Принцип прямейшего пути

Принцип прямейшего пути Герца 281 [c.281]

ПРИНЦИП ПРЯМЕЙШЕГО ПУТИ ГЕРЦА [c.281]

Теперь воспользуемся принципом прямейшего пути. Согласно этому принципу, геодезическая линия имеет меньшую кривизну, чем соседние траектории при этом, по условию (38.3), сравниваемые соседние траектории ограничены тем, что они должны проходить через ту же точку и с той же касательной, как и геодезическая линия в рассматриваемой точке. Совокупность этих соседних траекторий мы получим, если, кроме плоскости, проходящей через нормаль к поверхности и дающей в сечении с последней геодезическую линию, проведем через соответствующую касательную все возможные наклонные плоскости и определим линии их пересечения с поверхностью. Согласно принципу Герца, эти косые сечения имеют большую кривизну (а следовательно, и меньший радиус кривизны) чем нормальные сечения. [c.285]

Преимущества геометрического языка особенно заметны тогда, когда механическая система не подвержена действию внешних сил.. В этом, случае траектория механической системы может рассматриваться как геодезическая линия в пространстве конфигураций (принцип прямейшего пути Герца), Более того, при потенциальной энергии, не зависящей от времени t, можно ввести вспомогательный линейный элемент [c.319]

N измерений. В этом пространстве принцип Гаусса может быть сформулирован как принцип прямейшего пути . Такая интерпретация устанавливает тесную связь между принципом Гаусса и принципом Якоби. [c.393]

Мы будем предполагать во всех случаях, что речь идет о материальных системах исключительно с Двусторонними связями, так 4t i для этих систем будет справедливо общее уравнение динамики. M d начнем с изложения принципа наименьшего принуждения или наименьшего усилия Гаусса и принципа прямейшего пути Герца эти принципы не только равносильны принципу виртуальной работы, но й прямо могут быть сведены к тому общему уравнению динамики, для которого они составляют только две новые интерпретации. [c.387]

Принцип прямейшего пути. Предположим, что связи не зависят от времени и что активных сил нет следовательно, материальная система движется исключительно под действием связей движение по инерции). [c.394]

Следовательно, мы можем сформулировать упомянутый выше принцип прямейшего пути так для материальной системы с двухсторонними идеальными и не зависящими от времени связями, на которую не действуют активные силы, естественное движение, начиная от какого-нибудь состояния движения, происходит с постоянной скоростью и так, что во всякий момент кривизна траектории в представляющем пространстве Е имеет минимум по сравнению со всеми другими траекториями, совместными со связями. Эта формулировка представляет собою замечательное распространение принципа инерции (т. I, гл. VII, п. 30) с элементарного случая свободной точки на движение материальных систем с какими угодно связями (при отсутствии активных сил и трения). [c.396]

Проверить, что в случае материальной точки, удерживаемой на поверхности без трения, принцип прямейшего пути (п. 5) определяет траекторию как такую кривую, которая во всякой своей точке имеет наименьшую кривизну по сравнению со всеми другими кривыми, проведенными на поверхности и выходящими из этой точки в том же самом направлении (определяемом состоянием движения). [c.454]

Герца принцип прямейшего пути 394—396 Гесс 169 [c.545]

К первому классу относятся принцип возможных перемещений Бернулли, принцип сил инерции Д Аламбера, принцип наименьшего принуждения Гаусса и принцип прямейшего пути Герца. Все эти вариационные принципы можно охарактеризовать как дифференциальные принципы, поскольку они вводят в качестве характерного признака действительного движения свойство движения, которое имеет значение для одного-единственного момента или элемента времени. Для систем механики все эти принципы эквивалентны и законам- движения Ньютона, и между собою. Но все они страдают тем недостатком, что имеют смысл только для механических процессов и что их формулировка делает необходимым пользоваться специальными координатами точек рассматриваемой материальной системы. Их формулировка, в зависимости от выбора координат точки, совершенно различна, и даже, чаще всего, относительно сложна и мало наглядна. [c.582]

