Преобразование обобщенное точечное

Переход от одних лагранжевых координат к другим называется обобщенным точечным преобразованием. [c.682]

Пример 9.7.2. Тождественное и обобщенное точечное преобразование не могут быть заданы производящей функцией вида [c.685]

ОБОБЩЕННОЕ ТОЧЕЧНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ 493 [c.493]

Обобщенное точечное преобразование и другие однородные контактные преобразования. Рассмотрим точечное преобразование [c.493]

Qn), принадлежащих каждая к классу С2- Будем рассматривать натуральную систему и обозначим соответствующие импульсы, как обычно, символами р ж Р. Тогда преобразование переменных ( р) в переменные Q-, Р) будет однородным контактным преобразованием его называют расширенным или обобщенным точечным преобразованием. Это следует из того [c.493]

Следовательно, рассматриваемое каноническое преобразование представляет собой совокупность точечного ортогонального преобразования (2) и ортогонального преобразования обобщенных импульсов [c.435]

Рассмотрим вначале случай, когда все силы, действующие на материальную точку со стороны других тел, потенциальные. При решении поставленной задачи естественнее всего исходить из инвариантности уравнений Лагранжа относительно точечных преобразований обобщенных координат механической системы, вытекающей из вариационного принципа Гамильтона—Остроградского (см. 29,32). [c.253]

Обобщенное точечно-линейное преобразование 217 [c.217]

Обобщенное точечно-линейное преобразование [c.217]

Если Qf g) — линейная функция д, а ЯДр) — линейная функция р, то такое преобразование называется обобщенным точечно-линейным преобразованием. Его мы сейчас и рассмотрим. [c.217]

При преобразовании из точечной группы Ft смещения могут переходить либо в линейные комбинации смещений атомов этой же ячейки, либо в линейные комбинации смещений атомов соседних ячеек. Однако для рассматриваемых специальных смещений xf в силу (9.6а) можно всегда ограничиться линейными комбинациями смещений атомов одной ячейки. Вычислить характеры преобразования величин хр можно с помощью обобщения способа, рассмотренного в главе VI. Если при преобразовании д из группы атом нулевой ячейки переходит в атом ячейки а, то соответствующий вклад в характер равен [c.111]

Уравнения Лагранжа в виде (4.88) будут тоже ковариантными относительно точечного преобразования обобщенных координат (они получены из (4.83)). Поэтому, записав уравнения Лагранжа в виде (4.87), мы можем представить их в явном виде, изменив лишь обозначения в уравнениях (4.88) [c.226]

Такой вид имели, например, уравнения ортогонального преобразования или уравнения перехода от декартовых координат к полярным. Мы будем называть такие преобразования точечными. Однако в методе Гамильтона импульсы являются такими же независимыми переменными, как и обобщенные координаты. Поэтому мы должны расширить понятие преобразования координат и включить в него одновременное преобразование как независимых координат qi, так и независимых импульсов Pi- Таким образом, мы будем иметь дело с преобразованием, описываемым уравнениями [c.264]

При рассмотрении этого более общего вида преобразований наша точка зрения несколько отличается от той, которой мы придерживались в гл. III. Там при переходе к обобщенным координатам предполагалось, что новая форма функции L была получена из старой путем непосредственной подстановки формул преобразования. Это является частным случаем (называемым точечным преобразованием) преобразования более общего вида, рассматриваемого нами сейчас. Теперь уже нет прямого соотношения между двумя формами функции Лагранжа. [c.88]

Эти функции, как и функции (5.28), обращают в тождество уравнения связей (см. (5.30)), и, следовательно, величины д также являются обобщенными координатами механической . системы. Преобразование (5.97), т. е. преобразование от одной системы обобщенных координат к другой системе, называется точечным преобразованием. [c.248]

Токи проводимости 29 Томсона формула для релеевского рассеяния 108 Торможение излучением 35 Точечной симметрии преобразование 66 Тейлора ряд обобщенный 42 [c.240]

Преобразование от одного набора обобщенных координат да к другому набору аналогичных величин д называют точечным преобразованием. Возникает вопрос как ведут себя уравнения Лагранжа (28.11) по отношению к точечным преобразованиям [c.164]

Сопоставляя уравнения (28.11) и (28.19), можно сделать вывод форма уравнений Лагранжа не зависит от выбора обобщенных координат механической системы другими словами, уравнения Лагранжа инвариантны относительно точечных преобразований (28.17). [c.164]

