Принцип Мопертюи

Так как ири применении принципа Мопертюи—-Лагранжа при переходе от одного пунш к другому варьируются не только координаты и скорости точен системы, но и время, то в этом случае рассматривается полная вариация функции AW. [c.410]

Утверждение это является аналогом принципа Гамильтона для консервативных систем и носит название вариационного принципа Мопертюи — Лагранжа, [c.331]

Интересная аналогия усматривается при сопоставлении принципа Мопертюи — Лагранжа для консервативных систем с известным принципом Ферма, устанавливающим путь луча света в неоднородной среде. Согласно принципу Ферма свет в неоднородной среде распространяется так, чтобы было минимальным время прохождения луча света через среду [c.332]

Запишем теперь принцип Мопертюи — Лагранжа для материальной точки массы т [c.332]

Для такой системы функционал принципа Мопертюи-Лагранжа-Якоби представляется в виде [c.617]

Следствие 8.12.2. Для системы материальных точек функционал принципа Мопертюи-Лагранжа-Якоби приводится к виду [c.618]

Л. Эйлер впервые строго доказал принцип Мопертюи для случая движения материальной точки, находящейся под действием центральной силы (1744 г.). Наконец, Ж. Лагранж распространил принцип наименьшего действия на широкий класс задач динамики системы. [c.201]

В этом случае строгое решение задачи, основанное на волновой теории, практически не отличается от решения, найденного методом геометрической (лучевой) оптики. Установив, как зависит показатель преломления от свойств среды, т. е. от силовых полей, в которых движется электрон, мы можем рассчитать его движение по правилам геометрической оптики. С другой стороны, можно рассчитать движение электрона по обычным законам механики, зная силы, действующие на электрон. На возможность рассмотрения механической задачи с оптической точки зрения указывалось уже давно. Более 100 лет назад Гамильтон (около 1830 г.) показал, что уравнениям механики можно придать вид, вполне аналогичный уравнениям геометрической оптики. Первые можно представить в виде соотношения, выражающего принцип наименьшего действия (принцип Мопертюи, из которого можно получить уравнения ньютоновой механики), а вторые — в виде соотношения, выражающего принцип наименьшего оптического пути (принцип Ферма, из которого следуют законы геометрической оптики, см. 69). Оба эти принципа имеют вполне тождественное выражение, если подходящим образом ввести понятие показателя преломления. Блестящим результатом современной теории является то обстоятельство, что устанавливаемый ею показатель преломления связан с параметрами, характеризующими силовые поля, в которых движется частица, именно так, как требуется для отождествления принципа [c.358]

Принцип Мопертюи — Лагранжа [c.340]

ПРИНЦИП МОПЕРТЮИ - ЛАГРАНЖА 341 [c.341]

Великий геометр (Лагранж), столь блестяще обосновавший науку о движении на принципе виртуальных скоростей, не пренебрег возможностью улучшить и обобщить принцип Мопертюи, касающийся наименьшего действия, и, как известно, этот принцип зачастую с большой пользой применяется геометрами. [c.421]

С другой стороны, для одной материальной точки с массой т принцип Мопертюи — Лагранжа дает (поскольку - -И = h) [c.133]

Рис. 54. Вариация траектории в принципе Мопертюи. Ввиду того что энергия не варьируется, точка q исходной траектории и точка q + Sq варьированной траектории относятся к различным временам t VL t - - St. Конечной точке Р соответствует на варьированной траектории точка Q

Согласно принципу Мопертюи, эти геодезические линии одновременно являются и кратчайшими линиями или, говоря в более общем смысле (ср. стр. 276), линиями экстремальной длины. В силу применимости закона сохранения энергии, скорость движения по траектории постоянна. Путем соответствующего выбора нормировки энергии можно скорость сделать равной единице и, в соответствии с этим, заменить 4 на [c.284]

Принцип Мопертюи-Лагранжа [c.482]

Рассматриваемый в этом параграфе принцип Мопертюи-Лагранжа дает критерий, позволяющий выделить прямой путь среди всех окольных, удовлетворяющих упомянутым выше свойствам 1 и 2. [c.483]

