Дифференциальные высших порядков

Теорема 2.1. Если все корни характеристического уравнения системы уравнений первого приближения имеют отрицательные вещественные части, то невозмущенное движение устойчиво и притом асимптотически, каковы бт,1 ни были члены высших порядков в дифференциальных уравнениях возмущенного движения. [c.83]

Колебательные движения механических систем удобно описывать уравнениями Лагранжа в обобщенных координатах. При составлении уравнений мы будем отсчитывать обобщенные координаты всегда от положения устойчивого равновесия, относительно которого и происходят колебания механических систем. В большинстве случаев эти уравнения нелинейны и их интегрирование связано с большими трудностями. Однако при решении многих технических задач оказывается возможным в этих уравнениях отбрасывать квадраты и более высокие степени координат и скоростей. Такая операция называется линеаризацией уравнений. Линеаризованные уравнения не могут, конечно, в точности отобразить движения системы и дают несколько искаженную картину явления. Искажения тем менее существенны, чем меньше отброшенные члены уравнений в сравнении с оставшимися. Если значения координат и скоростей во все время движения остаются очень малыми, то их квадратами и высшими степенями вполне можно пренебречь, подобно тому, как в дифференциальном исчислении пренебрегают бесконечно малыми высших порядков. Таким образом, мы пришли к заключению, что колебания, описываемые линеаризованными уравнениями при сделанном выборе начала отсчета, должны быть только малыми колебаниями около положения равновесия. [c.435]

Начнем с исследования деформации изгиба в небольшом участке длины стержня, в котором изгиб можно считать слабым под слабым мы понимаем здесь изгиб, при котором мал не только тензор деформации, но и абсолютная величина смещений точек стержня. Выберем систему координат с началом в некоторой точке нейтральной поверхности внутри рассматриваемого участка стержня. Ось 2 направим параллельно оси стержня (недеформи-рованного) изгиб пусть происходит в плоскости z, х. При слабом изгибании стержня можно считать, что изгиб происходит в одной плоскости. Это связано с известным из дифференциальной геометрии обстоятельством, что отклонение слабо изогнутой кривой от плоскости (так называемое ее кручение) является малой величиной высшего порядка по сравнению с кривизной. [c.93]

Учитывая, что при дифференцировании по и qj порядок малости понижается на единицу, значения Т и П следует, как отмечалось, вычислять с точностью до малых величин второго порядка малости. Хотя пренебрежение малыми величинами высших порядков малости вносит некоторую погрешность в полученные результаты, но эта погрешность компенсируется значительным упрощением теории колебаний. В этом случае движение системы определяется линейными дифференциальными уравнениями. [c.22]

Оказывается, что переменные, применением которых достигается наибольшая простота и которые наилучшим образом соответствуют проблеме, — это те переменные, которые находятся под знаком й в дифференциальной части фундаментальной формулы, где они являются коэффициентами при вариациях и их производных. Эти величины, повторяем, составляют только половину общего числа неизвестных, поэтому за другую половину мы примем функции, входящие в А, вместе с теми их производными, которые также заключены в А, за исключением одной производной высшего порядка каждой из этих функций. [c.316]

Штрих означает производную . Здесь Р ж Q — заданные функции Z. Это дифференциальное уравнение второго порядка — фундаментальное в электронной оптике им в основном и определяется образование изображения в электронном микроскопе ). Чтобы исследовать аберрации, нужно привлечь приближения высших порядков ). [c.113]

Геометрическую нелинейность интегрируемой системы дифференциальных уравнений характеризуют малые величины высших порядков [c.352]

МНОЖИТЕЛЬ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПРОИЗВОДНЫМИ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА. ПРИМЕНЕНИЕ К СВОБОДНОЙ СИСТЕМЕ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК. [c.104]

