Уравнения в вариациях для системы Гамильтона

На прямом пути удовлетворяются уравнения Лагранжа системы поэтому все выражения, стоящие в скобках под знаком интеграла в формуле (61), тождественно равны нулю. Отсюда сразу следует, что на прямом пути вариация действия по Гамильтону равна нулю, т. е. что прямой путь является экстремалью рассматриваемой вариационной задачи — на прямом пути действие по Гамильтону достигает стационарного значения. [c.279]

УРАВНЕНИЯ В ВАРИАЦИЯХ ДЛЯ СИСТЕМЫ ГАМИЛЬТОНА [c.469]

Уравнения в вариациях для системы Гамильтона. Если исходные уравнения движения имеют гамильтонову форму и допускают периодическое решение, то два характеристических показателя равны нулю. Кроме того, если ft есть собственное значение матрицы монодромии, то 1/pi и [х также являются собственными значениями. Таким образом, если характеристический показатель % не является ни вещественным, ни чисто мнимым, то другие характеристические показатели равны — к, к и —А,. Если же характеристический показатель % является вещественным или чисто мнимым, то другой характеристический показатель равен —X. [c.469]

Вариация элементов траектории. Предположим, что нам удалось с помощью теоремы Гамильтона — Якоби найти решение уравнений движения системы с функцией Гамильтона Н. Рассмотрим теперь другую задачу, когда функция Гамильтона равна Н - - К. Решение этой новой задачи получается, как мы покажем, путем интегрирования уравнений движения гамильтоновой системы чрезвычайно простого вида. [c.506]

На основании принципа Гамильтона уравнения движения системы можно по лучить, приравнивая нулю вариацию функционала [13] [c.293]

Дифференциальные уравнения возмущенного движения (2.4), получаемые методом вариации постоянных, вполне точны. Когда вспомогательная задача (для функции Гамильтона И ) отличается от исходной малыми слагаемыми, то новые переменные в этих дифференциальных уравнениях — они были постоянными во вспомогательной задаче — представляют медленно изменяющиеся функции времени, вследствие чего оказываются применимыми приемы приближенного интегрирования. В противоположность этому, излагаемый далее способ рассмотрения возмущенного движения основывается на составлении приближенных дифференци альных уравнений относительно предполагаемо м лых отклонений (вариаций) возмущенного движения от заданного невозмущенного движения. При учете лишь первых степеней этих отклонений задача сводится к рассмотрению системы линейных дифференциальных уравнений, называемой системой в вариациях. Интегрирование ее облегчается возможностью непосредственного написания некоторых частных решений в числе, равном числу произвольных постоянных в решении задачи о невозмущенном движении, отклонения от которого рассматриваются ). [c.605]

При действительном вычислении 3/ мы встречаемся с одним затруднением, которого нет в доказательстве теоремы Гамильтона. Переменная гi не остается более независимой от вариаций поэтому вариации и д. связаны с вариацией t сложным соотношением, которое следует из уравнения (1). Самый простой способ обойти это затруднение заключается в том, чтобы изменить независимую переменную, выбрав такую, значения которой располагались бы между постоянными пределами, не зависящими от времени. Пусть ), есть новая независимая переменная, пределы которой Ад и предполагаются не зависящими от С При перемещении системы параметры д , д. и t будут функциями от этой переменной [c.227]

Требование независимости вариаций 6Qi и 8pi играло в этом доказательстве весьма существенную роль. Это обстоятельство подчеркивает основное различие между методами Лагранжа и Гамильтона. В методе Лагранжа поведение системы описывается ее обобщенными координатами qi и обобщенными скоростями qi. Но переменная qi тесно связана там с переменной qi, так как она равна производной от qi по t. Поэтому при выводе уравнений Лагранжа мы должны были выражать вариации б г через независимые вариации 6 j. Это делалось с помощью интегрирования по частям, в результате чего появлялись члены d I dL [c.252]

Применение принципа Гамильтона к выводу уравнений движения. Возьмем снова принцип Гамильтона в его общей форме (15) и применим его к такой материальной системе, для которой элементарная работа L активных сил и вариация кинетической энергии 8Г при переходе от любого естественного движения к какому-нибудь синхронно-варьированному движению между одними и теми же конфигурациями в начале и конце промежутка времени выразятся в виде [c.404]

