Изображающая точка механической системы

Известно, что в механике дискретных систем лагранжевы обобщенные координаты позволяют тождественно удовлетворить уравнениям геометрических связей. Поэтому реакции идеальных геометрических связей не входят в уравнения Лагранжа второго рода. Для выявления этих реакций следует дополнить внутренний по отношению к многомерной поверхности, по которой движется изображающая точка механической системы, координатный базис внешними координатными векторами. [c.37]

Дополнительные уравнения движения позволяют найти реакции связей [38]. При этом многомерная поверхность, по которой движется изображающая точка механической системы с несколькими степенями свободы, оказывается погруженной в пространство 3/г измерений, где п — число точек в системе. [c.37]

Изображающая точка механической системы, 12 [c.116]

Пусть точка Р, являющаяся одновременно С-точкой, изображающей положение механической системы в пространстве конфигураций, соответствует положению равновесия. Поместим ее для простоты в начале координат, записав ее координаты в виде qi = 0. Будем теперь считать линейный элемент (5.10.1) с постоянными Uik, соответствующими точке Р, справедливым во всем пространстве. Пространство, получившееся в результате этой операции, является евклидовым, а допущенная нами ошибка стремится к нулю по мере приближения к точке Р. [c.176]

Так как система (1) содержит только уравнения первого порядка, то значениями гамильтоновых переменных д, ..., ра заданными для какого-нибудь одного момента времени, i = о, однозначно определяются их значения для любого (предыдущего или последующего) другого момента 1. Вообразим себе евклидово пространство 2з измерений Г, точки которого определяются декартовыми координатами дх,..., р<, тогда каждому возможному состоянию нашей механической системы С будет соответствовать единственная определенная точка пространства Г, которую мы будем называть изображающей точкой данной системы все же пространство Г условимся называть фазовым пространством этой системы. Мы увидим, что для целей статистической механики геометрическая иллюстрация совокупности возможных состояний системы посредством ее фазового пространства является чрезвычайно плодотворной и получает основное методологическое значение. [c.12]

В этом случае интеграл (4.159) пропорционален длине дуги, элемент которой равен 5, а решение системы дифференциальных уравнений (4.163) будет описывать геодезические линии в пространстве конфигураций. Следовательно, если силовое поле отсутствует, то механическая система движется так, что траекторией изображающей точки в пространстве конфигураций будет геодезическая линия. [c.261]

ФАЗОВАЯ ТРАЕКТОРИЯ -совокупность изображающих точек, характеризующих движение механической системы с заданными начальными условиями при некотором изменении времени. [c.83]

Во многих случаях совокупность qi, q2,. . qn удобно рассматривать как изображающую точку в пространстве п измерений. Движение этой точки дает наглядное представление о движении механической системы, поскольку движение системы (т. е. последовательность ее конфигураций) находится в соответствии с движением изображающей точки в и-мерном пространстве. Иногда, удобства ради, мы будем пользоваться обозначением q вместо [c.86]

Пространство 2п измерений, точки которого определяются 2п координатами g-i, q2, ., 5 nt Pi Pii > Pn называется фазовым пространством] движение механической системы можно рассматривать как движение изображающей точки в фазовом пространстве. Структуру фазового пространства можно представить как 2 г-мерное евклидово пространство с прямоугольными координатами q , q , , qn-, Pi, Pz, Pn- [c.270]

Действительное механическое явление следует понимать или изображать как волновой процесс в -пространстве, а не как движение изображающей точки в этом пространстве. Рассмотрение движения изображающей точки, составляющее предмет классической механики, является лишь приближенным способом изучения поведения системы и может быть оправдано лишь подобно тому, как в некоторых случаях оправдывается применение лучевой или геометрической оптики для изучения действительных волновых оптических процессов. Макроскопический механический процесс должен изображаться как волновой сигнал описанного выше вида, который с достаточным приближением может считаться точечным в сравнении с геометрической структурой траектории. Как мы видели, для подобного сигнала или группы волн действительно выполняются точно те же законы движения, что и устанавливаемые классической механикой законы движения изображающей систему точки. Подобный способ рассмотрения теряет, однако, всякий смысл, если размеры траектории не очень велики по сравнению с длиной волны или даже сравнимы с ней. В этом случае следует перейти к строгому волновому рассмотрению, т. е. следует изображать многообразие возможных процессов, исходя из волнового уравнения, а не из основных уравнений механики, которые для объяснения сущности микроструктуры механического движения столь же непригодны, как и геометрическая оптика для объяснения явлений дифракции. [c.690]

