Определение понятия устойчивости движения

Определение понятия устойчивости движения [c.324]

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОНЯТИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ [c.325]

Понятие устойчивости движения является в теории нелинейных колебаний одним из основных понятий, поэтому остановимся на нем подробнее. Среди многих определений устойчивости наиболее известны устойчивость по Ляпунову и орбитная устойчивость. В отношении состояния равновесия эти определения совпадают и состоят в следующем. Состояние равновесия х = х называется устойчивым, если для любого числа е > О можно указать настолько малое число б (е), что для любого другого движения х = = X (i) с начальными условиями, отличающимися от х менее чем на б, при всех последующих значениях i выполняется неравенство [c.13]

Определение понятия устойчивости равновесия связано с рассмотрением тех движений, которые система станет совершать, будучи выведена из положения равновесия путем сообщения ее точкам весьма малых начальных отклонений от положения равновесия и весьма малых нача и>ных скоростей. Если после нарушения равновесия система в своем последующем движении будет весьма мало отклоняться от исследуемого равновесного положения, то такое положение равновесия называете устойчивым. [c.336]

Устойчивость является одним из свойств движения. Этим свойством обладает не всякое движение. Вместе с тем выяснение наличия устойчивости у движущейся системы имеет огромное практическое значение. Вследствие этого возникла специальная теория устойчивости, одним из создателей которой явился А. М. Ляпунов, он же дал и первое строгое определение самого понятия устойчивости движения. [c.70]

Помимо самого факта существования периодических движений нас всегда должен интересовать вопрос, устойчивы ли эти движения. Поэтому при рассмотрении периодических движений мы должны строго сформулировать понятие устойчивости движения, подобно тому как мы сформулировали понятие об устойчивости положений равновесия. Мы примем определение устойчивости движения, данное Ляпуновым и вполне соответствующее обычному определению устойчивости состояний равновесия, приведенному в гл. I, 3. [c.149]

Исследования А. М. Ляпунова относятся к постановке и рассмотрению общей задачи устойчивости движения, определяемого системой дифференциальных уравнений. В своей знаменитой докторской диссертации, опубликованной впервые в 1892 году, Ляпунов (1] дал строгое определение понятия устойчивости, указал случаи, когда вопрос об устойчивости решается по первому приближению, а также рассмотрел особые случаи, когда по первому приближению об устойчивости судить невозможно. [c.6]

Устойчивость есть свойство процессов движения и равновесия систем, в том числе медленных процессов типа ползучести. Под устойчивостью понимают их способность сохранять состояние равновесия или процесса движения во времени t под действием малых возмущений. Под неустойчивостью понимают способность систем при действии весьма малых возмущений получать большие перемещения. Понятие устойчивости, его определение и критерий должны быть неотделимы от практического представления о потере устойчивости конструкций и их элементов как о катастрофическом развитии их деформаций и перемещений. [c.318]

Изучая работы по теории устойчивости движения, принадлежащие различным ученым, можно прийти к выводу, что смысл понятия об устойчивости движения в этих работах был различным. Остановимся на рассмотрении некоторых из этих определений. [c.324]

Позже А. Пуанкаре дал этому определению наименование устойчивости в смысле Пуассона ). К этой же группе определений смысла понятия об устойчивости движения принадлежат определения Томсона и Тета, Якоби и некоторые другие. Эти определения здесь не приводятся ). [c.325]

Ясно, что определения устойчивости движения по Рауту и Н. Е, Жуковскому — различны. Движение может быть неустойчивым в смысле Раута и устойчивым по определению Н. Е. Жуковского. Одним из недостатков определений устойчивости движения, принадлежащих Рауту и Н. Е. Жуковскому, является нечеткость понятия о малости возмущений. Другой недочет этих определений отметим ниже. [c.325]

Определения устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости допускают, как мы увидим, распространение на случай, когда m > 2. Позже (в 23.7) будет произведено также обобщение понятия устойчивости на случай движения механической системы, когда вместо вырожденных траекторий, состоящих из изолированных равновесных точек, рассматриваются собственно траектории. (Один частный пример на исследование устойчивости двия ения был приведен в 9.6.) [c.371]

