Движение точки по движущейся криво

Определение реакций связей. При движении точки по заданной кривой реакция связи находится с помощью уравнений (49). При этом движущуюся точку следует изображать в том положении, для которого определяется эта реакция. Если скорость входящая в уравнение (49), заранее не известна, то во многих случаях ее можно определить по теореме об изменении кинетической энергии ( П4). [c.289]

Уравнения движения. Траектория. Рассмотрим движение точки по плоской кривой. Пусть положение точки определяется полярными координатами г, ф (фиг. 28), где г — расстояние движущейся точки от полюса О, ф—угол, образуемый радиусом г с горизонтальной прямой — полярной осью. Если мы будем знать, как изменяются г н ф с течением времени, то сможем указать поло жение точки для любого момента времени. Уравнения [c.83]

Три взаимно перпендикулярные оси Мт, Мп и МЬ, положительные направления которых совпадают с направлениями единичных векторов т, п, Ь, называются естественными осями кривой. Эти оси образуют в точке М естественный трехгранник. При движении точки по кривой естественный трехгранник движется вместе с точкой как твердое тело, поворачиваясь вокруг вершины, совпадающей с движущейся точкой. [c.110]

Уравнения Лагранжа первого рода могут быть применены для изучения движения точки по поверхности или кривой. Если поверхность, в общем случае как угодно движущаяся и деформирующаяся, задана уравнением [c.387]

ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ ПО НЕПОДВИЖНОЙ ИЛИ ДВИЖУЩЕЙСЯ КРИВОЙ [c.372]

Уравнения Лагранжа. Метод Лагранжа, который мы сейчас изложим, сходен с тем, которым мы пользовались для изучения движения точки по кривой (п. 259). Всегда возможно выразить координаты точки поверхности 5 и. в частности, движущейся точки М, в функции двух параметров и q.y. [c.410]

Примечание П. Если некоторые из связей зависят от времени, то работа соответствующих реакций связей на действительном перемещении будет, вообще говоря, отлична от нуля. Простым примером этого является движение точки, которая скользит без трения по движущейся кривой. Работа реакции связи на действительном перемещении будет отлична от нуля (п. 258). [c.47]

Это заключение будет особенно наглядным в случае одной материальной точки, удерживаемой на некоторой поверхности а и движущейся без трения при отсутствии активных сил. В этом случае, как было уже отмечено в предыдущем пункте, метрическое многообразие будет тождественно с поверхностью о, на которой удерживается точка, а динамическая траектория совпадает с кривой, действительно пробегаемой точкой на поверхности о. На основании соображений п. 44 гл. II динамические траектории движения точки по инерции, названные геодезическими линиями поверхности, определяются тем дифференциальным свойством, что соприкасающаяся плоскость в каждой точке траектории нормальна к поверхности о. К тому, что было известно ранее, мы можем теперь добавить, что геодезические линии обладают интегральным свойством, характеризующим их и заключающимся в том, что всякая дуга геодезической линии имеет стационарную, а для достаточно близких концов — минимальную длину по сравнению со всеми кривыми, которые можно провести на поверхности между теми же концами. [c.414]

Уравнение (3) — это уравнение полу-кубической параболы, которая изображена на рис. а. Поскольку параметр t — время — может принимать только положительные значения, из (2) следует, что ординаты движущейся точки также могут быть только положительными. Движение точки по траектории начинается в момент времени г = О из начала координат и происходит только по верхней ветви кривой, что показано на рис. а сплощной линией. [c.400]

Плоскую кривую линию рассматриваем как траекторию точки, движущейся в плоскости. Можно полагать, что точка движется по касательной к кривой линии, а касательная без скольжения перекатывается по кривой. Касательная указывает направление движения точки. [c.132]

Уравнения движения точки могут быть представлены графиками. Если по оси абсцисс откладывать независимую переменную i (время), а по оси ординат — координату движущейся точки, то на графике получим кривую зависимости координаты от времени, т. е. уравнение движения. Такие графики должны быть построены для каждой из трех координат, определяющих движение точки в пространстве. Графики движения могут быть построены и при задании закона движения в виде (3 ), (4 ) или другим способом. Уравнения движения точки могут быть заданы таблицей, в которой каждому дискретному значению времени соответствуют определенные значения координат. [c.219]

Отсюда следует, что траектория точки, движущейся под действием центральной силы, есть плоская кривая, а движение точки происходит по закону площадей, т. е. с постоянной секторной скоростью или, иначе говоря, так, что радиус-вектор точки, проведенный из центра силы, в любые равные промежутки времени описывает равные площади (см. 33, п. 2). [c.384]