Принцип Мопертюи-Лагранжа. При заданной константе энергии h уравнения движения консервативной или обобщенно консервативной системы могут быть записаны в форме уравнений Якоби (см. уравнения (36) п. 152). Эти уравнения имеют форму уравнений Лагранжа второго рода, где в качестве функции Лагранжа L выступает функция Якоби Р, а роль независимой переменной играет обобщенная координата qi. По аналогии с действием S по Гамильтону введем действие по Лагранжу [c.483]

Равенство (4) выражает принцип Мопертюи-Лагранжа, заключающийся в том, что среди всех кинематически возможных путей, удовлетворяющих условиям, описанным в предыдущем пункте, прямой путь выделяется тем, что для него действие по Лагранжу имеет стационарное значение. [c.484]

Отметим, что в интеграле (3) полностью исключено время, и принцип (4) содержит только геометрические элементы. В такой форме принцип Мопертюи-Лагранжа впервые был представлен Якоби. Поэтому приведенную выше формулировку принципа Мопертюи-Лагранжа часто называют принципом наименьшего действия Якоби. [c.484]

При применении принципа Мопертюи-Лагранжа в форме (4), (5) следует помнить, что в (5) время t не фиксируется, а может изменяться при переходе от прямого пути к окольному и от одного окольного пути к другому окольному. Кроме того, полная энергия Т + П одна и та же на всех сравниваемых путях. [c.484]

Принцип Мопертюи-Лагранжа 485 [c.485]

Пример 2 (Движение материальной точки в однородном поле тя-ЖЕСТИ ). Эта задача была рассмотрена в п. 219 для иллюстрация принципа Гамильтона-Остроградского. Здесь мы ее применяем для иллюстрации принципа Мопертюи-Лагранжа, что поможет яснее представить разницу между этими принципами. [c.485]

Принцип Мопертюи-Лагранжа 487 [c.487]

XXX. Пользуясь этим принципом, мы найдем в действительности те же кривые для движения тел, находящихся под действием любых сил, к которым нас приводят обычные принципы механики. В самом деле, этот принцип вовсе не отличается от того, которым я пользовался для определения этих же кривых по методу максимумов и минимумов я там показал совсем как этого требует принцип Мопертюи, что, если обозначить через Мт = й [c.76]

XXV. Таково, следовательно, данное нами доказательство тождества обоих принципов Мопертюи из этого доказательства видно, что один из принципов является необходимым следствием другого и что, доказав спра- [c.84]

Установлено, что этот принцип Мопертюи, примененный к рефракции, примиряет конечные причины с механикой, по крайней мере в данном случае, чего еще никто не сделал. Этим примирением будут интересоваться в большей или меньшей степени в зависимости от большего или меньшего интереса к конечным причинам (см. это слово). [c.112]

Этот принцип отличается от принципа равенства нулю живой силы по двум соображениям в принципе Мопертюи речь идет не о нуле, а о минимуме и, кроме того, в действие вводится время, которое вовсе не входит в живую силу. [c.112]

Посмотрим, что произойдет с принципом Мопертюи уравнение живых сил имеет вид [c.500]

Принцип Мопертюи применим как к тому случаю, с которым мы имеем дело, так и к случаю абсолютного движения но имеется существенная разница в отношении того, что из него следует в каждом из этих случаев. [c.501]

Эта формула устанавливает зависимость между действием по Лагранжу W и действием по Гамильтону S Сопоставим теперь принцип Мопертюи— Лагранжа с принципом Гаммльтона — Остроградского. В принципе Мопертюи — Лагранжа сравниваются движения консервативной системы, oeepuiaejWM с одной и той же энергией, тогда как в принципе Гамильтона —Остроградского сравниваются движения, совершаемые за один и тот же промежуток времени. [c.411]

Вариационный принцип Мопертюи — Лагранжа. Рассмотрим теперь координатное пространство q и будем считать, что ось в этом пространстве играет такую же роль, какую в общем случае в расширенном координатном пространстве играла ось времени. В этом пространстве выберем дне точки и проведем между ними прямой путь, соответствующий уравнениям Якоби для рассматриваемой консервативной (обобщенно консервативной) системы. На этом пути /y = /i = onst. Проведем между этнми же точками однопараметрический пучок окольных путей, расположенных в изоэнергетическом подпространстве , т. е. таких, что вдоль них тоже Я = Л. В качестве функционала на этом пучке возьмем интеграл [c.330]