Работа сорбционных фильтров в условиях равновесия может происходить лишь при очень малых скоростях фильтрования, а в случае ионитных фильтров — при малых размерах зерен ионитов. В практике эти условия обычно не соблюдаются, и поэтому работа сорбционных фильтров проходит в неравновесных условиях, когда основную роль играют кинетические факторы. Учет последних применительно к определению фронта фильтрования приводит к сложным дифференциальным уравнениям высшего порядка. Предложенные различными авторами упрощения и допущения (некоторые из которых носят чисто формальный характер) нуждаются в экспериментальной проверке. [c.208]

Легко видеть, что обычная теория возмущений к этой задаче не применима, так как член, учитывающий вязкость vV u, в уравнении (3) имеет самый большой порядок и, следовательно, возмущение вязкости V относительно значения v = О есть сингулярное возмущение ). Тип уравнений в частных производных обычно определяется членами наивысшего порядка. Таким образом, пренебрежение членами высшего порядка ведет к стиранию различий между типами уравнений. Даже для обыкновенных дифференциальных уравнений такого вида, как гу" -f i/ = О, с краевыми условиями у(0)—а,у( )=Ь, мы получаем в пределе совершенно различные картины в зависимости от того, положить ли e-i- + О или е-4— 0. [c.61]

В линейной теории вычисления могут быть проведены относительно простыми аналитическими средствами, так как линеаризированные уравнения потока в основном совпадают с уравнениями волнового движения малой амплитуды. Следовательно, многие хорошо известные методы теории волн могут быть применены в такой упрощенной сверхзвуковой аэродинамике это особенно справедливо для случая тонких тел вращения (например, для фюзеляжа самолета, корпуса снаряда и для плоских тел, подобных крылу самолета). В этих случаях может быть сделано дальнейшее упрощение, которое касается граничных условий задачи, а именно, требования плавного обтекания. Это условие определяет, в случае осесимметричного потока, направление вектора скорости на поверхности, а в случае плоского тела — направление составляющей вектора скорости, лежащей в плоскости нормальной к средней поверхности тела. Линеаризированные дифференциальные уравнения при указанных граничных условиях можно решить точно, но, обычно, приходится применять численные и графические методы. Поэтому желательно дальнейшее упрощение задачи, которое достигается с помощью предельного перехода от точных граничных условий к условиям, относящимся к оси тела вращения или к плоскости плана крыла вместо действительной поверхности. Приводимые ниже результаты основаны на этом приближении. Строго говоря, только это приближение согласуется с допущениями линейной теории, потому что если удовлетворить граничным условиям на действительной поверхности, то, в рассмотрение, вообще, войдут члены высшего порядка, которые были отброшены в дифференциальных уравнениях. [c.13]

Если производная высшего порядка входит линейно в нелинейное дифференциальное уравнение, то уравнение называется квазилинейным. Т аким образом, [c.253]

Частным случаем рассматриваемых динамических систем являются системы с производными высших порядков [88] и системы, включающие механическую часть, описываемую дифференциальными уравнениями второго порядка (системы Четаева см. п. 12.1). [c.101]

Естественная идея повышения точности метода Эйлера могла бы заключаться в использовании большего числа членов разложения в ряд Тейлора (6.5) и (6.6). Однако методы рядов Тейлора высших порядков [195, 196] имеют малое практическое значение, так как основаны на отыскании высших производных функции f в заданных точках. Как известно, численное дифференцирование является весьма неточной процедурой, особенно если ее необходимо повторять много раз. Поэтому мы ищем процедуру, которая была бы аналогична разложению в ряд Тейлора до членов кр (где р называется порядком метода). Но которая не требовала бы вычисления каких-либо производных функции /(2, у, у ). Наиболее элегантная одношаговая процедура, которая удовлетворяет этому требованию, — метод Рунге — Кутта [194]. Ниже будет рассмотрен метод Рунге—Кутта четвертого порядка для решения дифференциального уравнения второго порядка (6.1). [c.359]

