Седло (особая точка)

Седло (особая точка) 434 Сепаратриса 485, 488, 489 Сила активная 20 [c.587]

Один из корней — действительный, два других — комплексные, причем знаки действительного корня и действительных частей двух других — комплексно-сопряженных корней — разные. Состояние равновесия в этом случае изображается особой точкой типа седло-фокус (рис. 1.7, а и рис. 1.7, б). [c.14]

Все корни действительные и разных знаков. Этот случай соответствует двум типам особых точек седло-узел, изображенным на рис. 1.8, а и рис. 1.8, б. [c.14]

I < 1 в этом случае имеется единственная особая точка (i = 4. I = 0). которую можно рассматривать как результат слияния двух особых точек центра и седла. Периодические движения в системе при X = 1/4 также невозможны. [c.37]

С = fg Д имеются три особые точки одна — устойчивый узел, вторая — седло и третья (х = О, = 0) — существенно особая точка. [c.142]

При tg Л < < Сз и 4 < < tg А имеются также три особые точки. При = и С = устойчивый узел и седло сливаются в одно состояние равновесия. Точка X = О, у = О остается. [c.142]

Так как и = О, t/ = О — интегральные кривые и, кроме седла, вне осей других особых точек нет, то система (5,82) [c.174]

Точка а, через которую проходит правильная интегральная кривая — точка типа седла точки Ь и с — узлы. Узловой особой точкой является также и начало координат 0. Вблизи последнего уравнение (107,8) принимает вид [c.567]

Еслн X = X.J, является точкой локального минимума функции П(з ), то точка (а , 0) на фазовой плоскости будет особой точкой типа центр д.ия системы (10). Если же г = — точка локального максимума, то 0) — особая точка тина седло. [c.151]

Если изобразить графически функцию V (х) и построить фазовые траектории на основании уравнения + Е (зг)---/г или его решения г/ = г ]/2 [/г — У (л )], то, задаваясь различными значениями Н, мы получим два характерных случая (рис. 1.3, точки А и В). Значение X = Ха соответствует минимуму потенциальной функции V (дг), и точка А (ха, 0) является особой точкой типа центр. Точка В (х , 0), соответствующая максимуму функции V (а ), представляет собой особую точку типа седло и отвечает па фазовой плоскости неустойчивому положению равновесия. [c.21]

Два типа фазовых траекторий соответствуют двум типам движения. Замкнутые траектории, окружающие особые точки типа центр с координатами у = О, X 2пп (п — любое целое число), соответствуют колебательным движениям маятника вокруг устойчивого нижнего положения равновесия, отвечающего минимуму потенциальной энергии. Особые точки / = 0, х = = (2п -- 1) л представляют особые точки типа седло, соответствующие верхнему положению равновесия маятника — максимуму потенциальной энергии. [c.24]

Вырожденные семейства, найденные численно. Названные семейства соответствуют объединению трех линий, показанных пунктиром на рис. 26. Если А принадлежит линии 1 или 2, то одно из уравнений семейства (11а) имеет сложный цикл (сепаратрисный многоугольник) с четырьмя особыми точками типа седло-узел, причем центральное многообразие одной особой точки является устойчивым (или неустойчивым) многообразием другой (рис. 27а,б). Если А принадлежит кривой 3, то одно из уравнений семейства (Па) имеет сложный цикл с че- [c.64]

Пример 2. Рассмотрим деформацию ростка векторного поля в особой точке типа седло на плоскости, заданную как одно ур авнение [c.68]

Однако поскольку собственные значения оператора А (0) разных знаков (особая точка О —седло), отношение собственных чисел оператора А (е) принимает рациональные значения на любом интервале изменения параметров (если деформация типична). Поэтому существуют сколь угодно малые значения е, для которых формальная нормальная форма уравнения [c.68]

Если все не лежащие на мнимой оси собственные значения матрицы линейной части векторного поля в особой точке находятся в правой (левой) полуплоскости, то скажем, что особая точка — неустойчивый (устойчивый) узел по гиперболическим переменным. В противном случае особая точка называется седлом по гиперболическим переменным. [c.89]