Во время движения фигуры следящая точка перемещается и относительно неподвижных координат и в самой движущейся фигуре. Ее движение относительно неподвижных координат хОу есть абсолютное движение по неподвижной центроиде. Ее движение по движущейся фигуре есть относительное движение, движение по подвижной центроиде. Пусть (рис. 148, а) кривая ЕЕ изображает неподвижную центроиду, а кривая Е Е- —подвижную. Предположим, [c.230]

При наличии нестационарных связей возможные перемещения не совпадают с осуществимыми. Это видно, например, из рассмотрения движения несвободной материальной точки, движущейся по некоторой кривой, которая также движется в пространстве (рис. 3). На рис. 3 показаны [c.18]

Траекторию движущейся точки М можно найти и графически, построив по заданным уравнениям движения точки (1) или (2) ряд ее последовательных положений по отношению к выбранной системе отсчета и соединив их плавной кривой. [c.230]

Рассмотрим теперь движение материальной точки по заданной идеально гладкой плоской неподвижной кривой. Пусть на движущуюся точку действует активная сила лежащая с этой линией в одной плоскости. Тогда, кроме силы Р , к точке будет приложена еще реакция связи N, направленная по нормали к данной линии и лежащая с ней в одной плоскости. В этом случае уравнения (10) примут следующий вид [c.483]

Если автомобиль движется по прямой и ровной дороге и силы сцепления колес 7 и 5 с дорогой одинаковы, то угловые скорости полуосей также будут одинаковы и равны угловой скорости водила. При движении автомобиля на закруглениях колесо, движущееся по внешней кривой, проходит больший путь, чем колесо, движущееся по внутренней кривой. Если оба колеса автомобиля закрепить на одной оси, то неизбежно скольжение покрышек по дороге и их повышенный износ. При наличии дифференциала сателлит 4 обкатывает колеса 6 и 7 и одновременно вращается вокруг своей оси, в результате чего угловые скорости полуосей и ведущих колес автомобиля окажутся различными и скольжение покрышек по дороге будет предотвращено. [c.186]

При повороте автомобиля, а следовательно, и поступательно движущейся оси вокруг какого-либо центра поворота О колеса, сидящие на осях, проходят разные пути. Колеса, находящиеся на внешней кривой, должны пройти больший путь, чем колеса, перемещающиеся по внутренней кривой. Передние колеса автомобиля, свободно сидящие на своих осях, могут вращаться с разными скоростями. Если бы задние ведущие колеса были жестко соединены между собой, то при повороте произошло бы или проскальзывание внешнего колеса, или буксование внешнего, или то и другое одновременно. Аналогичное явление в несколько меньшей степени происходит и при движении автомобиля по неровной дороге. Чтобы не допускать у задних колес различных угловых скоростей, необходимо создать добавочное усилие на преодоление буксования ИЛИ Проскальзывания колес, причем между колесами и дорогой (в местах их касания) возникнут значительные силы трения. Кроме того, скольжение и буксование колес вызывает большой износ шин. Чтобы не было этого явления, между обоими задними [c.237]

При разгоне кривая движущих сил лежит над кривой сил сопротивлений, поэтому на соответствующем разгону участке кривая Т — ф монотонно возрастает. В период установившегося движения кривая движущих сил то лежит над кривой сил сопротивлений, то под нею поэтому кривая Т в это время то растет, то падает. Ее чередующиеся максимумы по рис. 358, б соответствуют узловым точкам на кривых рис. 358, а, т. е. точкам пересечения кривых Мп. д и Мп, с. Во время выбега, когда движущие силы выключены, а силы сопротивлений (по крайней мере силы вредных сопротивлений) не выключены, кривая Т падает до нуля. [c.382]

Уравнения движения. Сила называется центральной, если ее направление все время проходит через неподвижную точку. Эта точка называется центром силы. Примем центр силы за начало координат и условимся обозначать через Р абсолютное значение силы, взятое со знаком + или — в зависимости от того, будет ли сила отталкивающей или притягивающей. Мы видели ранее (п. 203), что в случае действия центральной силы траектория точки является плоской кривой, плоскость которой проходит через центр силы. Эта плоскость определяется начальным положением и начальной скоростью движущейся точки. Если начальная скорость направлена по радиусу-вектору, то плоскость эта становится неопределенной, но тогда движение будет прямолинейным и будет происходить по радиусу-вектору. Возьмем плоскость траектории за плоскость лгу . Тогда проекции [c.327]