Решение системы а дифференциальных уравнений в частных производных типа (П6-4), связанных между собой нелинейными членами, требует очень сложных расчетов. Их следует проводить в разумных приближениях. Поэтому для каждой конкретной проблемы, как правило, следует оценить те члены, которыми можно пренебречь. Помимо названных материальных констант, должны учитываться реальные условия, в которых протекают исследуемые процессы длительность взаимодействующих групп волн (длительность импульса), длина кюветы, время установления колебаний, коэффициенты усиления, время разбегания групп волн, взаимодействие различных эффектов НЛО. Для обработки математической части этой задачи преимуществом обладает фурье-представление уравнения (П6-4). В этой связи сошлемся на выкладки, приведенные в конце разд. 1.321. В фурье-представлении отдельные члены принимают вид членов разложения в ряд по степеням fk или q(fh), что значительно облегчает количественные оценки. Так, например, отношение третьего слагаемого ко второму слагаемому в левой части обычно имеет порядок отношения q(fh)lq fh), а отношение пятого слагаемого к четвертому — порядок fft/fft. При соответствующих экспериментальных условиях может оказаться полезным перейти от координат t я z к другим координатам, чтобы можно было описать нестационарное поведение при помощи наиболее простого дифференциального уравнения (пренебречь производными высших порядков). Такое упрощение может быть достигнуто (см., например, [21]), если считать волновую амплитуду Е зависящей от координат Z и w t — Z. Вторая координата позволяет непосредственно задать изменение Е в системе, движущейся вместе с группой волн (групповая скорость w ). Упрощение дифференциального уравнения может быть достигнуто, если при соответствующих экспериментальных условиях исходить из допущения, что Е лишь относительно медленно меняется с изменением г при постоянном значении w t — Z. [c.233]

Ясно, что поведение всей системы в целом должно зависеть от поведения и свойств каждого отдельного звена и влияния их друг на друга. Предположим, что для каждого звена от входной величины зависят сама величина на выходе и ее первая и вторая производные по времени. Тем самым мы приписываем каждому нашему простейшему звену свойства, которые описываются дифференциальным уравнением второго порядка. Могут быть случаи, когда свойства реального звена потребуют и третьей производной, и, может быть, производных высшего порядка, но в более сложных случаях мы всегда можем представить такое [c.20]

ВЫХ или необязательно в канонических переменных ). Как и в каноническом случае, эти методы предполагают наличие быстрой переменной по одной степени свободы и медленных по остальным степеням свободы и содержат усреднение на коротком масштабе времени. Будучи эффективными и очень обш,ими, эти методы неизбежно оказываются и очень громоздкими, особенно в высших порядках. В канонической формулировке дифференциальные уравнения получаются из скалярной функции Н это же касается и преобразования переменных, которое определяется скалярной производящей функцией. В случае общего метода усреднения эти упрощающие обстоятельства отсутствуют. [c.115]

Сделаем теперь важное замечание о той степени точности, с которой мы будем вести дальнейшие вычисления. Во всем дальнейшем мы будем составлять дифференциальные уравнения малых колебаний с точностью лишь до членов первого порядка малости (включительно). Пренебрегая малыми величинами высших порядков малости, мы вносим, конечно, некоторую погрешность в наши результаты, но эта погрешность окупается тем огромным упрощением теории вопроса, которое достигается введением линеаризованных дифференциальных уравнений. [c.373]

Поэтому, если мы хотим, чтобы наши результаты были верны с точностью до какого-либо заданного порядка, то необходимо будет в дифференциальных уравнениях сохранить те периодические члены высших порядков, периоды которых весьма близки к какому-нибудь из периодов свободных колебаний. [c.282]

Для нахождения достаточно хорошего первого приближения к движению может оказаться недостаточным взять решение дифференциальных уравнений, получающихся при отбрасывании всех членов высших порядков. Необходимо включить в эти дифференциальные уравнения все те малые члены высших порядков, которые существенно влияют на движение. Решение этих видоизмененных уравнений если оно может быть найдено) следует принять в качестве нашего первого приближения. [c.283]

