Символы вариации

Вспоминая теперь, что символ вариации означает просто дифференцирование по параметру а, и используя обычные правила дифференцирования интеграла по параметру в случае, когда пределы интегрирования зависят от параметра, получаем [c.275]

При варьировании потенциалов наследственности условимся применять символ вариации только к множителю, стоящему впереди интегрального оператора, так что, например. [c.603]

Д символ вариации, включающей вариацию времени, [c.410]

Понятие вариации имеет в вариационном исчислении такое же фундаментальное значение, как и понятие дифференциала в дифференциальном исчислении. Вариацией функции у — у (л ) называют допустимое по условиям данной задачи малое изменение этой функции. Вариация функции у обозначается Ьу. Аналогично вводят понятия вариаций первой и высших производных функций обозначают их соответственно бг/, Ьу" и т. д. Заметим, что (б /) = Ьу т. е. символ вариации 5 можно выносить за знак дифференцирования. [c.382]

Функции, входящие в разрешающую систему уравнений устойчивости, представим в виде (символ вариации б опущен) [c.83]

Мы можем теперь воспользоваться этими только что упомянутыми соотношениями, чтобы выразить малые вариации бм удельной работы м для этого нужно заменить прямое й на знак варьирования б. Однако мы должны отдавать себе полный отчет в том, что в соответствующих выражениях символ вариации б может иметь иное значение и что если мы затем используем соответствующие две формы вариации бо) энергии деформации [c.145]

Предположим, что при виртуальном перемещении массовые силы, поверхностные нагрузки и температура не изменяются. Тогда можно вынести символ вариации в правой части (15) за знак интеграла. Полагая далее, что на поверхности Агь, на которой заданы перемещения, должно быть б Цг = 0, приведем урав-ление (15) к виду [c.92]

Символ б, применяемый для возможных приращений, будет пониматься теперь как символ вариации в смысле вариационного исчисления (соответственно значениям первой производной). При последующем рассмотрении в основу будет положено упругое поведение материала, т. е. будет предполагаться суще- [c.90]

Символ вариации вынесен за знак интеграла, так как в теории упругости Ж и Ж являются функциями состояния, т. е. зависят от мгновенного состояния тела и не зависят от того, каким способом оно достигнуто. В левой части (Д.36) символ вариации можно вынести за знак интеграла только тогда, когда внешние силы--обладают потенциалом. Тогда принцип Гамильтона — Остроградского можно представить в виде [c.201]

Для обозначения виртуального перемещения мы использовали символ вариации б. Поскольку время фиксировано, в действительности речь идет о бесконечно малом изменении (вариации) координат. Поэтому соответствующие математические операции осуществляются так же, как в вариационном исчислении. в частности, вычисление вариации функции проводится аналогично вычислению полного дифференциала. [c.14]

ТОТ же самый символ вариации (заметим, что этот же символ применялся и при выводе уравнений Лагранжа из принципа Гамильтона в теории поля). [c.114]

Так как преобразование свободное, то мы можем принять за независимые переменные д и Q. Пусть, далее, б есть символ вариации д, а б" —вариации Q. Тогда из (5.112) получим [c.315]

В математике символом d обозначается, как известно, дифференциал, а символом 6 обозначают так называемую вариацию функции. [c.359]

Рассмотрим, далее, виртуальные изменения (вариации) состояния нашей системы, под которыми понимают произвольные, но возможные, т. е. допустимые условиями задачи, изменения состояния. В данном случае, поскольку имеется тепловой контакт между частями системы, возможны вариации их внутренних энергий, но невозможны вариации энергии всей (изолированной) системы. Что же касается, например, объемов, то по условиям задачи их вариации невозможны ни у частей, ни у системы в целом. Поскольку система равновесная, невозможны никакие самопроизвольные изменения ее состояния. Следовательно, в отличие от действительно происходящих в системе изменений рассматриваемые виртуальные изменения могут не соответствовать термодинамическим законам и постулатам, которым должны подчиняться все действительно протекающие процессы. Иначе говоря, направление виртуальных изменений может совпадать с направлением любых действительных изменений в неравновесной системе, но обратное утверждение неверное. В рамках термодинамики вариации состояний или термодинамических переменных — это некоторый мысленный эксперимент над интересующей системой, в ходе которого определенные свойства ее считают спонтанно изменившимися по сравнению с их равновесными значениями и, далее, следят, как система реагирует (в соответствии с законами термодинамики) на такие внешние возмущения. Если же учесть микроскопическую картину явления, то становится ясным, что подобные изменения свойств действительно происходят в природе и без каких-либо внешних воздействий на систему с помощью флюктуаций макроскопических величин природа сама непрерывно осуществляет упомянутый эксперимент. Бесконечно малые первого порядка — виртуальные и действительные изменения термодинамических величин — мы будем обозначать символами б и d соответственно. [c.51]