Если сообщить точке движение в трубке, изогнутой по окружности, то, как вытекает из изложенного выше, точка будет давить на внешнюю стенку трубки, когда реакция N положительна, и на внутреннюю, когда реакция отрицательна. Чаще всего движущаяся точка связывается с неподвижной точкой при помощи гибкой нити. Когда реакция положительна, нить остается натянутой если же после обращения в нуль реакция должна стать отрицательной, то точка будет стремиться приблизиться к центру, и нить не сможет удержать ее на окружности. Если пренебречь массой нити, то точка покинет окружность в положении /(, где N — О и начнет свободно перемещаться под действием веса следовательно, она опишет параболу, касающуюся окружности в точке, где обе кривые имеют общий радиус кривизны. В самом деле, скорость точки, так же как и действующие на нее силы, с момента, когда она покидает окружность, будут изменяться непрерывно естественное уравнение, определяющее то /р, показывает, что радиус кривизны также изменяется непрерывно, и вследствие этого обе кривые будут действительно соприкасающимися в точке /(. Парабола, имеющая вертикальную ось, определяется из условия касания в рассматриваемой точке ). [c.385]

В вертикальной плоскости рассматривается кривая, являющаяся огибающей отрезка прямой постоянной длины, один конец которого скользит по горизонтальной прямой Ох, а другой — по вертикальной прямой Ог. Исследовать движение тяжелой точки, скользящей без трения по этой кривой. В частности, найти время, затрачиваемое движущейся точкой для достижения точки возврата на оси Ох, если она начала двигаться из наиболее низкой точки с такой начальной скоростью, что постоянная кинетической энергии равна нулю = 2g2). [c.405]

Этот принцип, который мы здесь изложим для свободной материальной точки и для точки, движущейся по поверхности или по кривой, применим к любой задаче динамики. Он позволит нам подвести итог всей теории движения точки. [c.458]

Таким образом, мы получили уравнения движения системы. Число этих уравнений в точности равно числу к степеней свободы системы. Именно таким образом в п. 288 мы последовательно получили уравнения движения свободной точки, точки, скользящей по заданной неподвижной или движущейся поверхности, и точки, скользящей по заданной неподвижной или движущейся кривой. [c.267]

Полодия и герполодия. Движущийся конус. — Мгновенный полюс I, вообще говоря, перемещается по движущемуся эллипсоиду инерции и по неподвижной касательной плоскости (Р). Геометрическое место мгновенных полюсов на эллипсоиде есть кривая, которой Пуансо дал название полодии (дорога полюса), а геометрическое место полюсов на плоскости (Р) получило название герполодии. Точка, совпадающая в каждый момент с мгновенным полюсом, имеет относительную скорость на эллипсоиде, равную ее абсолютной скорости на плоскости, так как скорость переносного движения равна нулю. Эта точка описывает за один и тот же промежуток времени равные по длине дуги на полодии и герполодии отсюда следует, что эти две кривые могут лишь катиться одна по другой. [c.93]

В сущности эти теоремы говорят не совсем об одной и той же энергии. В теореме, сформулированной нами ранее, изменение энергии системы определяется работой всех сил, включая реакции связей. Здесь же в новой формулировке энергия V определяется работой лишь активных сил и не включает в себя работу реакций. При связях, не зависящих от времени, между этими теоремами нет существенной разницы, так как мы знаем, Рис. 18. что реакции связей, не зависящих от времени, не совершают работы при виртуальных перемещениях и поэтому их потенциал является величиной постоянной. Однако если имеется движущаяся связь, то ее реакция может не быть перпендикулярной к действительному перемещению, и поэтому работа, совершаемая такими реакциями, может быть отличной от нуля. Так, например, если движение точки ограничено перемещением по некоторой движущейся кривой, то в каждый момент времени t реакция связи будет нормальна к этой кривой, однако перемещение точки за время dt уже не будет направлено по касатель- [c.68]