Геометризация аналитической динамики. Тенденция эта вызвана возможностью изучения движения механических систем как движения изображающей точки в пространстве обобщенных координат, в фазовом пространстве и в расширенном фазовом пространстве с привлечением принципа прямейшего пути Герца и стационарного действия в форме Якоби, а также понятия интегральных инвариантов. [c.43]

Наиболее перспективна, по-видимому, тенденция рационального использования образов всех трёх картин [16]. К этому наименее подготовлен подход Герца. Классический принцип прямейшего пути сформулирован как эмпирический основной закон , объединяющий обычный закон энергии и принцип наименьшего принуждения Гаусса в одно утверждение [27]. Позже Дж.Л. Синг с помощью введённого им понятия относительной кривизны обосновал более общее утверждение принципа, допускающее наличие силового поля [137. [c.84]

Принцип прямейшего пути Герца. Основные подходы к изучению механического движения Герц описал в виде трёх картин образов механики, приняв для анализа каждой теории критерии её допустимости, правильности, целесообразности и простоты [27. [c.85]

Классический принцип прямейшего пути (при условии движения по инерции, т. е. с постоянной кинетической энергией) выводится непосредственно из принципа наименьшего принуждения Гаусса. В качестве меры принуждения принимается отклонение сравниваемых мыслимых движений, среди которых находится и действительное движение, от действительного же движения системы, полученной из данной освобождением от всех связей [7]. Поскольку активные силы отсутствуют, свободная материальная точка имеет ускорение, равное нулю (равномерное прямолинейное движение), поэтому принуждение имеет вид [c.87]

Некоторые направления развития принципа прямейшего пути. Отмечая незавершённость своей работы. Герц пишет ...честнее будет признать, что наше понятие допустимых связей носит характер гипотезы, принятой в виде пробы . Оказывается также, что формы силовых функций могут иметь весьма общий характер, и мы не устанавливаем для них никаких ограничений. Но с другой стороны, остаётся ещё открытым вопрос, не существует ли среди форм, встречающихся в природе, хотя бы одна, которая не поддаётся такому объяснению ([27], с. 55). Иначе говоря. Герц усматривал необходимость продолжения исследований принципа как в направлении расширения гипотезы о допустимых связях, так и в ответе на вопрос о существовании силовых полей, которые невозможно представить связями. [c.90]

Обобщение принципа, данное Сингом, и принцип прямейшего пути Герца являются частными случаями полученных утверждений. [c.94]

Для развития своей теории Герц должен был принять массы всех точек кратными некоторой единичной массе. Его принцип прямейшего пути заключается в минимизации кривизны [c.20]

Гамильтониана плотность 98 Генератор 49, см. также Произво дящая функция Герца принцип прямейшего пути 20 Главное квантовое число 73 Голономная связь 11 Группа Пуанкаре 107 [c.152]

Установленное выше утверждение о том, что прямой путь доставляет действию по Гамильтону стационарное значение, называется вариационным принципом (или началом) Гамильтона. Принцип Гамильтона замечателен тем, что он выделяет прямой путь среди всех окольных путей, которые могут быть проведены между двумя точками расширенного координатного пространства, устанавливает общее свойство прямого пути, его отличие от иных кинематически возможных, но не реализующихся в рассматриваемом потенциальном поле путей ). [c.279]

Легко показать, что экстремаль является инвариантом преобразований, т. е. если преобразования (62) выполняются одновременно над кривой пучка, представляющей собой экстремаль, и над функционалом, то преобразованная кривая остается экстремалью для преобразованного функционала. Отсюда и из обратного утверждения принципа Гамильтона (см. выше) сразу следует, что преобразованный прямой путь удовлетворяет уравнениям Лагранжа с лагранжианом L, который определяется по формуле (64). [c.281]

Вернемся теперь к принципу Гамильтона и выясним, какого типа стационарная точка — максимум, минимум или точка перегиба — достигается действием на прямом пути. Ответ на этот вопрос тесно связан с указанными в начале этого параграфа особенностями краевой задачи, которая возникает при проведении прямого пути. [c.283]

