ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Определение понятия устойчивости движения из "Курс теоретической механики. Т.2 " Изучая работы по теории устойчивости движения, принадлежащие различным ученым, можно прийти к выводу, что смысл понятия об устойчивости движения в этих работах был различным. Остановимся на рассмотрении некоторых из этих определений. [c.324] Все определения устойчивости движения можно разделить на две группы. [c.324] К первой из них отнесем определения, в которых идет речь не об устойчивости состояния движения, а об устойчивости траекторий, описываемых точками материальной системы. К этой группе определений принадлежит определение устойчивости движения по Н. Е. Жуковскому. Чтобы дать определение устойчивости движения, Н. Е. Жуковский рассматривает основное движение системы и наряду с ним так называемое возмуш,енное движение. Координаты точек в основном движении Н. Е. Жуковский обозначает х, у, г, координаты точек системы в возмущенном движении через х, у т, г Л- 1. [c.324] Заметим, что изменение времени 6i может быть как бесконечно малым, так и неограниченно возрастающим. [c.324] Из приведенной формулировки видно, что речь действительно идет об устойчивости траекторий точек материальной системы. [c.324] Ж у к о в с к и й, О прочности движения, Собрание сочинений, т. I, ОГИЗ, 1948, стр. 69—70. Н. Е. Жуковский не употреблял здесь термин устойчивость . [c.324] Позже А. Пуанкаре дал этому определению наименование устойчивости в смысле Пуассона ). К этой же группе определений смысла понятия об устойчивости движения принадлежат определения Томсона и Тета, Якоби и некоторые другие. Эти определения здесь не приводятся ). [c.325] Перейдем к рассмотрению второй группы определений устойчивости движения. К этой группе принадлежит определение устойчивости движения, предложенное Раутом. [c.325] что определения устойчивости движения по Рауту и Н. Е, Жуковскому — различны. Движение может быть неустойчивым в смысле Раута и устойчивым по определению Н. Е. Жуковского. Одним из недостатков определений устойчивости движения, принадлежащих Рауту и Н. Е. Жуковскому, является нечеткость понятия о малости возмущений. Другой недочет этих определений отметим ниже. [c.325] Я Раут применяет другие обозначения координат. [c.325] Эти разности равны нулю, если еу = О, ёу = 0. [c.326] После этих предварительных замечаний приведем общее определение устойчивости движения, принадлежащее А. М. Ляпунову ). [c.327] Далее А. М. Ляпунов разъясняет это определение примерами. Приведем некоторые из них. [c.327] Предположим, что материальная точка, притягиваемая неподвижным центром с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния точки от центра, описывает окружность. Ее движение относительно радиуса-вектора, проведенного из центра притяо/сения, а также относительно скорости — устойчиво. То же движение относительно прямоугольных координат — неустойчиво. [c.327] Иногда оказывается, что невозможно найти пределы j и если рассматривать произвольные возмущения Ej и . Но можно найти эти пределы, если возмущения удовлетворяют некоторым условиям. Так возникло понятие об относительной устойчивости. Например, движение материальной точки по окружности будет устойчивым относительно прямоугольной системы координат, если наложить на возмущения движения условия, вытекающие из закона сохранения механической энергии, или, по терминологии Томсона и Тета, оно будет устойчивым для консервативных возмущений. [c.327] Все сказанное, отмечает А. М. Ляпунов, относится и к устойчивости равновесия, так как равновесие — частный случай движения. [c.327] Сравнивая определение А. М. Ляпунова с другими определениями, приведенными выше, можно заметить строгость и общность этого определения. В частности, оно охватывает как определение Н. Е, Жуковского, так и определение Э. Раута ). [c.327] Поясним это при помощи примера. [c.327] Вернуться к основной статье