Основные работы В. Г. Имшенецкого охватывают вопросы интегрирования уравнений с частными производными первого и второго порядков, а также интегрирование линейных дифференциальных уравнений высших порядков с одним независимым переменным. Предложенный им метод отделения переменных для интегрирования уравнений с частными производными первого порядка имеет тем большее значение для аналитической механики, что доведение задачи до конца вне рамок применения этого метода является счастливой случайностью. [c.346]

Бее наши предыдущие исследования касались систем дж )фереЕциаль-пых уравнений, в которые входят только производные первого порядка. Системы такого рода можно рассматривать как частный случай тех систем в которые входят производные люоого порядка. Но обратно, увеличением числа переменных можно привести систему с производными высшего порядка к системе, содержап1,ей только производные первого порядка, так что первая есть частный случай второй. Сначала мы будем заниматься этим приведением любой системы к другой, в которую входят производные только первого порядка. Пусть имеется система i дифференциальных уравнений с 1 переменными t, х, у, s, где t рассматривается как независимая, а х, у, Z,. как зависимые переменные. Пусть наивысший порядок производных, которые входят в эти дифференциальные уравнения, будет мг-ый для х, й-ый для у, -ый для Z и т. д. Предположим далее, что данные диф< №рен-циалъные уравнения можно решить относительно этих высших производных, так что они примут следующую форму [c.104]

Если каждую из рассмотренных систем свести к одному обыкновенному дифференциальному уравнению высшего порядка, то придется разыскиват , по одному интегралу [c.269]

Отметим, что для двухлопастного винта параметрами управления углом установки являются общий шаг 6о = (0< ) + /2 и дифференциальный шаг 0i = (0 ) — 0(4)/2. Обычный автомат перекоса дает зависимость 0i = 0i os г]] + 0)s sin г з. Отметим также, что при увеличении числа лопастей периодические коэффициенты исчезают из уравнений для степеней свободы низши-х порядков, но всегда остаются в элементах матриц, соответствующих степеням свободы высших порядков. [c.525]

Грамматин А. П. Некоторые дифференциальные свойства апланатических поверхностей Ь использование этих свойств для оценки аберраций высших порядков.— Труды ГОИ . 1970, т. XXXV11, иып. 167, с. 63—82. [c.421]

Если для дифференциально-линейного соотношения вне зависимости от (13.10) следовал упругий эквивалент с матрицей (13.8), то для дифференциально-нелинейного случая даже в предположении равноактивиости соотношение Аоц—Авц оказывается нелинейным и неоднородным, что приводит к большим (если не сказать — непреодолимым) трудностям при определении бифуркации первого порядка в реальных задачах. В то же время определение бифуркации второго и высшего порядков для таких тел принципиально не отличается от случая дифференциальной линейности, ибо снова оказывается справедливым прежний формализм, на этот раз с матрицей, [c.35]

Для каждого из этих четырех вариантов задачи приводится распределение яркости неба и, кроме того, для сферического рассеяния дано численное решение следуюш их задач (1) сравнение решения точного интегрального уравнения с приближенным решением, получаемым из приближенных дифференциальных уравнений Шварцшильда (2) решение интегрального уравнения и вычисление яркости неба при произвольном альбедо (3) установление зависимости между освеш енностью земной поверхности и альбедо последней (4) выяснение влияния рассеяния высших порядков на яркость неба (5) вычисление дальности видимости черной цели на фоне неба (6) вычисление дальности видимости черной или нечерной цели на фоне земной поверхности. [c.440]

Подставляя (7.126) в (7.124) и отбрасывая члены высшего порядка, получаем обыкновенное дифференциальное уравнеше для определе- [c.194]

