Лагранжиана вектор

Здесь Еж,. . , Yzx — линейные формы компонент тензора напряжений Т, определяемые по (3.2.8) гл. III и выражаемые формулами (3.1.8) гл. III е—тензор, задаваемый этими формами его компонент и, значит, представимый формулой (1.1.4). Вариации компонент тензора бГ под знаком интегралов в (2.5.10) не независимы, а должны удовлетворять зависимостям (2.5.3). Пришли к связанной задаче вариационного исчисления и, следует известному правилу, вводим в объеме V лагранжев вектор X это позволяет, представив теперь (2.5,10) в виде [c.158]

Это условие эквивалентно принципу стационарности дополнительной работы, иными словами, оно представляет уравнения Эйлера вариационной задачи о стационарности функционала 6 при условиях (5.4.2). Это доказывается способом, указанным в п. 2.5 гл. IV. Введя лагранжев вектор к, имеем [c.682]

Подобно тому, как это делалось выще, рассмотрим (2.1) при 6 4 = О как вариационную задачу с ограничениями (2.2). Введем соответствующие множители Лагранжа вектор Q = и Af = (несимметричный). Вариации gw и 80 свободны в следующей постановке [c.199]

Уравнение (3.37) в сочетании со стандартными зависимостями, связывающими Ае с приращением вектора перемещений А , позволяет на основе принципа Лагранжа реализовать один из вариантов МКЭ — метод перемещений (см. раздел 1.1). При этом анализ НДС производится методом последовательного прослеживания истории нагружения, когда на каждом последующем этапе нагружения рещение находится с учетом полученного на предыдущем. [c.171]

Уравнения Лагранжа для материальной точки. Рассмотрим материальную точку, находящуюся под действием сил. равнодействующую которых обозначим F. Будем определять положение точки какими-нибудь независимыми между собой параметрами любой размерности q,, однозначно определяющими положение точки, которые назовем обобщенными координатами. Число их будет равно числу степеней свободы точки, т. е. для свободной точки их будет три, а для несвободной — две или одна. Тогда декартовы координаты точки, а следовательно, и ее радиус-вектор r = xi- -s)j- - zk можно выразить через параметры и время t, которое может вообще войти в эти соотношения или в результате соответствующего выбора координат qi, или когда на точку наложены нестационарные связи. Допустим для общности, что О [c.452]

Подстановка главного вектора количеств движения О (1.93) и кинетического момента (1.94), выраженных с помощью кинетической энергии, в равенства (1.85) и (1.86) приводит к уравнениям Эйлера — Лагранжа дня твердою тела [c.41]

Действительно, поскольку вид функции Лагранжа не изменяется при преобразовании с матрицей 5, то 5и — собственный вектор, соответствующий значению Л, а так как А — простой корень, то эти собственные векторы коллинеарны [c.592]

Доказательство. Вектор-функция q(i) лагранжевых координат, описывающая действительное движение, удовлетворяет уравнениям Лагранжа второго рода (см. 8.1), которые в свою очередь служат необходимыми и достаточными условиями экстремальности (теорема 8.11.2).П [c.612]

Траектории отдельных точек сплошной среды, в которых соответствующий вектор скорости будет касательной, определяются уравнением (141.21), где t служит параметром. Способ описания движения (141.21) сплошной среды при помощи параметров а, Ь, с называется методом Лагранжа, а параметры а, Ь, с или Го — переменными. Лагранжа. [c.220]

Определим смещения точек частицы, используя переменные Лагранжа. Пусть две ТОЧКИ частицы в начальный момент времени to занимают положения О и которые определяются соответственно вектором Го (с координатами а, Ь, с) и вектором Го-f S (с координатами a-fg, 6 + г , с + ). Смещения точек О и М соответственно So и S будут зависеть от положения точек, следовательно, [c.223]

При подобных начальных условиях твердое тело в случае Лагранжа будет описывать регулярную прецессию, состоящую из равномерного вращения вокруг собственной оси Ог и равномерной прецессии (вращения) этой оси вокруг верти-мли 0 , при постоянном угле нутации. Вектор абсолютной угловой скорости со тела будет направлен по диагонали параллелограмма, образуемого векторами ф, ср, т. е. [c.516]