Задачу о вариации произвольных постоянных для системы (1) можно рассмотреть и иначе. Пусть решение невозмущенной системы (3) найдено при помощи уравнения Гамильтона-Якоби [c.391]

Но эти последние уравнения получаются из уравнений связей, если дифференциалы координат заменить вариациями координат эти уравнения, следовательно, соответствуют верному требованию, чтобы вариации положений были виртуальными перемещениями. Теперь выясняется, почему точка зрения Герца на принципы Мопертюи и Гамильтона внесла ограничение голо-номными системами. Именно, Герц принимает варьированную траекторию за возможную, т. е. за такую, которая удовлетворяет тем же условиям, что и действительная траектория ). [c.550]

Подробное изложение принципа Даламбера, уравнений Лагранжа, вариационных принципов, вариации произвольных постоянных, оптики Гамильтона, характеристической функции, уравнений Гамильтона — Якоби, разделения переменных, интегральных инвариантов, систематическое интегрирование систем канонических уравнений, канонические преобразования, подстановки или производящие функции, эквивалентные системы. [c.442]

Следуя идее вариации произвольных постоянных Лагранжа, Гамильтон предлагает рассматривать ki, Аг,..., не как константы, а как такие функции времени, подлежащие определению, при которых величины q , дзп , Pi, Р27--Ч Рзп> находимые из уравнений (21), удовлетворяли бы системе уравнений (22). [c.15]

Рассмотрим более общий случай, когда в разложении гамильтониана (9.10) матрицы Г и 2тг-периодически зависят от Xi,..., Хт- Уравнениями в вариациях снова являются линейные уравнения (9.11). Однако в общем случае они не приводятся к системе с постоянными коэффициентами. [c.236]

Функции qi=ц,i q ., pi=щ q , рР, ) (г = 1, п) зада-ЮТ уравнения движения гамильтоновой системы в конечной форме. Используя общую формулу для вариации действия по Гамильтону, показать, что преобразование = (pi qj, Pj, 1), р = i qj, Pj, 1) i = = 1, п) является унивалентным каноническим преобразованием, т. е. что движение гамильтоновой системы представляет собой процесс непрерывного канонического преобразования фазового пространства. [c.242]

При этом все другие параметры, как, например, скорости, должны быть получены из этих обобщенных координат. Таким образом, принцип, оставаясь механическим по своему происхождению, охватывает другие области физики. Первостепенную роль в этом расширении сферы действия принципа играет аналогия, ибо хотя по содержанию обобщенные координаты могут существенно отличаться от координат механики х, у, z, но формы связи их между собой и скоростями их изменений совпадают с соответствующими формами механики. В сущности, значение принципа Гамильтона в классической неполевой физике сводится к весьлш простому обстоятельству. Исследуется какая-либо физическая система, о которой а priori нельзя утверждать, что она удовлетворяет уравнениям Лагранжа. Непосредственно подставлять значения соответствующих функций в эти уравнения не всегда лшжно во-первых, часто трудно подобрать соответствующий вид функции, а во-вторых, неясно, будут ли она удовлетворять этим уравнениям. Поэтому на сцену выступает принцип Гамильтона. Если удастся параметры такой системы привести к виду функции L и если эта функция обратит в нуль вариацию интеграла Гамильтона, то тогда, введя эту функцию в уравнения Лагранжа, можно динамически определить систему. [c.871]

Принцип Гамильтона можно распространить и на неголо-номные системы. При выводе уравнений Лагранжа из принципа Гамильтона или из принципа Даламбера мы использовали требование голономности связей только на последнем этапе, когда считали вариации 6qj независимыми. В случае неголономной системы ее обобщенные координаты не являются независимыми и не могут быть связаны друг с другом уравнениями связи вида f(q,, q2,. .., qn, t) — Q. Однако рассмотрение неголономных систем оказывается возможным, если уравнения их связей можно представить в виде [c.53]

Именно такой метод мы применяли при выводе уравнений Лагранжа из принципа Гамильтона. Этот метод мы применим и сейчас, но только вариации величин и р будем считать теперь н,езависимыми, так как в методе Гамильтона координаты и импульсы р рассматриваются как равноправные координаты, описывающие состояние системы. [c.251]

