако в уравнение переноса энергии будут входить некоторые динамические члены, и поэтому уравнение энергии будет более сложным, чем уравнение (10) 5.7. Мы можем получить некоторое представление о влиянии разрыва температур на стенке на процесс переноса энергии, если рассмотрим очень медленное массовое движение, такое, что производными от м и г в уравнении (5) 5.7 можно было бы пренебречь. Тогда в безразмерной форме уравнение энергии будет иметь вид [c.240]

Для того чтобы выяснить картину движения механизма ири наличии разрывов, составим два уравнения, описывающих движение обеих частей механизма в промежутке между их соударением. Решив затем совместно эти уравнения, получим возможность определить амплитуды свободных и вынужденных колебаний обеих частей механизма, те средние положения, относительно которых они колеблются, скорости их соударения, количество энергии, расходуемой системой в процессе соударений, и т. д. [c.225]

В случае, когда плоскости Pi и Р2 начинают выдвигаться по произвольному закону, решение задачи можно искать в классе двойных волн. В работе [1] была решена задача о движении двух взаимно перпендикулярных поршней по произвольному закону в изотермическом газе в классе двойных волн. Там же была сформулирована задача Гурса для уравнения двойных волн для случая движения двух поршней в политропном газе. Однако решение только одной задачи Гурса не позволяет, вообще говоря, построить полную картину движения даже в случае простейших законов движения поршней. Это происходит из-за того, что области определения решения задачи Гурса, как правило, не совпадают с естественными областями определения течений ни в физическом пространстве х , Х2, t, ни в плоскости годографа и составляют лишь часть их. Необходимо поэтому ставить дополнительные задачи, чтобы заполнить всю область определения течения. Предлагаемая работа посвящена как раз постановке таких дополнительных задач и исследованию возможных конфигураций течений, возникающих вследствие специфического распада разрыва, когда поршни начинают двигаться с постоянными скоростями. Область течения при этом составляется из областей двойных автомодельных волн, простых волн и областей постоянного движения, причем задача Гурса и смешанные задачи для уравнения двойных волн решаются численно методом характеристик, пока уравнение двойных волн имеет гиперболический тип. [c.100]

Неочевидной представляется попытка применения основных идей конструирования степенных характеристических рядов для представления решений сильно нелинейных вырождающихся параболических уравнений, каким является уравнение Лейбензона [8]. Хотя для таких уравнений типичной является ситуация [9], когда фронт возмущения, порожденного каким-либо заданным краевым режимом, движется по области нулевого фона (нулевого давления для уравнения Лейбензона) с конечной скоростью, как и для гиперболического случая, тем не менее возможность применения степенных рядов для описания решения в возмущенной зоне является нетривиальной, т.к. параболические уравнения не являются уравнениями типа Коши-Ковалевской. Для линейного уравнения теплопроводности, например, ряды Тэйлора, как правило, расходятся. В отличие от гиперболических систем, для которых характерна независимость скорости движения поверхности слабого разрыва по заданному фону от вида краевого режима, для вырождающихся параболических уравнений скорость движения фронта возмущения целиком определяется заданным краевым режимом и может быть найдена только в процессе определения возмущенного решения. Тем не менее оказалось, что степенные ряды, особенно в специальном пространстве переменных (аналог временного годографа), позволяют эффективно строить поля давления в задаче о нестационарной фильтрации газа и находить закон движения фронта фильтрации в зависимости от краевого режима. [c.282]

При выводе уравнений этого параграфа мы предполагали гидродинамические элементы и их производные непрерывными. Пусть теперь есть поверхность Е, являющаяся поверхностью слабого разрыва, так что сами функции непрерывны всюду, но уже первые их производные по координатам н времени претерпевают при переходе через Е разрыв. Такого рода слабые разрывы возможны, как мы в дальнейшем увидим, для нестационарного движения и для широкого класса стационарных движений. Остановимся на этом вопросе детальнее. [c.21]

В конкретной задаче о движении газа дифференциальные уравнения (7.10) и соотношения (7.15) на возможных внутри области течения поверхностях разрыва параметров газа должны быть дополнены условиями, позволяющими выделить отыскиваемое движение из всей совокупности возможных движений. Как правило, эти условия вытекают из физической постановки задачи, и их формулировка не вызывает значительных трудностей. [c.141]