В связи с тем, что в статье будут рассматриваться вопросы, связанные с устойчивостью балансировки, целесообразно вкратце остановиться на самом понятии устойчивость , которое в самом широком смысле характеризует соотношение между возмущающими воздействиями и вытекающими последствиями. Невозмущенное движение (или равновесие) называется устойчивым, если, уменьшая начальные возмущения, можно сделать отклонения, вызванные ими, меньше любых наперед заданных [1, 2]. Это определение, являясь общим, не является математически строгим. Если же конкретизировать эти возмущения и отклонения, то можно получить различные частные определения устойчивости. [c.55]

После докторской диссертации Н. Е. Жуковского О прочности движения (1882) и статьи А. М. Ляпунова Об устойчивости движения в одном частном случае задачи трех тел (1889) орбитальной устойчивостью впервые у нас занялся В. В. Степанов, который ввел, в частности, важное понятие сплошной орбитальной устойчивости в смысле Якоби Н. Д. Моисеев в значительной мере опирался на это определение в своих исследованиях но ограниченной задаче трех тел. Ряд работ по теории устойчивости в проблемах небесной механики дал Г. Н. Дубошин. Этими же проблемами занимались Н. Ф. Рейн и др. В монографии Г. Н. Дубошина указанное направление отражено достаточно полно. [c.131]

После небольшого размышления можно видеть, что большая часть неясностей в этом вопросе обусловлена тем, что не существует достаточно строгого математического определения для понятия устойчивость . Возникает в еще большей степени та же трудность, если перейти к вопросу об устойчивости движения. Определения, предложенные различными авторами, были подвергнуты критическому разбору Клейном и Зоммерфельдом в их книге по теории волчка ). Отвергая прежние определения, они основывают свой критерий на виде изменений, вызываемых малыми произвольными возмущающими импульсами в траектории системы. Если невозмущенная траектория представляет предельное положение возмущенных траекторий при [c.447]

Частным, но важным для приложений случаем понятия устойчивости является асимптотическая устойчивость, когда невозмущенное движение, удовлетворяя предыдущему определению, вдобавок таково, что при всяких, численно не превышающих известного предела, начальных возмущениях все функции Xs приближаются к нулю, когда t беспредельно растет, т. е. когда lim (О = О (s = 1, 2,. . ., и). [c.57]

Переходя к понятию неустойчивости, заметим, что оно прямо противоположно понятию устойчивости, так что всякое невозмущенное движение, не являющееся устойчивым (т. е. не удовлетворяющее определению устойчивости), является неустойчивым. [c.58]

Дадим еще определение понятия условной устойчивости-. Невозмущенное движение называется условно устойчивым, если всякому е > О соответствует такое О < Я < е, что при всех 4°), удовлетворяющих условиям [c.58]

Заметим еще, что как понятие устойчивости по Раусу стационарного движения, так и само понятие стационарного движения, зависят от рассматриваемой группы симметрии С. Чтобы стационарное движение могло быть устойчивым, нужно, чтобы эта группа в определенном смысле была максимальна. Далее это поясняется на классическом примере, разобранном Раусом. [c.252]

В этом параграфе рассмотрим некоторые результаты, полученные при исследовании формальной устойчивости гамильтоновых систем. Определение формальной устойчивости было приведено в 4 четвертой главы. Понятие формальной устойчивости является очень важным при исследовании устойчивости на конечном (но очень большом) интервале времени. Наличие формальной устойчивости означает, что неустойчивость по Ляпунову (если она существует) не обнаруживается при учете в разложении функции Гамильтона членов до сколь угодно большого (по конечного) порядка относительно координат и импульсов возмущенного движения. [c.90]

Ляпунов впервые математически точно определил понятия устойчивости, которые служат основанием для решения разнообразных задач, относящихся к устойчивости движения и равновесия динамических систем. Поэтому, излагая работы в области устойчивости рабочего процесса в ЖРД, мы считали необходимым, привести точные определения основных понятий устойчивости в той форме, как они были установлены Ляпуновым [123], [124], [125]. [c.142]