Теорема Ливенса. В этом параграфе мы будем рассматривать только голономные системы. В 6.3 мы вывели уравнения Лагранжа из принципа Гамильтона. Естественно попытаться вывести аналогичным путем уравнения Гамильтона такая попытка приводит к весьма интересным результатам. Однако при таком выводе требуется известная осторожность, поскольку вариации величин g и w нельзя считать независимыми. В самом деле, если вариация bq задана в каждый момент времени, то вариация о) определяется уравнениями [c.531]

Укажем условия, при которых выполняется принцип Гёльдера. В каждый момент времени выбирается виртуальное перемещение бд по отношению к действительному движению составляющие бд,. являются функциями от t класса С2, обращающимися в нуль в моменты и ti- Затем выбирается функция 8t от t, также принадлежащая к классу Сг- В варьированном движении точка g + бд проходится в момент t + 8t, причем вариация не обязательно равна нулю в моменты io и ii. В случае, когда система неголо-номна, варьированный путь, вообще говоря, не будет удовлетворять уравнениям связей. Если функция 8t тождественно равна пулю, то мы снова приходим к принципу Гамильтона. [c.535]

Итак, основные этапы развития аналитической динамики таковы первым шагом явилось установление лагранжевой формы уравнений движения, затем лагранжев метод вариации произвольных постоянных и аналогичная теория Пуассона и связанные с нею проблемы интегрирования затем Гамильтон представил интегральные уравнения посредством единственной характеристической функции, определяемой а posteriori посредством интегральных уравнений, предполагаемых известными, или из того условия, что она должна одновременно удовлетворять двум дифференциальным уравнениям в частных производных Гамильтон же нашел новую форму уравнений движения Якоби свел интегрирование дифференциальных уравнений динамики к нахождению полного интеграла единственного дифференциального уравнения в частных производных он же развил теорию последнего множителя системы дифференциальных уравнений движения Остроградский рассмотрел проблему интегрирования уравнений динамики Раус нашел новую форму дифференциальных уравнений движений Пуанкаре развил теорию интегральных инвариантов наконец, [c.848]

Соотношение, открытое Гамильтоном, дает новые заключения относительно метода вариации постоянных. Этот метод покоится на нижеследуюп1 вм интегралы системы дифференциальных уравнений динамики содержат известное число произвольных постоянных, значения которых в каждом отдельном случае определятся через начальные положения и начальные скорости движущихся точек. Если эти последние получают во время движения толчки, то благодаря этому изменяются только значения постоянных, а форма интегральных уравнений остается та же. Например, если планета движется по эллипсу вокруг солнца и нолучает во время движения толчок, то она будет после этого двигаться по новому эллипсу или, может быть, по гиперболе, во всяком случае по коническому сечению, а форма уравнений остается la же. р]сли такие толчки происходят не моментально, а продолжаются непрерывно, то явление можно рассматривать так, как будто постоянные изменяются непрерывно и притом таким образом, что эти изменения в точности изображают действие возмущающих сил. Эта теория вариации ностоян-дых представится в течение нашего исследования в новом свете. [c.7]

Заключаем, что сравнение двух соотношений (8.40) и (8.41), если принять во внимание независимость вариаций канонических переменных, приводит к системе уравнений Гамильтона для релятивистского гинерреактивного движения точки в канонических переменных следуюш его вида [c.258]

Зафиксируем значение интеграла энергии, отвечающее частному решению zo(-), и ограничим уравнения Гамильтона (5.15) на (2п — 1)-мерную энергетическую поверхность H z) = H zo -)) = = onst, в результате получим автономную систему дифференциальных уравнений с тем же частным решением. Этому решению отвечают приведенные уравнения в вариациях (порядка 2п — 2) и приведенная группа монодромии. Из теоремы Уиттекера о понижении с помощью интеграла энергии порядка уравнений Гамильтона вытекает гамильтоновость приведенной системы уравнений в вариациях. Следовательно, матрицы из приведенной группы монодромии также являются симплектическими. [c.364]