В отличие от Эйлера, Д. Бернулли сразу искал для решения таких задач достаточно общий принцип и пашел его для того случая, когда переносное движение ( движение поверхности ) — вращательное. В его письмах к Эйлеру речь идет о таких задачах, как движение точки по движущейся горизонтально кривой, о движении шарика во вращающейся трубке, об 126 обобщении последней задачи — во вращающейся трубке находится любое-число шариков Эти задачи решают оба автора, и при этом со все большей общностью формулируется закон площадей, а так как известный приоритет при этом сохранялся за Д. Бернулли, Эйлер побуждает его изложить полученные результаты и представляет работу своего друга и соперника Берлинской Академии наук. Это — Новая задача механики — о вращении трубки с любым числом находящихся в ней масс воАруг некоторой оси. Бернулли упоминает о том, что той же задачей с успехом занимались Эйлер и Клеро, хотя ему неизвестны ни их методы, ни их результаты. Затем он указывает, что подобные задачи не следует рассматривать изолированно, только ради их решения задачи механики заслуживают внимания прежде всего дготому, что онь часто приводят к открытию новых теорем и позволяют нам узнать те обпще законы, которым следует природа во всех своих проявлениях. [c.126]

Движение точки по заданной неподвижной кривой. Рассмотрим материальную точку, движущуюся по ида ной гладтой неподвижной кривой под действием активных сил FI, F%,. , F% и реакции связи N (рис. 241). Выберем на кривой начало отсчета О и будем определять положение точки М криволинейной координатой5=0 Л1 (см. 37). Проведем из точки М оси МгпЬ (см. 42), т. е. касательную Мх (в сторону положительного отсчета координаты s), главную нормаль Мп (в сторону вогнутости кривой) и бинормаль Л16 и воспользуемся уравнениями (И) из 77. Так как кривая гладкая, то реакция N перпендикулярна кривой, [c.219]

Таутохроны. Выше мы нашли, что движение тяжелой точки по циклоиде является таутохронным. Рассмотрим общий случай движения точки по любой заданной материальной кривой, под действием сил, тоже заданных. Говорят, что кривая является таутохроной, если на ней существует точка О такая, что движущаяся точка, предоставленная самой себе без начальной скорости, приходит в положение О за одно и то же время, каково бы ни было ее начальное положение. Точка О называется точкой таутохроназма. [c.390]

Привести к канонической форме уравнения движения точки по неподвижной или движущейся кривой. Применить затем теорему Якоби. (Доста- [c.502]

Если движущая сила равна нулю, то теорема живой силы непосредственно дает = onst. Скорость точки имеет постоянную величину во все время движения. В этом случае нормальная реакция N поверхности есть в то же время полная сила, действующая на точку поэтому эта сила, так же как и ускорение, лежит в соприкасающейся плоскости к траектории и направлена по главной нормали к этой кривой. Таким образом, главная нормаль к траектории в каждой ее точке есть в то же время нормаль к поверхности. Кривые, обладающие таким свойством, называются геодезическими линиями. Можно доказать, что геодезические линии являются кратчайшими из всех линий, которые можно провести на поверхности между двумя точками, если только эти две точки находятся достаточно близко одна от другой. Таким образом, если при движении точки по абсолютно гладкой поверхности движущая сила равна нулю, то траекторией точки будет геодезическая линия. В частности, если поверхность сферическая, то траекторией точки будет дуга большого круга этой сферы. [c.195]

Плоскую кривую линию можно рассматривать как траекторию (путь) движущейся точки в плоскости. Предположим, что точка перемещается по касательной к кривой линии. Касательная без скольжения обкатывает кривую, а движущаяся точка всегда совпадает с точкой касания. Направление движения точки указывает полукаса-тельная. На рис. 444 представлена плавная кривая АВ. [c.317]

Рассмотрим точку УИ, движущуюся по поверхности некоторого тела (например, шара) вдоль заданной кривой ЛЛ1В по закону s=/i(0, где s= AI (рис. 193). При этом само тело вращается вокруг х)си В А по закону ф=/ 2 (/), где ф — угол поворота тела. Первое из названных движений считаем относительным, а второе — переносным для точки AI. Пусть требуется найти значение a e в некоторый момент времени i=(i. Расчет сводится к следующему. [c.164]

Изменим теперь форму условия задачи, не изменяя ее содержания. Вместо автомобиля будем рассматривать земной гнар, движущийся вокруг Солнца по своей орбите. Пусть на Землю под прямым углом к плоскости ее орбиты падает луч света от некоторой звезды. Пассажира автомобиля заменим астрономом-наблюдателем, направляющим на звезду свой телескоп. Неподвижную систему координат свяжем с Солнцем. Чтобы видеть в телескоп звезду, астроному придется наклонить оптическую ось телескопа в направлении хода луча света звезды относительно Земли под углом, определяемым формулой (а). Конечно, в этой формуле следует иод t i понимать скорость света в вакууме, а иод tij — скорость движения Земли по ее орбите. Если наблюдать за звездой на протяжении года, то, очевидно, астроному будет казаться, что положение звезды на небесной сфере будет изменяться, и за год она опишет на небесной сфере замкнутую кривую. Это явление относительного отклонения луча света, связанное с движением Земли по ее орбите, называется, как известно, аберрацией света. [c.138]

