Теорема Уиттекера

Замкнутые траектории. Теорема Уиттекера. Как мы уже знаем (п. 15), траектории консервативной динамической системы, при--надлежащие к определенной связке, дают интегралу [c.458]

Теорема Уиттекера ). Интересно попытаться дать элементарный вывод принципа наименьшего действия в форме Якоби для простого случая плоского движения частицы в поле консервативных сил. Рассмотрим в плоскости дугу С. Обозначим через s длину этой дуги между начальной точкой А и текущей точкой Р, а через 0 — наклон внешней нормали в точке Р к оси Ох. Будем предполагать, что вдоль кривой С угол 0 все время возрастает вместе с s и является дифференцируемой функцией от s. В частности, если кривая замкнута, то она выпуклая. [c.550]

Эта теорема в зарубежной литературе называется теоремой Уиттекера— Шеннона (1949 г.). В советской литературе эта теорема известна как теорема В. А. Котельникова (1933 г.). — Прим. перев. [c.459]

Ф О, то решения y , t),Xg t) з 2) исходных уравнений можно считать функцией т. По теореме Уиттекера, функции Уи т),Хц т) (в > 2) удовлетворяют каноническим уравнениям [c.184]

Доказательство теоремы Уиттекера. [c.68]

Уд ра продолжительность, порядок величины 517 Удельное давление 533 Уиттекер 4iM Уиттекера теорема 459 Упругие тела 467 [c.551]

Уравнение (S ) легко сводится к хорошо известной форме теоремы Ламберта. См. Уиттекер, Аналитическая динамика. [c.893]

Доказательство теоремы 1 основано на методе работы [81] (см. п. 1 2). Оно использует тот факт, что в каждом классе свободно гомотопных путей на М имеется неустойчивая замкнутая геодезическая. Существование замкнутых геодезических (без анализа устойчивости) на многообразиях с выпуклой границей было отмечено в классических работах Уиттекера [163] и Биркгофа [18]. Вместо группы гомологий, примененной для доказательства неинтегрируемости в случае пустого дМ, здесь используются Другие топологические инварианты [25]. [c.142]

Теорема Якоби Пуассона. Уравнения Уиттекера [c.80]

Теорема 10 (Э.Уиттекер, [57]). Функции х т), у т) удовлетворяют каноническим уравнениям [c.67]

Теорема 13 установлена Якоби в 1837 г. Следует заметить, что обратная теорема о том, что решение уравнения с частными производными типа Гамильтона приводится к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений (дифференциальных уравнений характеристик), имеющей в рассматриваемом случае форму Гамильтона, высказана Пфаффом и Коши в развитие еще более ранних исследований Лагранжа и Монжа, еще до того как Гамильтон и Якоби начали заниматься вопросами динамики (Э. Уиттекер [57]). Наиболее эффективный прямой метод решения уравнения Гамильтона— Якоби — это метод разделения переменных полный интеграл есть сумма слагаемых, каждое из которых зависит только от одной из переменных Ж1,. .., ж , I. [c.77]

Теперь используем формулу (27.4.5) для доказательства теоремы Уиттекера о суш,ествовании простых периодичесих траекторий. Выберем значение h таким, чтобы во всей рассматриваемой области выполнялось неравенство /г. >. F. Пусть С — простая замкнутая выпуклая кривая указанного выше типа рассмотрим функцию [c.551]

Зафиксируем значение интеграла энергии, отвечающее частному решению zo(-), и ограничим уравнения Гамильтона (5.15) на (2п — 1)-мерную энергетическую поверхность H z) = H zo -)) = = onst, в результате получим автономную систему дифференциальных уравнений с тем же частным решением. Этому решению отвечают приведенные уравнения в вариациях (порядка 2п — 2) и приведенная группа монодромии. Из теоремы Уиттекера о понижении с помощью интеграла энергии порядка уравнений Гамильтона вытекает гамильтоновость приведенной системы уравнений в вариациях. Следовательно, матрицы из приведенной группы монодромии также являются симплектическими. [c.364]

Теорема Уиттекера подсказывает способ автономизации уравнений Гамильтона с зависящим от времени гамильтонианом H x,y,t). С этой целью увеличим размерность фазового пространтва Р на две единицы, добавляя две канонически сопряженные переменные Хп+1 = t, уп+1 И ВВОДЯ новый гамильтониан [c.68]

Система Лиувилля впервые рассматривалась в Journal de math., XIV, 1849, стр. 257. Интегрирование можно выполнить непосредственно с помощью уравнений Лагранжа, не прибегая к теореме Гамильтона — Якоби см., например, Уиттекер [27]. Другое элементарное доказательство см. далее в этой книге ( 26.9). [c.329]

Об аномалиях, уравнении Кеплера, теореме Ламберта см. Аппель [2], 1, стр. 332 Уиттекер [28], стр. 101—110. Также Ma millan [17], I, стр. 278—292, где рассмотрены н отталкивательные силы. [c.105]

Если у области возможных движений есть края, то периодические движения натуральной системы могут быть уже двух типов вращения и либрации. В этой ситуации результаты Уиттекера и Биркгофа не применимы из-за вырожденнос-ти метрики Якоби на границе. Легко указать примеры, когда вращения отсутствуют. Первый общий результат о либрационных периодических движениях натуральных механических систем принадлежит Г. Зейферту [90], доказавшему существование либраций в случае, когда область возможных движений диффеоморфна п-мерному диску. В работе автора [58] доказано существование либрационных решений для случая, когда область возможных движений диффеоморфна N х [О, 1], где N — гладкое компактное многообразие. Методы доказательства существования либраций в работах [58, 90] имеют некоторые общие моменты. Доказательство теоремы о либрациях, проведенное в этой главе, отличается от первоначального [58]. [c.147]

Замечание. Эта теорема в упрощенном варианте (утверждается только интегрируемость в квадратурах) была сформулирована Буром и обобщена Ж. Лиувиллем. Ее классическое доказательство имеется, например, в трактате Э. Уиттекера [167]. Приведенная формулировка теоремы принадлежит В. И. Арнольду [6]. [c.74]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...