Несмотря на простоту и наглядность индуктивного метода, предпочтение все-таки следует отдать второму способу построения классической механики. Преимущество вариационной концепции заключается прежде всего в ее независимости от конкретного выбора системы обобщенных координат и, следовательно, от выбора системы отсчета напротив, беря за основу построения механики уравнения движения Ньютона, мы ограничиваем себя использованием только инерциальных систем отсчета. Действительно, в формулировке принципа Гамильтона — Остроградского фигурируют только такие физические величины (кинетическая и потенциальная энергия), которые не связаны с какой-либо частной системой обобщенных координат. Поэтому указанный принцип оказывается инвариантным относительно любого точечного преобразования координат (28.17), в том числе и относительно точечного преобразования, связанного с переходом от инерциальной системы отсчета к любой неинерциальной системе координат. [c.186]

В 28 показано, что уравнения Лагранжа (28.11) инвариантны относительно точечного преобразования (28.17), связывающего любые два набора обобщенных координат системы д, Q. Разумеется, что при любом преобразовании (28.17) сохраняют свою форму и канонические уравнения движения (33.4). Однако уравнения Гамильтона допускают более широкий класс преобразований. Это связано с тем, что в методе Гамильтона роль независимых переменных наряду с обобщенными координатами выполняют и обобщенные импульсы р . Поэтому преобразования, сохраняющие форму канонических уравнений движения (33.4), относятся к классу преобразований [c.198]

Т. с, при таком каноническом преобразовании обобщенные координаты q., q , н q , q преобразуются только между o6oii. Такие преобразования называются точечными. [c.149]

Если преобразова1И1е к новым каноническим переменным С и Я такое, что С,, например, есть функция только д, а Я, — функция только р, то преобразование называется обобщенным точечным п ре об разованием. [c.217]

Облические переменные 231 Обобщенное точечно-лннейное преобразование 217 Обобщенные координаты 164 Общая прецессия 470, 479 Орбита Солнца 131 Орбитальная скорость 35 Ортогональные преобразования 219 Оскулирующие элементы 84, 305 Оскулирующий эллипс 83, 305 [c.492]

Выясним механический смысл этих уравнений. Если т = Зп, то равенства (II. 9Ь) являются формулами точечного преобразования координат. При этом предполагается, что время t не входит явно в функциональные зависимости между декартовыми и обобщенными координатами. При т С. Зп уравнения (II. 9Ь) можно рассматривать как уравнеппя геометрических связей в параметрической форме. Действительно, исключая из уравнений (II. 9Ь) параметры Цо, найдем Зп — т соотношений между координатами точек системы и временем t, которое может входить в эти соотношения явно. Такие соотношения, как известно, называются уравнениями геометрических связей. Если время t не входит явно в соотношения (II. 9Ь), оно не будет входить явно и в уравнения связей, найденные после исключения параметров Ро. Следовательно, достаточным условием стационарности всех связей, определенных уравнениями (II. 9Ь), является отсутствие явной функциональной зависимости между координатами х,-, у 2 И Временем t в формулах (II. 9Ь). Соотношения (П.9Ь) можно [c.121]

Для механизмов с несколькими степенями свободы изображающая точка должна рассматриваться в фазовом яростран стве обобщенных координат и скоростей. Тогда для изучения многомерных фазовых траекторий применяется общая теория точечных преобразований поверхностей. [c.203]

Теперь мы можем обобщить понятие молекулярной точечной группы на случай нежестких молекул, не принадлежащих какой-нибудь одной точечной группе симметрии. Группу, являющуюся обобщением молекулярной точечной группы, мы будем называть молекулярной вибронной группой. Элементы этой группы получаются следующим образом. После того как построена молекулярная группа симметрии (или, если необходимо, расширенная молекулярная группа симметрии, которая рассмотрена в гл. 12), каждый элемент группы О переносится в молекулярную вибронную группу, но при этом не учитываются преобразования углов Эйлера и перестановки ядерпых спинов, вызываемые этим элементом. Это достигается в формуле (11.17) путем исключения из нее операций 0 и ОГ, отвечающих преобразованию углов Эйлера и перестановке ядерных спинов соответственно. Для жесткой нелинейной молекулы соотношение (11.17) обеспечивает лучший способ определения молекулярной точечной группы. Вообще молекулярная вибронная группа используется для классификации колебательных и электронных состояний и для изучения вибронных взаимодействий, когда не возникает никаких вопросов относительно углов Эйлера или ядерпых спинов. [c.307]