О приложим вектор ОР, равный по величине и направлению скорости V движущейся точки М (рис. 20). При движении точки М по ее траектории точка Р описывает некоторую кривую, называемую годографом скорости точки М. Координаты точки Р равны по построениьэ производным от ко- у [c.29]

Точки тела, лежащие на сфере с центром в точке О, образуют сферическую фигуру неизменяемой формы, движущуюся по этой сфере. Конусы С и 5 с вершиной в точке О пересекают эту сферу по двум кривым с и с,, из которь1х первая неизменно связана с движущейся сферической фигурой, а вторая неподвижна на сфере. Движение сферической фигуры получится, если заставить кривую с, связанную с этой фигурой, катиться (без скольжения) по неподвижной кривой с . [c.75]

Рассмотрим пространственную кривую, отнесенную к неподвижным осям 01Х1У121, и движущуюся по ней точку О, координаты которой являются заданными функциями дуги л. Предположим, что движение точки О определяется уравнением л = и рассмотрим прямоугольный триэдр Охуг, образованный касательной Ох, направленной в сторону движения, главной нормалью Оу, направленной в сторону радиуса кривизны р, и бинормалью О2. [c.84]

Установившееся движение нитн. Если натяжение в какой-либо точке нерастямшмо Й ниТи, движущейся по данной кривой, равно Г, то натяжения, действующие на двух концах линейного элемент bs, дадут результи >ующую силу ЬТ, направленную вдоль касательной, и Силу [c.130]

К сожалению, мы сталкиваемся здесь с большими трудностями. Теория относительности не дает нам определенного указания на то, каким образом наблюдатель, увлекаемый неравномерным движением, отсекает в каждый момент свое пространство в пространстве-времени по-видимому, нет оснований считать это сечение плоским, как в случае равномерного движения. Но даже если бы эта трудность была преодолена, мы все равно были бы в затруднении. Действительно, тело, движущееся равномерно, должно описывать одинаковую кривую для связанного с ней наблюдателя независимо от скорости равномерного движения по отношению к осям отсчета это следует из принципа, что галилеевские оси, совершающие друг по отношению к другу движение равномерного переноса, эквивалентны. Если наше равномерно движущееся тело окружено для связанного с ним наблюдателя периодическим явлением, имеющим повсюду одну и ту же фазу, то это же должно иметь место для всех скоростей равномерного движения и это оправдывает наш метод, изложенный в первой главе. Но если движение неравномерно, то описание движущегося тела, сделанное связанным с ним наблюдателем, не может быть таким же мы совершенно не можем сказать, как он определит периодическое явление и припишет ли он ему одну и ту же фазу в любой точке пространства. [c.661]

Так как процессы диффузии и теплопроводности вблизи поверхности являются результатом одного лишь молекулярного движения, то течение будет здесь ламинарным. Однако по Л1ере удаления от S-поверхности могут возникать турбулентные движения. Форма профилей температуры и концентрации зависит от распределения скорости в пограничном слое движущейся среды. В тех местах жидкости, где преобладает турбулентное движение, только осредненные во времени значения температуры и состава будут изменяться так же плавно, как и кривые, изображенные на рис. 1-4,6. Графики мгновенных величин не будут уже плавными. Вероятно, они будут иметь как положительный, так и отрицательный наклоны. [c.41]

Один из способов построения поступательно-направляющих механизмов основан на свойствах траекторных родственников шарнирного четырехзвенника [2]. Чтобы реализовать вынужденное поступательное движение по шатунным кривым шарнирного четырехзвенника, можно использовать восьмизвенную систему двух одинаковых чегырехзвенников, к шатунам которых шарнирно прикреплен выходной шатун. Однако эту же задачу можно решить значительно проще - посредством одного из шести шесгизвенкых родственников шарнирного четырехзвенника. На рис. 3.3.3, а, б приведены схемы таких двух механизмов, у которых звено AD движется поступательно по траектории, симметричной шатунной кривой точки М исходного четырехзвенника AB D относительно центра О отрезка, соединяющего рассматриваемую точку М поступательного движения движущегося звена с точкой М. Размеры этих механизмов выражаются через параметры исходного четырехзвенника по следующим соотношениям [c.442]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...