Расширенное пространство конфигураций отличается от пространства конфигураций большей на единицу размерностью. Кроме обобщенных координат, в базис введено время t. Последовательные фазы движения изображаются последовательными точками кривой изображающими точками), называемой миро-вой линией или траекторией механической системы. Эта линия содержит всю историю механической системы. [c.22]

Движение изображающей точки в фазовом пространстве отображает движение механической системы. Траектория этой точки называется фазовой траекторией. [c.44]

Если на фазовой плоскости имеется особая точка седло , то через нее проходят изолированные фазовые траектории (сепаратрисы), точкам которых соответствуют неустойчивые (нереализуемые) движения механической системы. Сепаратрисы делят фазовую плоскость на области, в каждой из которых движение имеет свой в принципиальном отношении тип при этом, если изображающая точка, соответствующая начальным условиям, находится в одной из этих областей, то и последующее движение произойдет так, что вся соответствующая ему фазовая траектория останется в этой области. [c.76]

Очевидно, что рассматриваемая механическая система не имеет скачкообразных переходов из одного состояния в другое а следовательно, и дифференциальные уравнения, описывающие ее движение, не имеют точек разрыва. Поэтому более реально след изображающей точки на фазовой плоскости (ф, y) может быть представлен в виде расходящейся спирали (на рис. 2.2 — пунктирная линия). [c.68]

Если проследить дальнейший путь изображающей точки, то можно прийти к выводу, что автоколебания с течением времени будут затухать. Необходимо отметить, что затуханию автоколебаний будут также способствовать силы вязкого трения, неизбежно присутствующие в рассматриваемой механической системе. Эти силы обусловлены вязким трением в опорах маховика и электродвигателя, остаточным сопротивлением атмосферы и главным образом вязким трением в упругих элементах механической системы КА—маховик. [c.186]

Пусть каждая система, входящая в ансамбль, изменяет свое состояние со временем, отображая некоторое движение реальной системы. Изображающие точки при этом перемещаются в фазовом пространстве. Все члены ансамбля суть копии одной системы. Изменение их состояния представляет собой одно и то же механическое движение, [c.38]

То обстоятельство, что система никогда в действительности не является изолированной, не следует забывать также и в связи с другим парадоксальным возражением относительно любой механической интерпретации необратимости. Это возражение много тоньше, чем доводы, основанные на обращении скоростей молекул. Оно основано на теореме Пуанкаре, которая утверждает, что любая конечная механическая система, подчиняющаяся законам классической механики, возвратится сколь угодно близко к своему начальному состоянию при почти любом выборе последнего, если подождать достаточно долго. Для состоящего из взаимно отталкивающихся молекул газа, заключенного в ящик с зеркально отражающими стенками, это следует из закона сохранения энергии, в силу которого изображающая точка в фазовом пространстве движется по ограниченной поверхности 5 (поверхности постоянной энергии). Эти факты означают, что мера х(Л) ( площадь А) связана с каждым подмножеством А поверхности 5 так, что если Л/ есть множество точек, в которые точки А трансформируются вследствие движения к моменту времени (, то х(Л ) = (Д) и и(5)<оо. [c.162]

Итак, в методе Гамильтона в качестве независимых переменных рассматриваются 5 обобщенных координат системы д , д ,...,д и 8 ее обобщенных импульсов р , р ,. .., р , определяемых равенствами (30.5). Для геометрической интерпретации движения механической системы вводится понятие о так называемом фазовом пространстве. Под фазовым пространством понимается 28-мерное пространство, по осям координат которого откладываются значения 5 обобщенных координат д я обобщенных импульсов р . Каждой точке фазового пространства (ее называют изображающей точкой) соответствует определенное состояние системы. При движении системы изображающая точка описывает в фазовом пространстве кривую, называемую фазовой траекторией механической системы. В отличие от конфигурационного пространства через каждую точку фазового пространства проходит одна-единственная фазовая траектория механической системы. [c.187]