Сделаем некоторые замечания, связанные с полученным результатом. Если уравнения (1.70) описывают стационарное движение сплощной среды, то они должны иметь в качестве следствий законы сохранения массы, импульса, энергии и, возможно, другие законы сохранения, о чем шла речь в 1.1. Законам сохранения соответствуют первые интегралы рассматриваемой системы уравнений, позволяющие написать соответствующие соотнощения, связывающие и , uf и W. Очевидно, они должны содержаться среди соотношений (1.73). Однако, для их написания можно не обращаться к изучению структуры. Соотношения на разрывах, выражающие законы сохранения, не зависят от процессов внутри структуры (если эти процессы не противоречат законам сохранения) и, как правило, известны заранее. Их будем называть основными соотношениями на разрыве. [c.108]

Для такого изучения необходимо иметь возможность, используя соответствующие физические законы, рассчитать движения жидкости, охватывающие области с постепенно меняющимися параметрами, разделенные подвижными разрывами. К счастью, для таких движений соотношения, которые выполняются на разрыве, остаются в сущности такими же, как и в разд. 2.10. Даже если интенсивность ударной волны и скорость могут меняться со временем, законы, определяющие скорости изменения массы, количества движения и энергии для жидкости, пересекаемой единицей площади ударной волны в каждый момент времени, по-прежнему имеют вид уравнений (195), (196) и (198), при условии, что индексы О и 1 в этих уравнениях заменены индексами а и Ъ, отмечающими значения функций непосредственно перед ударной волной и за ней, и что в качестве скоростей ударной волны V и жидкости непосредственно за ней иь выбраны скорости в такой системе координат, в которой скорость жидкости и непосредственно перед ударной волной равна нулю таким образом, С/ и являются скоростями относительно движения жидкости непосредственно перед ударной волной. Из полученных уравнений можно опять вывести закон Гюгонио (199), который после этих изменений станет таким [c.206]

Зададим теперь вопрос, можно ли эту нелинейную теорию простых волн расширить настолько, чтобы она была применимой к случаям с неоднородными (в отсутствие возмущений) физическими характеристиками жидкости и переменным поперечным сечением, аналогичным случаям, проанализированным в рамках линейной теории в разд. 2.3—2.6. Ответ на этот вопрос для случаев, подобных тем из изученных в разд. 2.3—2.5, которые содержали разрывы проводимости, должен быть отрицательным фундаментальное свойство простой волны, с ее тождественным равенством нулю величины и — Р вдоль каждой С -характеристики (уравнение (168)), состоит в том, что отсутствует какое-либо распространение в отрицательном направлении X, сопровождающее волновое движение в положительном направлении х очевидно, это свойство исключает возможность появления отраженных волн, которые обязательно возникают (разд. 2.3) на любом разрыве проводимости. Однако эти рассуждения не распространяются на случаи с постепенно меняющейся проводимостью, в которых, как было показано в разд. 2.6, изменение, достаточно постепенное в масштабе длины волны, по [c.228]

Этим уравнением устанавливается тот факт, что время не меняется вдоль экстремали такого типа, тогда как параметр а изменяется, и это соответствует разрывам, природа которых будет исследована. Возможность представить разрывы, имеющие значение в технике, в виде регулярных экстремалей является еще одним специфическим преимуществом представления законов движения в параметрической форме. [c.753]

Ui( t — x), МЫ предлшагаем, что функции щ по крайней мере дважды дифференцируемы, в противном случае подстановка их в уравнения движения была бы бессмысленна. Первые производные от функций Ui по времени — это скорости. Напряжения выражаются через первые производные от перемещений по координатам. Эти первые производные должны быть непрерывны, следовательно, волны рассматриваемого типа не могут нести разрывов скоростей или разрывов напряжений. Для стержня мы сразу предположим, что на фронте волны скорость и деформация, а следовательно, напряжение, меняются скачком, и получим скорость фронта в этом предположении. Волны, несущие разрывы производных от перемещений, т. е. скоростей и напряжений, называются волнами сильного разрыва или ударными волнами. Возможность распространения ударных волн в неограниченной упругой среде со скоростями с, и Сг требует дополнительного обоснования. Для продольных волн сильного разрыва применение этого обоснования получается в результате буквального повторения анализа 2.10 для стержня. Совершенно аналогичные рассуждения, основанные на теореме о количестве движения, позволяют установить возможность распространения ударных волн искажения. Таким образом, уравнения движения упругой среды допускают решения, содержащие разрывы первых производных от перемещений. [c.441]