Покажем, как исходя из принципа Гамильтона — Остроградского, получить уравнения Лагранжа второго рода. Пусть qi(t), <72(0. . (О обобщенные координаты, соответствующие прямому пути консервативной голономной механической системы. Рассмотрим окольный путь, определяемый функциями г+б г,. ... .., js- 6qs. Тогда, с точностью до членов первого порядка малости по сравнению с бдт и б т, будем иметь [c.215]

Этому соответствует теорема Менье теории поверхностещ которая гласит радиус кривизны косого сечения равен проекции радиуса кривизны нормального сечения на плоскость косого сечения. Таким образом, теорема Менье может рассматриваться как количественная специализация общего принципа прямейшего пути. [c.285]

Канонические уравнения оказывались, по существу говоря, математическим выражением принципа Гюйгенса, рассматриваемого в его первоначальном геометрическом виде. Механическое движение с этой точки зрения рассматривается как непрерывное саморазвертывание касательного преобразования. Глубокая аналогия между идеями гамильтоновой механики, не зависящей от выбора системы координат, и геометрией многомерных пространств привела к геометризации механики. Было выяснено, что разыскание движения голономных систем со связями, независимыми от времени под действием сил, имеющих потенциал, может быть сведено к задаче геодезических линий. Механика Герца, основанная на его принципе прямейшего пути, была геометризована в н-мерном пространстве однако она, несмотря на последовательность построения, оказалась малоплодотворной в силу сложной замены сил связями со скрытыми, вообще говоря, системами. [c.841]

Глубокое развитие идеи Гаусса дал в 1892—-1893 гг. Герц ), разработавший принцип прямейшего пути ценность принципа Герца состоит в том, что он сводит задачи механики к проблеме геодезических линий и тем самым геометризует классическую динамику. Принцип Герца был бы просто частным случаем принципа Гаусса, если бы он не заменил сил, действующих на систему, связями ее с другими системами, находящимися с ней во взаимодействии. Этим самым Герц как бы изучал только свободные системы, вводя кроме наблюдаемых еще и скрытые массы и скрытые движения . Исторические корни механики Герца содержатся в работах Гельмгольца о скрытых движениях (введение которых у Герца оказывается логически необходимым следствием его концепции основ механики) и в работе Кирхгофа по выяснению основ механики. В своей формулировке каждое естественное движение самостоятельной материальной системы состоит в том, что система движется с постоянной скоростью по одному из своих прямейших путей . Герц объединяет, по существу говоря, закон инерции и принцип наименьшего принуждения. Герц отмечает глубокую связь своего принципа с теорией поверхностей и многочисленные аналогии, которые возникают при его рассмотрении. Принцип Герца находится в тесной связи с геометрической оптикой и теоремой Бельтрами—Липшица, так как между прямейшими путями и нормальными к ним поверхностями в процессе движения имеет место то [c.849]

По существу говоря, вариационные принципы не являются ни первыми, ни единственными в отношении выделения осуществляющихся в природе движений из всех возможных движений. Уравнения движения Ньютона также выделяют из всех возможных движений — точнее говоря, из всех мыслимых движений — естественные движения, удовлетворяющие аксиомам механики Ньютона, среди которых первая аксиома является частным случаем обобщенного принципа прямейшего пути Герца. Различие в характере выделения группы естественных движений с помощью уравнений Ньютона от выделения их с помощью вариационных принципов состоит в том, что в первом случае условием является только соответствие аксиомам механики, а во втором это соответствие выражено через экстремальное условие, для применения которого небходимо сравнение возможных движений между собой. Нечто аналогичное уже имело место и в принципе возможных перемещений. [c.869]

Герц дал блестящую геометрическую интерпретацию принципа Гаусса для специального случая, когда действующие силы равны нулю. В этом случае 2 может быть интерпретировано как геодезическая кривизна пути изображающей точки, которая представляет положение механической системы в Зп-мерном евклидовом пространстве с прямоугольными координатами ушух,, Ж]у1, yWiZi. Эта точка в силу заданного принуждения должна оставаться внутри некоторого подпространства этого Зл-мерного пространства. Принцип 2 = min может быть теперь выражен как требование, чтобы для изображающей точки кривизна в каждой точке ее пути имела наименьшее значение, совместимое с заданным принуждением. Это означает, что путь изображающей точки стремится быть насколько возможно прямым. Отсюда принцип прямейшего пути Герца. [c.891]