При определении условий равновесия механической системы возникает весьма важный вопрос о том, будет ли это равновесие практически реализуемым, т. е. устойчивым, или нет. Равновесие системы в данном положении называется устойчивым, если ее можно вывести из этого положения настолько малым возмущением (смещением, толчком), что во все последующее время отклонения системы от равновесного положения будут меньше любого сколь угодно малого заданного отклонения. В противном случае равновесие называют неустойчивым. Такое определение соответствует понятию об устойчивости равновесия и движения по А. М. Ляпунову. Исходя из него, можно, например, сразу установить, что равновесие маятника, изображенного на рис. 324, при ф=0 будет устойчивым, а при (р=180° — неустойчивым. [c.387]

Эта глава, которая является вводной, содержит изложение основных понятий и положений, необходимых для изучения нелинейных колебаний. Прежде всего следует сказать несколько слов о колебательных явлениях вообще и о нелинейных колебаниях в частности. Общие закономерности, которыми обладают колебательные процессы в системах различной физической природы, составляют предмет науки, получившей название теории колебаний. Под колебательным явлением принято понимать либо то, что связано с фактом установившегося движения в рассматриваемой системе, либо то, что связано с процессом перехода от одного установившегося движения к другому. Установившееся движение характеризуется повторяемостью и определенной устойчивостью (смысл последнего понятия будет уточнен ниже). Переходные процессы характеризуются тем установившимся движением, к которому они приближаются. Множество переходных процессов данного установившегося движения образует его область притяжения. Смена установившихся движений, которая происходит в результате изменения какого-нибудь физического параметра рассматривае.мой системы при его переходе через некоторое значение, называется бифуркацией. Если при этом смена установившихся движений происходит достаточно быстро, т. е. скачкообразно, то говорят о жестком возникновении нового режима. В противном случае возникновение нового режима называют мягким . Колебательные явления, возникающие в так называемых нелинейных системах, называются нелинейными колебаниями. Однако, прежде чем определить, что такое нелинейная система, рассмотрим более общий класс систем, называемых динамическими системами. [c.7]

Управляемость как степень восприимчивости объекта управления к воздействию рулей и устойчивость, характеризующая как бы невосприимчивость к подобному воздействию, являются в известном смысле противоречивыми понятиями. Действительно, чем более устойчив летательный аппарат, снабженный мощным хвостовым оперением, тем труднее осуществить его поворот при помощи руля. Правильный выбор соответствующей аэродинамической схемы, конкретной конструкции летательного аппарата, его органов управления и стабилизации с точки зрения обеспечения наивыгоднейшей управляемости и устойчивости составляет важнейшую задачу современной аэродинамики, в частности аэродинамической теории управления и стабилизации. При этом обеспечение управляемости и устойчивости связано с исследованием динамических свойств такого аппарата, описываемых указанной системой уравнений возмущенного движения. Их коэффициенты определяются компоновочной схемой, которой соответствуют определенные аэродинамические и геометрические характеристики, а также параметры движения по основной траектории. В результате решения этих уравнений выбирают наиболее рациональную динамическую схему летательного аппарата и соответствующую ей конструктивную компоновку, которая бы удовлетворяла баллистическим, технологическим и эксплуатационным требованиям, а также заданной управляемости и устойчивости. [c.6]

Понятие динамической устойчивости связано с двумя видами движения летательного аппарата — невозмущенным (основным) и возмущенным. Движение называют невозмущенным (основным), если оно происходит по определенной траектории со скоростью, изменяющейся в соответствии с каким-либо заданным законом, при стандартных значениях параметров атмосферы и известных начальных параметрах этого движения. Эта теоретическая траектория, описываемая конкретными уравнениями полета с номинальными параметрами аппарата и системы управления, также называется невозмущенной. Благодаря воздействию случайных возмущающих факторов (порывы ветра, помехи в системе управления, несоответствие начальных условий заданным, отличие реальных параметров аппарата и системы управления от номинальных, отклонение действительных параметров атмосферы от стандартных), а также возмущений от отклонения рулей основное движение может нарушиться. После прекращения этого воздействия тело будет двигаться, по крайней мере, в течение некоторого времени по иному закону, отличному от первоначального. Новое движение будет возмущенным. [c.37]