Этот принцип иногд.а называют принципом Мопертюи, который высказал его первым, но в весьма неясной форме. Своим установлением этот принцип обязан Эйлеру и особенно Лагранжу (сборник Вариационные принципы механики, Физматгиз, 1959). [c.230]

Следствие 8.12.3. (Принцип Якоби). Пусть система с го-лономными связями находится под действием потенциальных в обычном смысле) сил, а связи не зависят явно от времени. Тогда функцгюнал принципа Мопертюи-Лагранжа-Якоби представляется в форме [c.619]

XIII. И как раз в в этой формуле заключается другой принцип Мопертюи, рассматривающий движение, хотя с первого взгляда он может показаться несколько иным. Чтобы показать это замечательное соответствие, я замечу только, что когда тело движется, находясь под действием упомянутых сил V, V, V , и т. д., усилие Ф, которому подчиняется тело, выражает в то же самое время живую силу тела или произведение массы тела М на квадрат его скорости. Следовательно, если положить его скорость равной и, то выражение, которое должно ъпъ минимумом, будет JAiuu ii но udt выражает элемент пространства, пробегаемого телом за время dt и, следовательно, полагая это пространство равным ds, мы получим jMuds для приравнивания минимуму. То есть нужно в каждый момент умножить массу тела М на скорость и, кроме того, на пробегаемое пространство ds сумма всех этих произведений должна быть минимумом. [c.81]

XXIV. Очевидно, Мии и Mvv выражают здесь живые силы каждого из двух тел, так что сумма живых сил равна onst — Ф или просто равна Ф, если включить в нее постоянную и следовательно, сумма живых сил и сумма усилий в каждый момент времени выражаются одной и той же формулой. Следовательно, если во время движения формула Ф dt является максимумом или минимумом, как требует принцип равновесия Мопертюи, то это абсолютно то же самое, что Мии dt Mvv dt или Ми Мт -f + J iVw Мп является максимумом или минимумом. Но Ми Мт, по Мопертюи, обозначает количество действия тела М и iVv-N —количество действия тела М за время dt. Следовательно, оба принципа Мопертюи вполне согласуются также и в более широком смысле. [c.84]

XXVIII. Следовательно, если это большое преимущество свойственно принципу Мопертюи, то нет никакого сомнения в том, что этот принцип содержит в себе сущность почти всех наших знаний в Науке о равновесии и что он должен рассматриваться как истинная основа этой Науки и как наиболее нерушимый закон Природы. Более того, нельзя не согласиться, что этот принцип — наиболее удачное и наиболее важное открытие из тех, которые когда-либо были сделаны в этой Науке, потому что до сих пор не могли найти такой принцип, который был бы общим для всех случаев равновесия. И без сомнения, заслуживает наибольшего внимания то, что этот принцип в то же время открывает нам, так сказать, истинное намерение [intention]. Природы, которая действует с возможно наименьшими затратами. [c.85]

Говоря в этой статье о принципе наименьшего действия, я хотел бы, чтобы под этим понимали не только первоначальную форму этого принципа, принадлежащую П. де Мопертюи ), которая, между прочим, лишь много позже (это сделал Лагранж) получила точное определение условий варьирования и полное докаэательство. Я хочу под этим названием, как самым старым и наиболее известным, понимать также различные преобразованные формы этого предложения, которые были развиты из принципа Мопертюи У. Гамильтоном ) Последний составил два дифференциальных [c.430]

Оптика (1976) -- [ c.358 ]

Теоретическая механика Том 1 (1960) -- [ c.208 ]

Симметрии,топология и резонансы в гамильтоновой механике (1995) -- [ c.136 ]

Биллиарды Введение в динамику систем с ударами (1991) -- [ c.18 ]

Аналитические основы небесной механики (1967) -- [ c.153 ]

Основные принципы классической механики и классической теории поля (1976) -- [ c.28 ]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...