Теорема ( [ПО]). Пусть в однопараметрическом семействе общего положения нулевому критическому значению параметра соответствует векторное поле Vo с вырожденной особой точкой О типа седло по гиперболическим переменным, имеющей одно собственное значение О и одну гомоклиническую траекторию. Тогда для этого семейства справедливо заключение первой теоремы п. 3.1, только рождающийся грубый цикл будет седловым (то есть гиперболическим, но ни устойчивым, ни вполне неустойчивым). [c.112]

Теорема ([ИЗ]). В типичном однопараметрическом семействе векторных полей встречаются векторные поля с вырожденной особой точкой О, имеющей одно собственное значение О, седло по гиперболическим переменным и р гомоклинических траекторий Г,- точки О, р>1. Тогда для всех полей v , соответствующих достаточно близким к критическому значениям параметра, лежащим по одну сторону от критического значения, справедливо следующее утверждение. Для некоторой окрестности и объединения ОиГ,- ограничение потока поля на множество неблуждающих траекторий топологически эквивалентно надстройке над топологической схемой Бернулли из р символов. [c.113]

Предварительные понятия ведущие направления и седловые величины. Рассмотрим росток v x) = Ах- -... гладкого векторного поля в гиперболической особой точке О типа седло, dim o = s>0, dim o = >0- [c.127]

Тогда все некритические векторные поля семейства, достаточно близкие к критическому, в некоторой окрестности гомо-клинической траектории задают системы Морса—Смейла не более чем с двумя неблуждающими траекториями, одна из которых — особая точка поля. Векторные поля семейства, соответствующие значениям параметра по одну сторону от нуля, не имеют других неблуждающих траекторий соответствующие значениям параметра по другую сторону от нуля имеют предельный цикл. Размерность устойчивого многообразия этого цикла на единицу превышает размерность устойчивого многообразия седла или совпадает с ней, в зависимости от того, отрицательна или положительна седловая величина о. А [c.128]

Эти точки пересечения — положения равновесия медленного уравнения. Поскольку они регулярны, это обычные особые точки гладкого (медленного) векторного поля на поверхности (узлы, седла, фокусы). К их исследованию применима обычная локальная теория [26]. [c.175]

Особые точки последнего типа могут быть на медленной поверхности фокусами а<—1), узлами (—1<а<0) или седлами (0<а). [c.177]

На рис. 83 показаны траектории для общего случая (не только для случая движения вблизи особой точки). Особенности расположены на линии ф = О в точках 0 = 0 и 0 = +пя точки 0 = 0 и 0 = пл (где п четное) являются седлами, точками неустойчивого равновесия, а0 = ли0= м (где п нечетное) представляют собой вихревые точки, точки устойчивого равновесия. Уравнения траекторий имеют вид [c.377]

Движение в окрестности центра. Здесь мы рассмотрим критический случай. Выше было установлено, что в окрестности особых точек типа узла, седла и фокуса движение происходит, по существу, так же, как если бы оно описывалось соответствующим линейным приближением. Однако для особой точки типа центра это не имеет места. В этом случае линейное приближение дает устойчивость, в то время как точные уравнения могут привести либо к устойчивому, либо к асимптотически устойчивому, либо, наконец, к неустойчивому движению. [c.379]

Рассмотрим еще три примера. В первом из них система имеет две особые точки — типа центра и типа седла — и траектории разделяются на три класса сепаратрисой — силовой линией, проходящей через седловую точку. [c.382]

Следовательно, при /о > О индекс особой точки равен +1, а при /о < О равен —1. С другой стороны, Jo равно произведению собственных значений матрицы А ( 19.4) это произведение положительно для узла, фокуса и центра и отрицательно для седла. Таким образом, индекс любой допустимой особой точки при Jo ф ) равен +1 ( + 1 для узла, фокуса и центра и —1 для седла). [c.386]

XIX. Так, на рис. 104 имеется одна особая точка типа центра, и, следовательно, соответствующее стационарное колебание устойчиво. На рис. 105 имеются три особые точки. Две из них являются центрами, и соответствующие им стационарные колебания устойчивы, третья представляет собой седло, и ей [c.485]

Свойство сохраняемости вихревых линий 153 Седло (особая точка) 21 Сейши 401, 504 [c.581]