Символ означает изохронное варьирование, то есть приращение значения функции при фиксированном значении независимой переменной. Если независимая переменная тоже изменяется, то соответствующий дифференциал (полная вариация функции) выразится формулой dxi = 6х -(- ,- dt. Учитывая это равенство, получим [c.607]

Наряду с полным дифференциалом рассмотрим другой вид бесконечно малого приращения функции, вычисляемый в предположении, что аргумент t является фиксированным параметром, а X, у, Z,. .. представляют изменяющиеся независимо от аргумента t величины. Такого рода бесконечно малое изменение функции назовем вариацией и обозначим символом 6f. Согласно принятому определению будем иметь следующую формулу вариации функции [c.307]

Согласно только что приведенному определению вариаций возможным перемещениям естественно приписать символ бг,-, а их проекциям — символы бл ,-, бу,-, бг,-. В обобщенных координатах возможные перемещения определяются совокупностью вариаций этих координат б ь bqi,. .., qr. [c.307]

Остановимся сначала на этом случае условимся обозначать символом 6 вариации, соответствующие перемещению Р по дуге Е или, что приводится к тому же, перемещению Р по дуге . [c.415]

Основная формула. — Мы будем предполагать, что существует силовая функция и что плотность зависит только от давления. Воспользуемся методом Лагранжа будем рассматривать переменные х,у, г как функции от и от их начальных значений а, Ь, с при = 0. Когда изменяется только С, то точка X, у, г описывает траекторию одной й той же частицы. При изменении г, Ь, с мы переходим от одной траектории к другой. Все рассматриваемые нами функции будем считать зависящими от а, Ь, с, Ь. Условимся обозначать символом й их дифференциалы относительно t и символом 5 их полные дифференциалы относительно а, Ь, с. Для различия будем называть последние дифференциалы вариациями. [c.306]

Вариации функций мы будем обозначать символом б. Таким образом, будем иметь [c.45]

Переход к задаче на обычный экстремум можно здесь провести так же, как и в случае дискретной системы, т. е. вводя семейство возможных траекторий и характеризуя их значениями некоторого параметра а. Однако так как по б-вариациям у нас накоплен достаточный опыт, то мы можем и не вводить этого параметра, а пользоваться самим символом б, помня при этом, что [c.381]

Аналогичным образом можно поступить и с интегралами, содержащими вариации А Переставляя местами символы б и [c.382]

Лагранжу принадлежит замечательная идея ввести для вариации специальный символ б, чтобы подчеркнуть ее виртуальный характер. Сходство с обозначением дифференциала d напоминает, что оба символа означают бесконечно малое изменение. Однако d относится к действительным, а б — к виртуальным изменениям. Так как в задачах, связанных с вариациями определенных интегралов, встречаются одновременно оба типа изменений, это различие в обозначениях оказывается весьма существенным. [c.61]

В силу изложенного соображения мы назовем вариациями те дифференциалы, которые будут обозначены символом S, и сохраним название дифференциалов для тех величин, которые будут обозначаться с помощью символа d. Впрочем, те же самые форм -лы, какие дают обыкновенные дифференциалы, дадут и вариации, если только вместо символа d поставить символ S. [c.114]

Итак, следует иметь в виду, что символы с и S обозначают два различных, совершенно независимых друг от друга, вида дифференциалов, поэтому в том случае, когда эти символы встречаются вместе, должно быть совершенно безразлично, в каком порядке они стоят ведь если мы допустим, что какая-либо величина изменяется двумя различными способами, то мы всегда получим один и тот же результат, в каком бы порядке эти изменения ни происходили. Таким образом д dx представляет собою то же самое, что d8x, и аналогично 8d x — то же, что d4x, и так далее. Следовательно, мы можем всегда по желанию изменить порядок этих символов, не изменяя значения дифференциалов для нашей задачи представляется уместным ставить символ d перед S с тем, чтобы данное уравнение содержало только вариации координат и дифференциалы этих вариаций. [c.118]