Например, вариационный принцип Эйлера — Лагранжа в форме, указанной Якоби, позволил, по-видимому, впервые, установить явную связь между метрикой пространства, в котором движется изображающая точка, кинетическими характеристиками механической системы и потенциальной энергией консервативного поля, в котором движется механическая система. Далее было установлено, что при отсутствии активных [c.7]

В лагранжевом формализме состояние механической системы (в некоторый момент времени) фиксировалось (2.5, 2.4.2) заданием значений всех обобщенных координат и всех обобщенных скоростей. При использовании для описания системы канонических уравнений естественно фиксировать состояние заданием (в некоторый момент времени) значений всех координат и импульсов. Поэтому, если построить (для системы с п степенями свободы) 2 -мерное пространство, координатами которого служат обобщенные координаты и импульсы системы, то каждая точка в нем будет отвечать определенному состоянию системы. Такое пространство называют обычно фазовым пространством,а его точки, изображающие состояния системы в некоторый момент времени, — изображающими точками. Совокуп- [c.105]

Уравнение Лиувилля есть точное механическое уравнение, эквивалентное системе канонических уравнений движения. Оно выражает условие сохранения плотности изображающих точек в фазовом пространстве. В силу этого условия интеграл от р по фазовому пространству есть постоянная величина, которую мы полагаем равной единице. [c.284]

Гамильтоновы переменные д, ..., ра данной системы О мы в дальнейшем часто будем называть динамическими координатами ее изображающей точки в пространстве Г, а любую функцию этих переменных — фазовой функцией данной системы. Важнейшей фазовой функцией является гамильтонова функция Н д, ..., ps) , заданием ее полностью определяется механическая природа данной системы, ибо полностью описывается система уравнений движения в частности, заданием ее полностью определяется естественное движение фазового пространства данной системы. [c.13]

В самом деле, в этом рассуждении мы разбивали данную поверхность постоянной энергии на две части, причем принадлежность точки к той или другой из этих частей определялась тем значением, которое в этой точке получает некоторый интеграл р. Но теперь у нас речь идет только о таких разбиениях, которые мы выше назвали нормальными вместе с данной точкой к той или другой части должны принадлежать и все физически эквивалентные ей точки, т. е. все точки, изображающие то же самое механическое состояние системы. Если нормальный интеграл, т. е. принимает во всех таких точках одинаковое значение, то наше прежнее рассуждение остается в силе но если интеграл (р не обладает нормальностью, то при определении множеств М1 и М2, мы уже не можем начинать с произвольного разбиения совокупности всех принимаемых интегралом (/ значений на две части если мы хотим, чтобы разбиение (М1, М2) поверхности было нормальным, то мы, очевидно, должны, разбивая на две части совокупность значений интеграла р, озаботиться тем, чтобы значения, принимаемые этим интегралом в двух физически эквивалентных точках, всегда были относимы к одной и той же части. Это требование (дальше мы увидим это на примере), может оказаться несовместимым с требованием, чтобы Мг и М2 были инвариантными множествами положительной меры. Наше прежнее рассуждение в этом случае теряет силу, и возможность метрической неразложимости в расширенном смысле остается открытой. [c.41]

В аналитической механике часто пользуются очень удобны.чг геометрическим языком вводится понятие конфигурационного пространства —многомерного метрического пространства, в котором положение точки определяется координатами Размерность-этого пространства равна числу независимых координат. Движению механической системы (или иного объекта) отвечает движение изображающей точки в пространстве конфигураций. Иногда применяется расширенное конфигурационное пространство, в ко тором время рассматривается как дополнительная координата.. Размерность такого пространства равна 1+1. [c.181]