Книгу условно можно разделить на три части. В первой части (главы 1, 2, 3) формулируются основные задачи исследования динамики и устойчивости механизмов с упругими связями, приводятся дифференциальные уравнения динамики механизмов с упругими связями на примерах простейших динамических моделей дается представление об устойчивости периодических режимов движения вибрационных и виброударных систем, вводятся основные понятия и определения (глава 1). [c.8]

Приведем определения еще нескольких понятий, близких к понятию асимптотической устойчивости. Асимптотическую устойчивость называют равномерной относительно /д, если соотношение (7.1.11), выполняется равномерно относительно /о- Движение и(1) называют равномерно асимптотически устойчивым по отношению к начальным условиям, если в (7.1.11) выполняется равномерность предела по начальным условиям Для автономных систем [c.458]

В наиболее общей форме устойчивость определяется как свойство системы мало отклоняться от исходного движения или равновесия при действии малых возмущений. Это понятие базируется на динамических свойствах системы. Впервые, по-видимому, динамический критерий использовался Лагранжем при исследовании консервативных систем с конечным числом степеней свободы. Строгое математическое определение этого критерия для частного класса систем было дано А. М. Ляпуновым [4.8]. Впоследствии критерий был обобщен и расширен [4.12]. Согласно динамическому критерию исходная форма движения или равновесия системы устойчива, если малые возмущения вызывают малые отклонения системы от этой формы, которые могут быть сделаны как угодно малыми при уменьшении возмущений. Система будет неустойчивой, если даже сколь угодно малые возмущения вызывают конечные отклонения системы от ее исходной формы. [c.52]

Если две системы, температуры которых различаются на конечную величину, привести в тепловой контакт друг с другом, не нарушая изоляции от окружающих тел, то такая объединенная система в течение некоторого времени будет проходить через определенную последовательность допустимых неравновесных со-стояний. Будучи изолированной, такая система в конечном итоге перейдет в некоторое устойчивое состояние. Из предварительного обсуждения природы необратимости (разд. 2.14) можно заключить, что перенос тепла между двумя телами, находящимися при разных температурах, есть необратимый процесс, точно так же как необратимым является процесс затухания движения жидкости, вызванного действием мешалки. Это обстоятельство чрезвычайно важно с прикладной точки зрения, поскольку, как было показано в разд. 2.14, необратимость влечет за собой потерю возможностей совершения работы или увеличение количества потребляемой работы по сравнению с идеальным случаем. Этот вопрос будет изучен подробнее после того, как в гл. 9 мы обсудим понятия о термодинамической необратимости и обратимости. [c.79]

В физических и технических проблемах встречаются и другие виды естественных движений, а также некоторые виды движения тех же самых голономных систем, которые, хотя и выражаются уравнениями более общими, чем уравнения Лагранжа, но могут быть сопоставлены с состояниями равновесия голономной системы благодаря тому, что уравнения допускают соответствующие частные решения (статические или меростатические решения). Мы распространим наше исследование и на эти решения. Наконец, мы введем, наряду со строгим определением понятия устойчивости, приближенное понятие, соответствующее устойчивости в течение конечного, но достаточно длительного промежутка врзмени, или линейной устойчивости ), исследованием которой мы и будем часто ограничиваться в силу непреодолимых математических трудностей, возникающих при анализе устойчивости в строгом смысле. [c.352]