Составление уравнения характеристик для системы уравнений, состоягцей из трех уравнений движения, уравнения неразрывности, уравнения состояния и уравнения притока тепла, дает возможность в каждом из этих трех случаев определить уравнение поверхности разрыва и найти скорости перемегцения и распространения. Фридман и Тамаркин занимаются только последней задачей. Результаты, полученные ими, таковы в каждом из трех случаев возможен как стационарный, так и нестационарный разрыв, причем, как и следует ожидать, скорость перемегцения стационарных разрывов равна всегда проекции скорости движения среды на нормаль к поверхности разрыва. [c.222]

Свойство гладкости всех функций процесса как условие существования сплощной текучей среды накладывает ограничения на возможности использования такой модели процесса. Например, уравнения движения воздуха как сплощной среды в условиях внутренней или внещней задачи гидродинамики могут использоваться только до тех пор, пока не возникнет скачок уплотнения, т. е. пока гладкая функция, например, плотности, не станет разрывной. В то же время течение с разрывом хотя бы одной функции процесса щироко распространено в различных технических приложениях. К таким движениям можно отнести течение двухфазных сред в энергетике, запьшенный воздух, [c.35]

В главе 7 при всестороннем обсуждении решений волнового уравнения (1.1) мы обращаемся к двух- и трехмерным задачам. Пожалуй, в книге, посвященной распространению волн, необычно так долго откладывать этот вопрос и начинать со столь тщательного обсуждения нелинейных эффектов. Это следствие упорядочения, произведенного по числу измерешш, а не по сложности понятий или доступности математического аппарата. В главе 7 освещаются свойства решений уравнения (1.1), позволяющие судить о природе рассматриваемого волнового движения и дающие возможность обобщения на другие волновые системы. Главным примером служит геометрическая оптика, которая обобщается на линейные волны в неоднородной среде и является основой для аналогичных построений, связанных с распространением разрывов в нелинейных задачах. Мы даже не пытаемся дать хотя бы [c.14]

В ЭТОЙ главе рассматривается задача об обтекании затупленных тел равномерным сверхзвуковым потоком газа. В случае стационарного течения можно выделить три различные области однородный поток до отошедшей ударной волны, дозвуковое течение после ударной волны и сверхзвуковую область между телом и ударной волной. Возникаюндее течение математически описывается нелинейной системой уравнений в частных производных. В этом течении возможно появление неизвестных заранее границ, таких, как ударные волны, волны разрежения и сжатия, локальные дозвуковые зоны, контактные поверхности разрыва. Течение имеет различные физические и математические свойства. В разных областях уравнения движения меняют свои свойства. В дозвуковой области уравнения являются уравнениями эллиптического типа (Aid), а в сверхзвуковой — гиперболического (М>1). Переходная область является трансзвуковой (М 1). [c.196]

В соответствии с указанными условиями однозначности скорости фаз на входе в канал равны (коэффициент скольжения фаз фг, = = 1), слой не продувается и находится под действием сил предельного равновесия в плотном состоянии. Последнее означает, что твердый компонент достиг такой объемной концентрации, при которой все соседние частицы обязательно кон-тактируются друг с другом. Движение плотного слоя возникает за счет периодического нарушения предельного равновесия, приводящего к конечным деформациям сдвига без разрыва контактов. Однако согласно граничным условиям на стенке канала скорость частиц не падает до нуля. Так как для газовой среды (и)ст = 0, то Фг с,т= ( т/ )ст—>-оо. Наконец, условие ф1,= 1 на входе в канал не означает, как это обычно полагают, автоматического равенства скоростей фаз непродуваемого слоя по длине канала. Предварительные опыты показали, что при определенных условиях и в ядре движущегося слоя возможно небольшое проскальзывание фаз потока. Если пренебречь отмеченными смещениями скорости компонентов слоя, т. е. если положить фч,= 1, то v vi = v n-Если дополнительно принять, что концентрация (пороз-ность) движущегося плотного слоя неизменна (p = onst), то тогда взамен уравнения сплошности (1-30) приближенно получим [c.288]