Из сравнительного рассмотрения приведенных уравнений вытекает, что как порядок дифференциальных членов, так и степень, с которой они входят в годографические уравнения, всюду первые, в то время как в обычные уравнения входят как вторые производные, так и квадраты и произведения первых производных. Такое различие может оказать существенное влияние на трудность программирования, особенно когда речь идет о больших и сложных программах. Простота функциональных зависимостей в годографической записи достигается благодаря отказу от непосредственного использования пространства векторов положения. Все связи, налагаемые пространством векторов положения, удовлетворяются в векторном пространстве высшего порядка. Окончательный вид траектории в пространстве векторов положения всегда можно определить с помош,ью годографических преобразований. Для реализации этих преобразований на ЭВМ достаточно разработать стандартный алгоритм — тогда не нужно будет изменять программу для каждой новой траекторной задачи. [c.67]

Работы Эйлера по продольному изгибу продолжил Лагранж. В первом мемуаре посвященном этому вопросу, Лагранж не ограничился исследованием наименьшей критической силы, а рассмотрел так называемые критические силы высших порядков, когда изгиб оси стержня происходит по двум, трем и большему числу полуволн синусоиды. Лагранж изучил зависимость стрелы прогиба от величины нагрузки в случае, когда последняя превышает критическое значение. Он нашел интеграл точного дифференциального уравнения изогнутой оси при помощи разложения искомого решения в ряд. Лагранж решил также задачу о продольном изгибе стержня, ограниченного какой угодно поверхностью вращения второго порядка. Тогда же он поставил задачу о наивыгоднейшем очертании колонн — об очертании стержня, выдерживающего без изгиба данную сжимающую нагрузку и имеющего наименьший вес. Однако ему не удалось найти удовлетворительного решения этой задачи. Впоследствии ею занимались Т. Клаусен, Е.Л. Николаи и др. [c.168]

Прежде чем перейти к рассмотрению собственно голографической интерферометрии, остановимся в гл. 2 на некоторых основных положениях дифференциальной геометрии и механики сплошных тел, а в гл. 3 — на принципах формирования изображения в голографии. В гл. 2 приводятся сведения, которые являются основой изложения всей книги. В гл. 3 рассматривается с одной стороны, получение исследуемых волновых фронтов, и, с другой стороны, детально. анализируются свойства изображения, в частности, аберрации, которые могут возникать, если оптическая схема, используемая при восстановлении, отлична от х ы регистрации. В этой же главе показано взаимопроникновение понятий механики и оптики. Затем в основной части книги — гл. 4 — исследуется процесс образования интерференционной картины, обусловленной суперпозицией волновых полей, соответствующих двум данным конфигурациям объекта, и обратная задача — измерение деформаций объекта по данной интерференционной картине. В ней, во-первых, показано, как определяют порядок полосы, т. е. оптическую разность хода интерферирующих лучей, и как отсюда находят вектор смещения. Во-вторых, рассмотрены некоторые характеристики интерференционных полос, их частота, ориентация, видность и область локализации, которые зависят от первых производных от оцтйческой разности хода. Затем показано изменение производной от смещения (т. е. относительной деформации и наклона). В-третьих, определено влияние изменений в схеме восстаноэле ния на вид интерференционной картины и методы измерения. Наконец в гл. 5 кратко приведены некоторые возможные примеры использования голографической интерферометрии для определения производных высших порядков от оптической разности хода в механике сплошных сред, [c.9]

Аналогично получаются приближения высшего порядка иг, 3,. . . . Указанный метод применим не только для неустано-вившегося течения из состояния покоя, но и для периодического течения. Однако решение дифференциального уравнения этим методом затруднительно, причем трудности возрастают с увеличением порядка аппроксимаций, ограничивая применимость метода. Далее более подробно будет изучен отрыв, который возникает при внезапном возникновении движения и при движении с постоянным ускорением. Вследствие недостатка информации отрыв при периодическом движении здесь не рассматривается. [c.214]