Движению механической (или иной) системы с конечным числом степеней свободы в реальном пространстве можно поставить в соответствие движение изображающей точки в многомерном пространстве, например, в пространстве конфигураций, число измерений которого равно числу степеней свободы голономной системы. Якоби перенес исследование движения системы в конфи- [c.257]

Мы уже познакомились с так называемой первой формой принципа Гамильтона (гл. IV, 16). Движению механической системы с I степенями свободы там отвечало движение изображающей точки в конфигурационном пространстве, число измерений которого равно числу степеней свободы системы. [c.297]

Ознакомимся с некоторыми терминами, которые следует четко усвоить для понимания последующего материала и работы со справочными данными о свойствах веществ. Приняты следующие названия характерных состояний точка а — кипящая жидкость точка Ь — сухой насыщенный пар (пар, находящийся в равновесии с жидкостью, становится сухим , если, не изменяя р а Т, удалить из системы жидкую фазу механическим путем) точка с — влажный пар (смесь кипящей жидкости и сухого насыщенного пара, область ж- -п) точка е (или ) — перегретый пар (газообразное состояние вещества, область п поблизости от пограничной кривой пара среда обладает свойствами реального газа — см. 11, при удалении точки, изображающей состояние вещества, вправо и вверх имеем в пределе идеальный газ) точка й (или /) — жидкость (жидкое состояние вещества, область ж). [c.108]

Используем теперь символическое понятие С-точки, изображающей механическую систему в пространстве конфигураций. Мы уже знаем, что кинетическую энергию системы можно рассматривать как кинетическую энергию одной частицы с единичной массой [c.161]

Поскольку система (17) совпадает с известной второй системой равенств Якоби, то мы показали, таким образом, что точка совпадающих фаз некоторого п-параметрического инфинитезимального многообразия волновых систем двигается по тем же законам, что и точка, изображающая механическую систему. [c.689]

В 12 мы выяснили, что благодаря закону сохранения полной механической энергии движение материальной точки может быть ограничено некоторой областью пространства. Это утверждение справедливо и для системы материальных точек. Метод обобщенных координат, изложенный в предыдущей главе, позволяет сократить число независимых параметров, определяющих движение несвободной системы материальных точек. Число независимых параметров — обобщенных координат — равно числу степеней свободы системы движение системы рассматривается как движение изображающей ее точки в пространстве конфигураций. Многие системы описываются только одной координатой, так как обладают всего одной степенью свободы. Для таких систем характерно колебательное движение. [c.212]

Рассматривая движение изображающей точки М х, у) на фазовой плоскости, заметим, что окружности Е = h уже не будут траекториями изображаюилей точки, так как Е — полная механическая энергия системы ири отсутствии сил сопротивления эта энергия не сохраняет постоянного значения ири движении системы, на которую действуют силы сопротивления. Обозначив через п единичный вектор внешней нормали окружности Е = h, а через а и 3 — углы вектора п с осями координат х и у, имеем [c.511]

Герц дал блестящую геометрическую интерпретацию принципа Гаусса для специального случая, когда действующие силы равны нулю. В этом случае 2 может быть интерпретировано как геодезическая кривизна пути изображающей точки, которая представляет положение механической системы в Зп-мерном евклидовом пространстве с прямоугольными координатами ушух,, Ж]у1, yWiZi. Эта точка в силу заданного принуждения должна оставаться внутри некоторого подпространства этого Зл-мерного пространства. Принцип 2 = min может быть теперь выражен как требование, чтобы для изображающей точки кривизна в каждой точке ее пути имела наименьшее значение, совместимое с заданным принуждением. Это означает, что путь изображающей точки стремится быть насколько возможно прямым. Отсюда принцип прямейшего пути Герца. [c.891]

Фазовые диаграммы автономных систем. Состояние автономной системы, определяемое обобщенными координатами и обобщенными скоростями (/ = 1,2,. ..,п п — число степеней свободы), можно представить изображающей точкой G в 2я-мер-ном фазовом пространстве. Состояние автономной системы с одной степенью свободы (п = 1) может быть представлено изображающей точкой G в системе координат q, q (на фазовой плоскости). При этом процесс движения механической системы отображается движением изображающей точки на фазовой плоскости траекторию изображающей точки называют фазовой траекторией, а совокупность фазовых траекторий, соответствующих всевозможным начальным условиям, — мзовой диаграммой (рис. 3, а). Если [c.23]