ГЁРЦА ПРИНЦИП (принцип наименьшей кривизны) — один из вариационных принципов механики, согласно к-рому при отсутствии активных сил из всех кинематически возможных, т. е. допускаемых наложенными связями траекторий, действительной будет траектория, имеющая найм, кривизну, или прямейшая . По этой причине Г. п., наз. принципом прямейшего пути, можно рассматривать как обобщение галилеева инерции закона. При применении Г, п. к механич. системе, состоящей из п материальных точек, под траекторией системы понимают кривую в Зл-мерном пространстве, элемент дуги к-рой определяется равенством [c.443]

Глубокое развитие идей Гаусса в связи с идеей Гельмгольца о кинетическом объяснении всех видов энергии при помощи скрытых движений дал в 90-х годах XIX в. Генрих Герц, разработавший принцип прямейшего пути. Познавательная ценность этого принципа состоит в том, что он сводит задачи механики к проблеме геодезических линий, коренным образом геометризует классическую динамику. [c.229]

Глубокое развитие идеи Гаусса дал в 1892—1893 гг. Г. Герц разработавший принцип прямейшего пути ценность принципа Герца состоит в том, что он сводит задачи механики к проблеме геодезических линий и тем самым геометризует классическую динамику. Принцип Герца был бы просто частным случаем принципа Гаусса, если бы Герц не заменил сил, действующих на систему, связями ее с другими системами, находящимися с ней во взаимодействии. Этим самым Герц как бы изучал только свободные системы, вводя, кроме наблюдаемых, еще и скрытые массы и скрытые движения . Исторические корни механики Герца содержатся в работах Гельмгольца о скрытых движениях (введение которых у Герца оказывается логиче- [c.222]

Новый основной принцип прямейшего пути Герц сформулировал как эмпирический основной закон каждое естественное движение самостоятельной материальной системы состоит в том, что система движется с постоянной скоростью по одному из своих прямейших путей. Это положение объединяет обычный закон энергии и принцип наименьшего принуждения Гаусса в одно утверждение... Если бы связи были разрушены (на один момент), то массы рассеялись бы в прямолинейном и равномерном движении... Это первый и последний основной принцип механики. Из него и допущенной гипотезы скрытых масс дедуктивно выводится содержание механики [27]. В предложенном законе Герц усматривает также объединение первого закона Ньютона и принципа наименьшего принуждения Гаусса, а в числе преимуществ отмечает, что метод бросает яркий свет на разработанный Гамильто- [c.85]

Пусть кроме условий, принятых в 1, дополнительно имеется предположение, что все связи являются катастатическими. Тогда касательные ускорения в действительном движении (и мыслимых движениях, принятых к сравнению) равны нулю и из (25) следует принцип прямейшего пути Герца, который можно рассматривать как обобщение закона инерции Галилея система движется по прямейшему пути (т. е. по пути наименьшей кривизны) с постоянной по величине скоростью. [c.93]

Принцип прямейшего пути Герца является частным слу- чаем принципа Гаусса и поэтому мог бы казаться не заслу живающим особого внимания. Однако за ним скрываются глубокие физические идеи, частично остающиеся актуальными и в настоящее время, Г. Герц стремился исключить силы из своей теории и рассматривал системы, на которые не действуют активные силы. При этом он исходил из понятия элемента дуги йз траектории системы в многомерном пространстве, [c.20]

Вариационный принцип Мопертюи — Лагранжа. Рассмотрим теперь координатное пространство q и будем считать, что ось в этом пространстве играет такую же роль, какую в общем случае в расширенном координатном пространстве играла ось времени. В этом пространстве выберем дне точки и проведем между ними прямой путь, соответствующий уравнениям Якоби для рассматриваемой консервативной (обобщенно консервативной) системы. На этом пути /y = /i = onst. Проведем между этнми же точками однопараметрический пучок окольных путей, расположенных в изоэнергетическом подпространстве , т. е. таких, что вдоль них тоже Я = Л. В качестве функционала на этом пучке возьмем интеграл [c.330]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...