Для задания движения сплошной среды в переменных Лагранжа, как и в случае одной точки, достаточно задать декартовы координаты X, у, г всех точек сплошной среды или их радиус-векторы г, но уже как функции четырех переменных. Лагранжа [c.208]

В кинематике одной точки, которая рассматривалась ранее, использовались переменные Лагранжа для этой точки. Параметры а, Ь, е не применялись, так как не было других точек, от которых следовало отличать рассматриваемую точку. Оставалась зависимость координат точки или ее радиус-вектора только от времени. Для сплошной среды задание параметров а, Ь, с позволяет выделить конкретную точку. Разным значениям этих параметров соответствуют различные точки сплошной среды. [c.209]

Тождества Лагранжа. Для получения уравнений Лагранжа потребуется использовать три тождества. Одно из них — хорошо известная формула дифференцирования скалярного произведения двух любых векторов а и й, т. е. [c.393]

За время dt этот прямоугольный параллелепипед также становится косоугольным, но его искажения являются бесконечно малыми, и поэто- Рис. 1.9 му они достаточно просто выражаются через вектор скорости v x,i)=dx/dt. Ясно, что все кинематические соотношения метода Эйлера формально можно получить из соответствующих соотношений метода Лагранжа, если считать интервал времени t—ta бесконечно малым. [c.31]

Найдем площадки, на которых касательное напряжение Tv принимает экстремальные значения. Ориентация каждой площадки характеризуется единичным вектором нормали v, определяемым формулой (2.3) и условием (2.18). В этом случае в соответствии с методом неопределенных множителей Лагранжа достаточно найти безусловный экстремум функции [c.49]

Система, начало, оси, задание, определение, нахождение, преобразование, дифференцирование, число, вариации, начальные возмущения, точечное преобразование. .. координат. С помощью, в качестве. .. координат. Понятие. .. о координатах. Зависимость, соотношения. .. между координатами. Принцип Лагранжа. .. в обобщённых координатах. Вектор. .. обобщённых координат. [c.32]

Понятие об идеальных связях не было известно автору Аналитической механики — Ж. Лагранжу. Рассматривая вопрос об обосновании и доказательстве принципа возможных перемещений, Ж. Лагранж отмечает, что этот принцип, хотя и очень прост по своему выражению, но не очевиден, чтобы его можно принять как аксиоматическое утверждение без доказательства. Ж. Лагранж отмечает, что принцип возможных перемещений основывается на двух принципах, установленных раньше. Один из них — принцип действия рычага, исследованный еще Архимедом второй — аксиома о параллелограмме сил. Если вспомнить геометрическую статику (ч. III т. I), то становится ясным, что эти два принципа содержат два основных понятия статики — понятие о силе, как о векторе, и к тому же скользящем в случае действия силы на абсолютно твердое тело, и понятие о моменте силы. Ж- Лагранж указывает сначала, что принцип возможных перемещений объединяет эти два понятия статики (принципы рычага и параллелограмма сил). Далее он предлагает доказательство, основанное на замене сил, приложенных к материальным точкам системы, реакциями подвижных блоков сложного полиспаста. Это доказательство не было признано достаточным, и Фурье предложил более совершенное. [c.108]

Заметим, что в большинстве практически важных задач Р можно задать лишь в виде функций пространственных координат, следовательно, при использовании переменных Лагранжа для решения таких задач в правой части условия (1.160) будут содержаться производные от вектора перемещений, заранее неизвестных вид этой зависимости можно конкретизировать, если задать форму начальной границы (в момент времени t = tn) So, очевидно, что динамическое граничное условие можно записать и через компоненты тензора Пиола — Кирхгоффа [c.34]

Условия (4.247) позволяют дать механическую интерпретацию введенным множителям Лагранжа совокупность множителей представляет собой совокупность координат тензора напряжений, la —плотность вектора напряжений на части поверхности 5 . [c.205]

Начальный вектор-радиус Го выражается через переменные Лагранжа [c.331]

Лагранжа переменные 330 Линейное преобразование векторов 115, 116 [c.348]

Ограниченная задача трех тел (К. Г. Якоби, 1835 г.). Вектор I (см. задачу 3.3.7) описывает окружность (рис. 2.9а>. Найти ограниченное решение уравнений движения в окрестности треугольных точек Лагранжа [56, 65]. [c.142]