Из многочисленных эффектов, которые приходится изучать в связи с задачей о нестационарных кавернах, наиболее труден для математического исследования именно тот, который имеет, по-видимому, наиболее важное физическое значение и которому долгое время уделялось гораздо меньше внимания, чем следовало бы. Речь идет о замене модели несжимаемой жидкости моделью сжимаемой жидкости с известным объемным модулем упругости. Как мы уже отмечали, Рэлей не рассматривал эту задачу. Несколькими годами позже Херринг [14], решая задачу о подводном взрыве, исследовал случаи произвольного изменения давления внутри каверны и ввел поправку первого приближения на сжимаемость жидкости. Он рассмотрел жидкость с линейной зависимостью плотности от давления и использовал заимствованное из акустики допущение, что скорости в жидкости всегда малы по сравнению со скоростью звука. Затем он отбросил члены высших порядков в полученном нелинейном дифференциальном уравнении и использовал приближение первого порядка для рассмотрения условий на поверхности охлопывающейся каверны. Триллинг [49] также исследовал каверны, заполненные газом, и получил то же приближенное уравнение, но использовал его решение для полей скорости и давления, чтобы рассчитать условие схлопывания и повторного образования каверн. Оба автора не учитывали вязкость и поверхностное натяжение. [c.141]

Дальнейшее исследование свойств подобных дифференциальных форм высших порядков и уравнений движения, выражающихся через них, бесспорно может привести к новым интересным фактам. Лагранж, Эйлер и все другие классики были бы весьма удивлены новым видом уравнений динамики. Но уже и сейчас можно утверждать, что новая форма уравнений динамики является основой дальнейшего развития механики неголономных систем самого общего вида. Если на базе обычных уравнений Лагранжа удается выводить все существующие типы уравнений движения неголономных механических систем только с неголономными связями первого. порядка и 1при этом линейными относительно обобщенных скоростей, то уравнения новой формы могут быть непосредственно применены и для вывода из них уравнений движения с неголономными связями любого вида, т. е. любого дифференциального порядка и любой структуры в смысле линейности или нелинейности уравнений связей относительно производных от обобщенных координат. Уравнения движения для систем с неголономными связями второго порядка были выведены в середине шестидесятых годов тем же И. Ценовым. Уравнения движения с множителями Лагранжа при нелинейных неголономных связях перво- [c.11]

Принцип освобождаемости от связей в механике (заключающийся во введении в уравнения дополнительных слагаемых, называемых реакциями связей) распространяется на динамические системы, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями при наличии ограничений на фазовые координаты. Составлено общее уравнение движения динамических систем с идеальными связями, частными случаями которых являются системы Н.Г. Четаева (см. п. 12.1) и системы с производными высших порядков [88]. Теория применяется при построении уравнений для медленных переменных в системах с малым параметром (не равным нулю). В качестве примера рассматривается автоколебательная система с инерционным возбуждением, к которой приводится динамическая система Лоренца (Е. N. Lorenz) [73. [c.99]

Дифференциальные уравнения равновесия выводятся из рассмотрения равновесия бесконечно малого параллелепипеда размерами ах, ау, йг, выделенного из твердого тела, которое находится в условиях неоднородного напряженного состояния (рис. 22). Проектируя все силы, действующие по граням параллелепипеда, на декартовые координатные оси и пренебрегая бесконечно малыме величинами высшего порядка, получаем [c.61]

При применении потенциала деформаций Ламе перемещения представляются первыми производными одной скалярной функции. Однако более общие решения, имеющие широкие приложения, можно получить, если ввести производные высшего порядка от векторной функции. В уравнениях Навье присутствуют два дифференциальных оператора второго порядка, не зависящих от направления координат. Это, видимо, навела Б. Г. Галёркина [15] ) на мысль представить общее решение в форме [c.106]

Разрывные решения дифференциальных уравнений можно рассматривать как пределы непрерывных решений более точных уравнений высшего порядка при стремлении к нулю значений паразитных параметров, являю-ш ихся коэффициентами при высших производных. В случае релаксируюш ей среды в качестве паразитных [c.94]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...