С текущим параметром Уравнения (3.12) определяют на плоскости другую граничную кривую. Часть этой кривой, показанной на рис. 3.8, является границей устойчивости особых точек неседлового типа. Картина разбиения плоскости параметров г/о,х на области, различающиеся числом и устойчивостью состояний равновесия системы, показана на рис. 3.8, где кривая (3.10) показана сплошной жирной линией, а кривая (3.11) — сплошной тонкой линией. Область 1 соответствует наличню одной устойчивой особой точки на фазовой плоскости область 2 — одной неустойчивой особой точки типа узла или фокуса области 3 — 6 — трем особым точкам, из которых в области 3 две устойчивы, а третья — седло. В областях 4 и 6 неустойчивы две особые точки, а в области 5 неустойчивы все три особые точки. [c.57]

Для того чтобы стационарное пламя устойчиво распространялось по равновесной в походном состоянии смеси, необходимо, чтобы вблизи начального состояния отсутствовала химнческая реакция (У = 0). Линеаризуя систему уравнений п ее первые интегралы около решений, соответствующих равновесным состояниям, получим системы уравнении, позволяющие исследовать характер особых точек, соответствующих равновесным состояниям. На рис. 5.2.1 дана схема ноля интегральных кривых в плоскости (б, Ti), где = dTJdx, при тепловом режиме распространения пламени. В данном случае особые точки о ъ d являются седлами. Линейное решение позволяет по сепаратрисе выйти из начальной особой точки о. Последующее численное решение, описывающее переход в конечное равновесное состояние, и вычисление собственного значения —скорости пламени можно строить методом пристрелки. [c.416]

Центральное многообразие этой системы двумерно исследуем его пересечения с плоскостями е = onst. Система (12) получается добавлением уравнения е = 0 к семейству из последних двух уравнений. При е > О уравнение этого семейства имеет две особые точки седло 5g(]/E,0) и узел Ne — OJ, отношение а собственных значений которого равно 1/2]/ е. Пересечение центрального многообразия системы (12) с плоскостью E = onst содержит (гладкую) сепаратрису седла Sg и фазовую кривую, входящую в узел Ne- Через узел Ne проходят (при нецелом а) ровно две гладкие инвариантные кривые соответствующего уравнения остальные фазсвые кривые входят в узел, имея в точке [c.68]

Эти результаты могут быть названы теоремами о конечногладкой надстройке седла и являются конечно гладким аналогом принципа сведения [20], [26]. Они обладают меньшей общностью на мультипликаторы (или собственные значения особой точки) налагаются арифметические требования, которых нет в теореме сведения. Перейдем к деформациям гиперболических резонансных ростков. [c.70]

Пример 1. Рассмотрим негиперболическую особую точку О векторного поля с одномерным центральным многообразием, ограничение поля на которое имеет вид ах +. ..) djdx, а О. Если эта особая точка — узел по гиперболическим переменным, то росток в точке О одного из множеств 8 , S диффеоморфен ростку луча в его вершине, а росток другого множества — ростку полупространства в граничной точке. Если особая точка О — седло по гиперболическим переменным, то ростки множеств S и диффеоморфны росткам полупространства размерности выше единицы в граничной точке dim S = dim +1, dim S = dim W +l. [c.89]

Седло по гиперболическим переменным одна гомоклини- ческая траектория. Векторное поле с вырожденной особой точкой типа седло по гиперболическим переменным может иметь любое конечное число гомоклинических траекторий особой точки такие поля встречаются неустранимым образом в однопараметрических семействах общего положения. Обозначим через р число гомоклинических траекторий вырожденной особой точки [c.112]

Теорема (о версальности). Росток однопараметрического семейства общего положения векторных полей We) на гомокли-нической траектории негиперболической особой точки—седла по гиперболическим переменным в R —топологически эквивалентен ростку одного из главных семейств О или 0 на гомоклини-ческой траектории поля или V . [c.115]

Если X = х является точкой локального минимума функции П(ж), причем dPli/dx > О при х = ж, то точка (ж, 0) на фазовой плоскости будет особой точкой типа центр для системы (10). Если же ж = ж — точка локального максимума и в ней d Ii/dx < О, то (ж, 0) — особая точка типа седло. [c.182]

Собственные значения равны и, особая точка представляет собой седло. Из предыдущего нам известно, что существует траектория, которая входит в особую точку с двух противоположных сторон в соответствующих лимитационных движениях маятник достигает верхней точки окружности. [c.377]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...