Слол<ив векторы d, е и I, получим тождество (тождество Лагранжа) [c.294]

При выводе выражений для вектора скорости V (1.24) и ускорения V (1.26) точек осевой линии стержня, когда координата 5 от времени не зависела, были использованы координаты Лагранжа. [c.18]

Функционал (8.7.5) называется функционалом Лагранжа, он зависит только от вектора перемещения ы поскольку фигурирующие в выражении (8.7.5) компоненты деформации предполагаются выраженными через перемещения. Приравняем нулю вариацию функционала Лагранжа [c.256]

Не следует смешивать понятие равномерного (или неравномерного) движения данной (одной) частицы жидкости с понятием одновременного равномерного (или неравномерного) движения множества жидких частиц . Кроме того, необходимо учитывать, что при определении рассматриваемых понятий применительно к случаю неустановившегося движения исходят из представлений Эйлера (а не Лагранжа см. 3-2). В связи с этим, рассматривая векторное поле скоростей, отвечающее данному моменту времени, считают, что если это поле является так сказать однородным в отношении скоростей (т. е. в пределах данного поля векторы скоростей всюду одинаковы и по их значению и по их направлению), то такое движение может быть названо равномерным в данный момент времени если же это поле скоростей является неоднородным, то отвечающее ему движение, естественно, должно быть названо неравномерным в данный момент времени. [c.92]

Таким образом, шесть формально введенных компонент деформации выражаются через вектор Xi точно так же, как определенные обычным способом компоненты деформации выражаются через вектор Ui. Теперь, зная е , можно определить Х интегрированием по формулам Чезаро и получить обычным способом уравнения совместности (7.3.5) или (7.3.6). Излишне говорить, что введенный формально, как множитель Лагранжа, вектор "ki представляет собою в действительности вектор перемещения [c.258]

Рис. 46. Симметрия. На многообразии положений классической натуральной вястемы (изображен случай двух степеней свободы, например точка на поверхности) действует семейство отображений Pi— P (возьмем, как принято, группу, хотя это и не обязательно), обладающее тем свойством, что в любой сопутствующей , увлекаемой системе координат 5i, j выражение лагранжиана получается одним н тем же. Тогда имеет место интеграл движения, представимый в виде скалярного произведения (в метрике многообразия положений, задаваемой квадратичной по скоростям частью лагранжиана) вектора скорости с порождающим группу векторным полем и. Особенно просто отображения симметрии выглядят в системе координат q, Q2, из которых одна — циклическая тогда соответствующие координатные линии являются интегральными для порождающего поля, а отображения представляются сдвигами вдоль этих линий. Таким образом, понятие симметрии есть инвариантная (не зависящая от выбора координат) переформулировка наличия циклической координаты. Исключение этой координаты из рассмотрения по Раусу (переход к правой части рисунка) на инвариантном языке начинается с факторизации — перехода к новому многообразию меньшей размерности, каждой точке которого отвечает целая траектория группы симметрий многообразия положений

Способ описания движения (2.1.2) сплошной среды при помош,и векторного параметра Го (или скалярных параметров а, , с), харак-теризуюш его отдельные точки, носит название метода Лагранжа. Вектор или параметры а, , с носят название переменных Лагранжа. Вектор Го характеризует индивидуальность отдельных точек среды. В частности этот вектор можно выбрать так, чтобы он определял начальное положение точек среды. Тогда при будем иметь [c.10]

ЛИ лагранжев вектор теплового потока Qu такой, что скорость теплопередачи через материальный элемент в текущем состоянии равна Qieijkdajoak, где dut и oui стороны параллелограмма в начальном состоянии. [c.24]

Решение. В одиородном поле силы тяжести материальная точка движется в вертикальной плоскости, содержащей вектор начальной скорости va. Выберем за начало коордннат точку А, ось х направим горизонтально в сторону движения точки, а ось (/ — вертикально вверх. Полная механическая энергия материальной точки при ее движении в однородном поле силы тяжести остается постоянной. Для определения траектории точки воспользуемся принципом стационарного действия Мопертюи—Лагранжа. [c.411]