Как и в случае конечномерных динамических систем, в области задач об оптимальном управлении системами с распределенными параметрами сохраняют полную работоспособность усовершенствованные методы классического вариационного исчисления. При этом и здесь основное внимание было уделено составлению необходимых условий минимума для экстремальных задач со связями, трактуемыми как проблема Майера — Больца. Главным образом это было сделано для задач, связанных с уравнениями эллиптического типа. Было показано, что в таких типичных задачах, возникающих из проблем оптимального управления, необходимые условия стационарности (уравнение Эйлера и естественные граничные условия, а также условия Вейерштрасса Эрдманна) составляются при помощи обычных приемов. Критерии опираются снова на множители Лагранжа которые здесь зависят уже обычно от пространственных координат, а соответствующие дифференциальные уравнения снова конструируются исходя из подходящих форм функции Гамильтона. Условия стационарности дополняются необходимым условием Вейерштрасса сильного относительного минимума. Разумеется, это условие, которое записывается через условие экстремальности функции Гамильтона на оптимальных решениях, имеет смысл, аналогичный соответствующему условию принципа максимума. Важно, однако, заметить, что при работе с модификациями классических методов вариационного исчисления в случае уравнений с частными производными проявляются некоторые новые черты. В результате получаются условия оптимальности, более сильные, нежели известные в настоящее время обобщения принципа максимума на системы, описываемые уравнениями в частных производных. Упомянутые черты проявляются, в частности, в связи с тем обстоятельством, что приращение минимизируемого функционала при изменении объемного управления (за счет варьирования от оптимального управления) в пределах области достаточно малой меры зависит не только от вариации управления и меры области, но также существенно определяется и предельной формой области варьирования. Таким образом, получается, что при изменении формы области, определяющей вариацию, могут, получаться более или менее широкие необходимые условия экстремальности. Как отмечено выше, эффект анизотропии варьирования пока был получен только классическими методами. Причины этого, по-видимому, различны некоторые работы, посвященные принципу максимума, относятся к таким задачам, где этот эффект вообще не проявляется, в других случаях эффект анизотропии исключался вследствие ограничения при исследованиях лишь вариациями специального вида. Полезно также заметить, что описываемый эффект анизотропии расширяет возможность управления и оптимизации в обширном классе случаев независимо от типа исходных уравнений. Эффективность классических методов вариационного исчисления была проверена на конкретных типах задач. В частности, таким путем была исследована задача об оптимальном распределении проводимости электропроводной жидкости (газа) в канале магнитодинамического генератора электрической энергии. Эта задача как раз доставляет пример вариационной проблемы, где эффект анизотропии варьирования играет существенную роль. Развитию классических методов исследования посвящены работы К. А. Лурье. [c.239]

Вариация элементов. Рассмотрим две дниамические системы с функциями Гамильтона Ни Н + К. Дифференциальные уравнения движеиия этих систем имеют вид [c.379]

Метод вариации произвольных постоянных. Б предыдущих параграфах мы подробно рассмотрели уравнение Гамильтона-Якоби и показали, как с его помощью интегрируется каноническая система диференциальных уравнений. Однако в большинстве случаев этот метод оказывается неприменимым ввиду того, что в задачах небесной механики уравнение Гамильтона-Якоби большей частью не принадлежит ни к одному из рассмотренных интегрируемых типов и даже к более общим типам, указанным Бургатти. Однако на практике метод Гамильтона-Якоби все-таки можно использовать, соединяя его с методом вариации произвольных [c.413]

Первое слагаемое есть кинетическая энергия системы (ка1 обычно /г 1 = /г. =0 — фиктивные интервалы (см. гл. 1, 4)). второе — ее тепловая энергия. В прпицппе, для построения уравиений, описывающих эволюцию рассматриваемой снстемы, нужно определить разностный апалог действия по Гамильтону 8,.. вычислить его первую вариацию, приравнять ее пулю и т. д. Однако можпо непосредственно воспользоваться общими формулами, нолученпымн в п. 1, и в частности, уравнениями Лаграпжа (4.6 ) [c.388]

Символ вариации 5 означает первый дифференциал по переменной а, т.е. 6о = 5о/5а8а. Обозначим (/. a)5/ + бq( а) = Aq и возьмем в качестве кривых семейства Г(а) фазовые траектории механической системы, удовлетворяюшие уравнениям Гамильтона [c.156]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...