Все рассмотренные выше ситуации допускают непосредственные многомерные обобщения. Их рассмотрение мало чем отличается от приведенного, но, конечно, теряет в наглядности. Отметим, что принимаемые при этих рассмотрениях упрощенные записи некоторых отображений пе снижают их общности, поскольку основываются на свойствах вспомогательных отображений, не нарушаемых пренебрегаемыми нелинейными членами. Вместе с тем, следует иметь в виду, что существуют ситуации, приводящие к сложным седловым инвариантным множествам, которые могут быть реализованы только при размерности точечного отображения, большей двух. Одна из таких сутуаций была описана в гл. 2. Заметим, что если не требовать взаимной однозначности преобразования, то она реализуема даже при размерности единица. При исследовании этой ситуации также мончет быть применен переход от негатива к позитиву. [c.157]

В последнее время методы калибровочных полей используются для описания структуры и физических свойств неупорядоченных систем. При этом наряду с изучаемыми в механике сплошных сред физическими полями (поле деформаций) появляются калибровочные поля, описывающие дефекты (дислокации, дисклинации, точечные дефекты), ответственные за неупорядоченность [1—8]. Так, в работах [1—2] в качестве калибровочной группы введена группа СЬ(3), что позволяет описать дислокации Сомилианы [9]. В работе [3] взята группа аффинных преобразований ОЬ(3)[>Т(3), что позволило учесть трансляционный вклад в деформацию. Наконец, в работе [4] калибровочной группой является полупрямое произведение группы вращений 80(3) и группы трансляций Т(3), 80(3)>Т(3). Обобщение нелинейной теории упругости локализаций группы 80(3)[>Т(3) дает возможность построить динамику дислокаций и дисклинаций. [c.20]

Обобщение предыдущих результатов. Мы вывели свойства симметрии колебательных собственных функций из свойств симметрии нормальных координат. В действительности, свойства симметрии собственных функций имеют значительно более общий характер и не зависят от предположения о гармоничности колебаний. Потенциальная энергия, даже если она и не является простой квадратичной функцией от составляющих смещений, как в (2,25), должна быть инвариантна по отношению ко всем операциям симметрии, образующим точечную группу, к которой принадлежит молекула. Поэтому уравнение Шредингера (2,40) инвариантно по отношению к этим операциям симметрии и, следовательно, собственная функция относительно этих операций симметрии может либо быть только симметричной, либо антисимметричной, если состояние является невырожденным либо может преобразоваться также и в линейную комбинацию взаимно вырожденных собственных функций, если состояние вырожденно (см. Молекулярные спектры 1, гл. V, 1). Можно показать, что последнему случаю соответствует ортогональное преобразование, при двукратном вырождении имеющее вид (2,75) или (2,76). [c.118]

Обычно базисные функции определяются на стандартном элементе То, который может быть единичным квадратем или прямоугольным треугольником с единичными катетами, а затем вводится точечное преобразование для построения базисных функций на произвольном элементе Т (ср. с гл. 4). Поэтому естественно получать оценки погрешностей на стандартном элементе, если только они допускают обобщение на произвольные элементы. [c.117]

Движение заряженной материальной точки в электромагнитном поле. Выше говорилось, что этот случай типичен-для квазиреля-тивистских движений. Сила Лоренца, действующая на точечный заряд в электромагнитном поле, принадлежит к обобщенно-потен-циальным силам, а функция Лагранжа, соответствующая ей и инвариантная по отношению к преобразованиям Галилея, написана ранее в виде [c.288]

Рассмотрим системы материальных точек и тел с идеатьными голономными связями и, следуя Лагранжу, выведем уравн. ния движения таких систем в обобщенных координатах — уравнения Лагранжа 2-го рода. Как станет ясно из самого вывода уравнений, предположение относительно голономности связей здесь очень существенно. Кроме того, существенно также, чтобы переход от декартовых координат, определяющих положение материальных точек и тел относительно инерциальной системы отсчета, к обобщенным независимым координатам совершался с помощью конечных формул точечного преобразования (см. 4). [c.209]

Двумерная - цилиндрическая функция Грина может быть вычислена с помощью интегрирования (3.127) вдоль оси цилиндрической симметрии, её можно выбрать в качестве оси 2 системы координат. Другой способ вычисления двумерной функции Грина для исследуемого уравнения, основанный на прямом её вычислении по образу Лапласа с помощью обобщения метода Каньяра-де Хупа [70] был опубликован в [71]. Метод, известный теперь как метод Каньяра-де Хупа, был предложен в [72] для решения задачи, являющейся обобщением проблемы Лэмба на случай точечного источника, расположенного в одном из соприкасающихся упругих полупространств. Автор [72] разработал общий метод решения переходных проблем, основанный на том, что после преобразования Лапласа по времени и получения решения оставшейся граничной задачи, оно затем преобразуется в форму, представляющую решение переходной задачи без прямого вычисления интеграла Меллина. [c.174]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...