Третий том курса содержит шестой отдел, посвященный динамике (глава XVII) и устойчивости (глава XVIII) деформируемых систем. Такое объединение этих разделов механики стало традиционным. Часто оно основывалось лишь на сходстве математических задач по определению собственных частот и критической силы как собственных чисел матрицы коэффициентов некоторой линеаризованной системы уравнений, относящейся к механической системе с конечным числом степеней свободы, или собственных значений некоторого дифференциального оператора, в случае системы с бесконечным числом степеней свободы (в проблеме, устойчивости интересуются, как правило, минимальным собственным числом (значением)). Еще более органичным сближение указанных выше разделов механики стало в связи с развитием теории динамической устойчивости. Существенным импульсом для дальнейшего такого сближения явились работы В. В. Болотина, способствовавшие осознанию специалистами того факта, что само понятие устойчивости форм равновесия (покоя) следует рассматривать как частный случай понятия устойчивости движения, поскольку само равновесие (покой) является частным случаем движения. Даже обоснование широко используемого статического критерия устойчивости становится строгим лишь при использовании аппарата динамики. В связи со сказанным естественно предпослать обсуждению устойчивости изложение динамики. Именно такая последовательность расположения материала и принята в настоящей книге. [c.4]

Ляпунов сначала занялся исследованием вопроса об устойчивости эллипсоидных форм равновесия вращающейся жидкости этой проблеме посвящена была его магистерская днссертащтя (1884). В этой работе он ввел определение понятия устойчивости вращающейся жидкости. Он доказал, что признак устойчивости системы, обладающей конечным числом степеней свободы (теорема Лагранжа—Дирихле), не может быть безоговорочно перенесен на случай движения жидкости, имеющей бесконечное число степеней свободы. Далее он установил достаточный критерий устойчивости фигур равновесия и показал, что эллипсоид вращения является устойчивой фигурой равновесия, если его эксцентриситет не превышает некоторой, определенной Ляпуновым, величины. В частности, он дал полный разбор вопроса об устойчивости некоторых ранее известных фигур равновесия, так называемых эллипсоидов Маклорена и Якоби. [c.266]

А. М. Ляпунов создал свою знаменитую общую теорию устойчивости движения ( Общая задача об устойчивости движения . Харьков, 1892 Собр. соч., т. 2, 1956), дав строгие определения понятий устойчивости и неустойчивости, относительно заданных величин, и разработав эффективные методы для решения этой чрезвычайно валяной задачи. [c.332]

Рассмотрим различные определения понятия об устойчивости движения в трудах ученых, заложивших основы теории устойчи- [c.323]

Разделение понятия устойчивости на устойчивость по Дирихле" и устойчивость по Раусу" ничем исторически не оправдано, так как и Дирихле и Раус не давали точного определения этого понятия. Впервые Н. Е. Жуковский обратил внимание На то, что задачу об устойчивости движения консервативной системы можно ставить иначе, чем это сделано у Рауса, и только А. М. Ляпунов дал окончательное, общепринятое теперь определение понятия об устойчивости движения. [c.424]

Дадим теперь определение устойчивости движения движение является устойчивым, если, получив малое возмущение, оно остается близким, в известном смысле, к невозмущенному движению. Понятие об устойчивом движении сложнее, чем понятие об устойчивом равновесии общую теорию устойчивости движения мы рассмотрим в гл. XXIII. Однако имеется класс задач, теория которых достаточно проста. Для них можно указать простой способ проверки устойчивости движения, аналогичный способу проверки устойчивости равновесия но минимуму потенциальной энергии. [c.160]

На первый взгляд может показаться, что понятие устойчивости по Ляпунову является естественным обобщением устойчивости, рассматривавшейся нами для положения равновесия (которое можно трактовать как вырожденную характеристику). Но для классической динамики это понятие оказывается не всегда пригодным, поскольку оно связано со слишком сильными требованиями, накладываемыми на систему. Правда, выше мы привели несколько примеров, для которых имеет место устойчивость в указанном мысле, однако дан е для весьма простых систем, для которых интуитивное представление об устойчивости не вызывает сомнений, критерий устойчивости по Ляпунову не выполняется. Рассмотрим, например, частицу, движущуюся прямолинейно в силовом поле. Согласно определению устойчивости по Ляпунову движение в однородном поле неустойчиво это же относится и к обычному либрационному движению (если не считать некоторых тривиальных исключений, таких, как колебания гармонического осциллятора). Если однородное поле имеет направление вдоль оси Ох, то невозмущенной характеристикой, проходящей через начальную точку (а, и), будет [c.477]