В случае Лагранжа точка 2 пересечения оси симметрии волчка с единичной сферой не может описывать замкнутую кривую, аналогичную изображенной на рисунке. Эта точка все время нахо,цится вблизи вертикальной плоскости "Р, содержащей вектор кинетического момента и монотонно вращающейся вокруг вертикали. Поэтому возможные типы движения изображающей точки 2 исчерпываются показанными на рис. 6.8.2. [c.485]

Пример 6.11.2. Гиромаятником называется гироскоп с тремя степенями свободы, центр масс которого принадлежит оси фигуры (случай Лагранжа-Пуассона, см. 6.8). Такой гироскоп служит основным чувствительным элементом гирогоризонта — прибора, предназначенного для надежного определения вертикали или перпендикулярной к ней горизонтальной плоскости. Гиромаятник движется, как быстро закрученный волчок Лагранжа. Ось фигуры подчиняется закону псевдоре-гулярной прецессии (теорема 6.8.4). Угловая скорость прецессии гр направлена вдоль вертикального вектора ез. По теореме об изменении кинетического момента получим (рис. 6.11.2) [c.499]

Пусть начало О и векторы еь абсолютного ортонормирован-ного репера Оехезез принадлежат гладкой горизонтальной опорной плоскости. Направление ез вертикально. Начало ортонормированно-го подвижного репера Сте е зез, жестко связанного с телом, примем в центре масс тела Сг. Волчок (абсолютно твердое тело) будем считать динамически симметричным (как в случае Лагранжа, 6.8) [c.501]

Вычисление смещений As точек среды снова возвращает нас к переменным Лагранжа, где начальное положение точек определяется для даиного момента пространством переменных Эйлера. Однако смещения As в переменных Эйлера будут бесконечно малыми в отличие от вектора смещения s в переменных Лагранжа, который может быть конечной величиной. [c.221]

Другое тождество Лагранжа заключается в перестановке порядка дифференцирования по времени и обобгценпой координате вектора г , т. е. [c.394]

Решение. Как известно из механики, де11ствующий на тело момент сил М определяется по его функции Лагранжа (в данном случае — по энергии Е) соотношением 6Е М60, где 60 — вектор бесконечно малого угла поворота тела, а б — изменение при этом повороте. Вместо того чтобы поворачивать тело на угол 60 (и соответственно менять компоненты т.. ), можно повернуть на угол — 60 жидкость относительно тела и соответственно из меиить скорость и. Имеем при повороте би = — [б0и], так что [c.54]

Здесь Р, и —проекции силы F на направление радиуса-вектора г ц на направление, перпендикулярное ему (здесь положительным наппавленнен считается направление в сторону возрастания полярного угла). Уравнения Лагранжа второго рода, соответствующие независимым коордшшта.м г и ф, будут иметь вид [c.334]

В полной общности принцип этот был развит Лагранжем. В 1788 году вышла его знаменитая Аналитическая механика в ней впервые, после тщательного анализа решенных к тому времени задач и высказанных в связи с этим предложений, Лагранж выделил указанную идею Германа и Эйлера и развил ее во всей общности. Содержание их мысли следующее. Пусть М., — точки материальной системы, — их массы, г, — их радиусы-векторы, Fv — векторы действующих на них заданных сил предполагается, что система стеснена идеальными связями. Под действием сил точка Л/v при наложенных связях в действительном движении в рассматриваемый момент времени пусть имеет ускорение jv (рис. 108). Если к точке приложить еще -rufjy силу, равную —mvjv, то эта сила остановила бы изменение скорости. Точка была бы в покое или в равномерном и прямолинейном двин е-нин, ибо если бы точка Л/v была свободной, то силы /Wvjv было бы достаточно, чтобы вызвать ускорение jv. И так для канедой точки (v = 1,. .. [c.140]

Физический смысл величины д(р1д1 в интеграле Лагранжа заключается в следующем. При потенциальном течении проекция вектора скорости на некоторое направ- [c.81]

Если движение идеальной жидкости, определяемое уравнением (5.1а), было в некоторый начальный момент времени безвихревым, то согласно теореме Лагранжа вихрь скорости rot и будет равен нулю в любой последующий момент времени. Условие rot и =0 означает, что существует такая скалярная функция ф, градиет которой в любой точке области течения равен вектору скорости и, т.е. и = = grad ф. При этом в общем случае [c.184]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...