Изолированные фазовые траектории, проходящие через особую точку типа седло, называют сепаратриссами. Движение механической системы, соответствующее движению изображающей точки по сепаратриссе, неустойчиво и физически нереализуемо. Сеиаратриссы разделяют фазовую плоскость на области начальных условий, приводящих к движениям принципиально различных типов (см. гл. HI). [c.25]

Теперь возникает вопрос об условии пластичности при объемном напряженном состоянии. Согласно закону Гука при фиксированной системе координат, постоянных температуре и других физико-химических параметрах напряженно-деформированное состояние частицы однозначно определяется напряжениями. Поэтому в этих условиях переход частицы из упругого состояния в пластическое определяется напряжениями в этой частице, и условие пластичности имеет вид (ofj ) == 0. В это уравнение входят также механические характеристики материала, определяющие возникновение пластических деформаций (например, а,). В пространстве напряжений, т. е. в девятимерном пространстве, точки которого задаются девятью значениями компонент это уравнение поверхности текучести И,, которая является границей упругой области (рис. 80). Если точка А, изображающая напряженное состояние, лежит внутри области Dg, частица ведет себя как упругое тело. Если изображающая точка В находится на поверхности текучести в частице возникают пластические (остаточные) деформации. Граница области Dg представляет собой совокупность пределов текучести для всевозможных напряженных состояний. [c.192]

ИДТИ об устойчивости нулевого положения изображающей точки Всегда можно предполагать, что потенциальная энергия системы в равновесном состоянии равна нулю. Равна нулю будет здесь конечно, и кинетическая энергия. Когда системе сообщается нaJ чальное возмущение, она получает некоторые количества потеа. циальной и кинетической энергии, т. е. некоторый запас пс механической энергии [c.398]

Хотя в предыдущих рассуждениях говорится о волновых поверхностях, скорости распространения и принципе Гюйгенса, по существу рассматривается аналогия не между механикой и волновой оптикой, а аналогия между механикой и геометрической оптикой. Дело в том, что понятие лучо, с которым главным образом связывается механика, является в основнол понятием геометрической оптики и только в геометрической оптике имеет строгий смысл. Принцип Ферма также может быть истолкован в рамках геометрической оптики с использованием понятия о показателе преломления. Кроме того, система -поверхностей, рассматриваемых как волновые поверхности, значительно слабее связана с механическим движением, поскольку изображающая механическую систему точка распространяется по лучу не с волновой скоростью , а со скоростью, пропорциональной (при постоянном значении Е) [c.683]

Всевозможные перемещения, совместные с этими условиями, образуют некоторую гипёрплоскость размерности п — т. Таким образом, в каждой точке пространства возможные перемещения лежат в некоторой своей, проходящей через эту точку гиперплоскости, и поэтому кривые, изображающие кинематически возможные движения системы и, в частности, ее действительное движение, в каждой своей точке будут касаться соответствующей этой точке гиперплоскости. В связи с задачей исключения реакций идеальных связей — основной задачей в вопросе составления уравнений движения механических систем — вводится понятие виртуальных перемещений. Виртуальными вариациями обобщенных координат называются вариации обобщенных координат, подчиненные уравнениям [c.18]

Если рупор правильно сконструирован, то упругость и активное сопротивление поршня во гсей рабочей области частот малы по сравнению с инерционным сопротивлением, ршыми словами, поршень является системой, управляемой массой. В этом случае эквивалентная схема, представляющая механический импеданс, такова, как представлено на верхнем чертеже фиг. 61. Индуктивность, изображающая массу поршня, включена последовательно с параллельными ветвями воздушной нагрузки. Мы пренебрегли индуктивностью сужения (горла), потому что она может быть сделана достаточно малой по сравнению с Шр. [c.304]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...