Устойчивость - термин, широко применяемый в математике, естествознании, технике и обыденной жизни. Толковый словарь Даля определяет слово устойчивый как стойкий, крепкий, твердый, не шаткий . Термин устойчивость встречается уже в работах Эйлера по продольному изгибу стержней, переведенных на русский язык. Лагранж, Пуассон и другие математики прошлого широко использовали термин устойчивость применительно к задачам о движении небесных тел. Теория регулятора Уатта, разработанная Максвеллом и Вышнеградским, была в сущности первым применением понятия устойчивости в машиноведении и отправной точкой для создания теории автоматического ретулирования (позднее - более общей теории автоматического управления). Р. Беллман характеризовал устойчивость как сильно перегруженный термин с неустановившимся определением . Однако большинство трактовок этого понятия связано с определением устойчивости по Ляпунову и его дальнейшими обобщениями. Это полностью относится и к устойчивости механических систем [6]. [c.455]

Теоретичеокие движения, обладающие/вторым и первым свойствами, называются соответственно устойчивыми и неустойчивыми Мы не приводим здесь строгих ляпуновских определений этих основных понятий, открывающих путь к созданию математической теории устойчивости движения. [c.11]

Изэнтропические одно.мерные движения газа с плоскими волнами представляют собой одну из простейших моделей неустановившихся движений газа. Она наиболее богата как конкретными фактами, так и разнообразными до конца решенными задачами. Исторически на этой. модели отрабатывались не только. многие понятия и аналитические построения нестационарной газовой динамики, но также и алгоритмы численного расчета ее основных краевых задач. Условие изэнтропичности, конечно, является сильно ограничительным, так как оно не позволяет во всей общности рас-с.матривать движения с ударными волнами, в результате прохождения которых по газу энтропия меняется и, вообще говоря, становится переменной по частицам. Однако и здесь возможно искусственное моделирование сильных разрывов, на которые надо наложить определенные условия устойчивости (см., например, [6]). [c.146]

В связи с этим целесообразно ввести понятие обусловленности ЗАДАЧИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ П/ АМЕТРОВ ДВИЖЕНИЯ КА, Будем считать [117], что задача хорошо обуслоалена, если имеющаяся совокупность измерений обеспечивает устойчивое отыскание ч с требуемой точностью, В противном случае рассматриваемую задачу будем называть плохо обусловленной, [c.177]

В постановке и решении ряда задач аэродинамики, в частности для схематизации движения воздуха и его действия на тела, немаловажную роль ыграли различные гидродинамические модели [26] При этом большую роль сыграли ударная теория сопротивления И. Ньютона (1686 г.), теория идеальной несжимаемой жидкости, разработанная Д. Бернулли (1738 г.) л Л. Эйлером (1769 г.), теория вязкой несжимаемой жидкости, созданная А. Навье (1822 г.) и Дж. Г. Стоксом (1845 г.), теория струйного обтекания тел, развитая Г. Гельмгольцем (1868 г.), Г. Кирхгофом (1869 г.), а в дальнейшем Рэлеем (1876 г.), Д. К. Бобылевым (1881 г.), Н. Е. Жуковским (1890 г.), Дж. Мичеллом (1890 г.), А. Лявом (1891 г.). Особое значение для становления аэродинамики имели работы Г. Гельмгольца, заложившего основы теории вихревого движения жидкости (1858 г.). В начале XIX в. появились понятия подъемной силы (Дж. Кейли) и центра давления. Дж. Кейли впервые попытался сформулировать основную задачу расчета полета аппарата тяжелее воздуха как определение размеров несуш,ей поверхности для заданной подъемной силы [27, с. 8]. В его статье О воздушном плавании (1809 г.) предложена схема работы плоского крыла в потоке воздуха, установлена связь между углом атаки, подъемной силой и сопротивлением, отмечена роль профиля крыла и хвостового оперения в обеспечении продольной устойчивости летательного аппарата я т. п. [28]. Кейли также занимался экспериментами на ротативной маши-де. Однако его исследования не были замечены современниками и не получили практического использования. [c.283]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...