До сих пор на распределение скорости не накладывалось никаких ограничений (кроме необходимости удовлетворения уравнения неразрывности), распределение завихрений обладает той же степенью свободы. Справедливо, следовательно, предположить, что как скорость может изменяться непрерывно (или даже прерывисто) в потоке, так и завихренность подчинена непрерывным (или прерывистым) изменениям по всей области, занятой потоком. Иногда наоборот поступательное движение жидкости ограничено, во всяком случае местами, до относительно узкого потока аналогично одна вихревая нить (подобно ядру смерча) может олицетворять единственную часть потока, которая заметно вращается. Так как завихренность выражается через градиен ты скорости, любое внезапное изменение в распределении скорости вызывает сгущение завихренности. Так называемые вихревые прослойки образуются в зонах разрыва скоростей, т. е. при взаимодействии потоков с разными скоростями. То, что возникает случайно при существовании таких условий, зависит, конечно, от характера напряжения, соответствующего характеру деформации, и будет рассматриваться в последующих главах этой книги. В настоящий момент просто обращается внимание на очень важное доказательство Гельмгольца (который также указывал на возможность отсутствия конца у вихревой трубки), что действие завихренности системы жидкости может измениться только если деформации, сопровождающей поток, оказывают сопротивление внутренние напряжения. [c.52]

Удобным методом, позволяющим учесть условие непротекания на поверхности тела произвольной геометрии, является метод присоединенных вихрей [Белоцерковский, Пишт, 1978]. Поскольку поверхность тела, обтекаемого невязкой жидкостью, является линией тангенциального разрыва скорости, то ее заменяют присоединенной вихревой пеленой, которую, в свою очередь, моделируют набором точечных вихрей. Само же условие непротекания ставится лишь в конечном числе контрольных точек, расположенных мелоду вихрями. Вопрос о способе размещения присоединенных вихрей и контрольных точек и о выборе их числа наиболее полно изучен в работах Д.Н. Горелова [1980, 1990]. В отличие от обычно применяемого равномерного размещения (см. С.М. Белоцерковский, М.И. Ништ [1978]), здесь предлагается находить положение контрольных точек из условия равенства в них скорости, индуцированной присоединенными вихрями, и скорости, индуцированной непрерьшным вихревым слоем, что позволяет существенно повысить точность определения циркуляций сходящих вихрей или увеличивать шаг интегрирования по времени. Общая точность расчетов зависит и от числа присоединенных вихрей. Его увеличение ограничено возможностями ЭВМ - приходится решать системы линейных уравнений с большим числом неизвестных. По этой причине возникает сложность в применении метода присоединенных вихрей в задачах о движении завихренных областей вблизи протяженных границ (около плоскости, в каначе и т. п.). [c.327]

Другой подход к решению смешанной задачи сверхзвукового обтекания тел дан С. К. Годуновым, А. В. Забродиным и Г. П. Прокоповым (1961). В этом методе установления решение смешанной задачи о стационарном обтекании тела находится как предел гиперболической задачи неустановившегося обтекания этого тела. На двумерные плоские и осесимметричные течения обобш ается метод решения задач о нестационарных одномерных движениях газа с разрывами, предложенный ранее С. К. Годуновым (1959). В методе установления уравнения плоского или осесимметричного неустановившегося движения в дивергентной форме записываются в виде интегралов по поверхности в трехмерном пространстве координат и времени. Такая форма записи в виде законов сохранения обеспечивает возможность рассмотрения течений со скачками уплотнения и другими разрывами. Далее в этом пространстве с учетом формы обтекаемого тела выбирается сетка и интегралы записываются в виде соответствующих сумм подынтегральных выражений в узлах этой сетки. Система координат не предполагается фиксированной. Интегралы, записанные для отдельной ячейки сетки, используются затем для получения разностных уравнений в подвижной координатной системе, причем в течение каждого шага по времени значения газодинамических величин на каждой границе ячейки считаются неизменными. Эта система конечноразностных уравнений, полученная из интегральных законов сохранения, служит аппроксимирующей системой для точных дифференциальных уравнений. [c.178]

В каждый момент распространения волны выбор между различными возможными положениями разрыва внутри этого пространственного интервала можно сделать на основании уравнений ударной волны, которые были выведены с помощью законов сохранения (баланса массы, количества движения и энергии), примененных к жидкости, пересекаемой разрывом. Естественная, но трудоемкая процедура, 1<оторая раньше представлялась единственно возможной,— это использовать выражение вроде [c.210]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...