Указанные вариации, выраженные символом 8, относятся к изменениям, испытываемым скоростями вследствие введения новых связей, причем движущие силы остаются неизменными. Так, например, в случае твердого тела вариации S могут возникнуть вследствие введения в систему неподвижной оси. Прим. Бертрана.) [c.375]

Так как символы с и S выражают совершенно независимые друг от друга дифференциалы или вариации, то величины dSx, dSy, dSz должны представлять собою то же самое, что и Sdx, Sdy, Sdz. Сверх того, ясно, что [c.380]

Так как вторая часть приведенного уравнении представляет собою полный дифференциал по отношению к символу d, то, значит, и первая часть его тоже должна быть полным дифференциалом по отношению к тому же символу и независимо от символа S но это невозможно, так как члены первой части содержат просто вариации 8а , 8у, Sz,. .. , 8 , 8ф, 89,. .. и совершенно не содержат дифференциалов этих вариаций. [c.396]

S останутся только простые вариации, обозначенные символом S, а члены, стоящие вне знака S, будут относиться только к крайним значениям интегралов. [c.411]

Продифференцируем эти уравнения в смысле символа S ), который мы отнесем исключительно к вариациям произвольных постоянных, содержащихся в выражениях переменных ф, ф,. . . , функцией которых является так как символ d, находящийся в, dZ, dZ [c.415]

Точно так же, если для выражения других вариаций тех же произвольных постоянных мы применим символ Д, то мы получим [c.415]

Вообще, если мы обозначим символом о вариации 2 по отношению к произвольным постоянным а, Ь, с,. . ., то мы будем иметь [c.96]

В этой формуле дифференциалы, обозначенные через 8, должны относиться к вариациям всех постоянных величин а, Ь, с,. .., но дифференциалы, обозначенные через Д, могут относиться к вариации каждой из этих постоянных в отдельности (упомянутый выще отдел, п. 10). Следовательно, относя символ Д последовательно к а, Ь, с,. . мы получим [c.100]

Эти формулы следует теперь продифференцировать, варьируя три постоянные величины а, е, с вариации но этим постоянным будем обозначать символом 8 этим путем мы сначала получим [c.104]

Равенство нулю на действительном напряженно-деформированном состоянии функционала I. Рассмотрим виртуальное состояние, которое сильно отличается от действительного. Тогда в формулах (XIV.37) символы вариации 6 необходимо заменить на символы конечных приращений Д. Например, <т = о -j- Да. Запишем для этого состояния уравнение (XIV.36). Интеграл по объему V представим в виде суммы двух интегралов по пластически деформируемому объему V p и жесткому объему Vg. Интеграл по поверхности 2 представим в виде суммы трех интегралов по поверхностям 2 , S и 2,. Учтем, что на 2 р = р , а на 2 v l = Подынтегральное выражение в интеграле по 2 представиы согласно (X1V.48) в виде [c.315]

Предположим, что во время виртуального перемеш ения массовые силы, поверхностные нагрузки и температура не изменяются. Тогда в правой части уравнения (10) можно символ вариации вынести за знак интеграла. Полагая далее, что на поверхности тела Аи, на которой заданы перемеш ения, должно быть бИг = О, приводим урзвнение (10) к виду [c.468]

Этот результат совпадает с уравнением (19.2), которое, таким образом, входит в формализм Нётер как частный случай. Следовательно, символ вариации в записи принципа Гамильтона в самом деле идентичен символу, использованному для функциональной вариации. [c.116]

Символ вариации 5 означает первый дифференциал по переменной а, т.е. 6о = 5о/5а8а. Обозначим (/. a)5/ + бq( а) = Aq и возьмем в качестве кривых семейства Г(а) фазовые траектории механической системы, удовлетворяюшие уравнениям Гамильтона [c.156]

Возможное перемещение точки, в отличие от действительного dUj, будем обозначать б /, где символ 6 носит название вариации и для него приняты те же правила, что и для оператора-дифференциала d. Следует лишь помнить, что эти правила не распространяются на аргументы Р,- функции и-,. Другими словами, вариация функции (в данном случае щ) есть изменение этой функции вследствие изменения вида самой функции при фиксированных координатах Xh точки Л/. То же самое можно сказать о вариациях деформаций бе у. Важную роль в теории упругости и в целом в МДТТ играют переменные величины, называемые функционалами. Будем говорить, что задан некоторый функционал [c.121]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...