Шредингера уравнение в -представлении

Уравнение Шредингера в представлении взаимодействия. Представим искомую волновую функцию (г, t) в [c.241]

Обычно уравнение Шредингера используется в некотором -представлении и записывается для волновой функции Ф(ж, ) = (ж Ф( )). Из (1.2.14) следует, что уравнение для волновой функции имеет вид [c.25]

Уравнение Шредингера для осциллятора. В дальнейшем будет рассматриваться нерелятивистская задача, описывающая излучение заряженной частицы (нуклона), находящейся в осцилляторной потенциальной яме. В обычной теории соответствующее уравнение в (р, Е )-представлении имеет вид [c.153]

В Представлении Шредингера динамической временной зависимостью обладают состояния, тогда как операторы вообще остаются независящими от времени. В представлении Гейзенберга вектор состояния не зависит от времени, тогда как временная зависимость переносится на наблюдаемые. Переход от одного представления к другому осуществляется с помощью введенного в уравнении (В2.14-2) временного унитарного преобразования согласно [c.82]

В последующем изложении проблемы собственных значений оператора напряженности поля для одной моды [1.32-1] можно модовый индекс опустить и перейти к скалярному описанию для одной моды распространение волны можно считать одномерным. В дальнейших рассуждениях мы будем пользоваться представлением Шредингера без ограничения общности мы можем принять, что в момент времени = О величины, заданные в представлении Гейзенберга уравнением (1.21-4), и соответствующие величины в представлении Шредингера совпадают. . [c.157]

Начальное и конечное состояния идентичны (различным) собственным состояниям свободной системы [ср. уравнение (В2.21-1)], что отнюдь не ограничивает прогнозирующие возможности наших рассуждений для типичных случаев. Для дальнейших целей рассмотрим случай не зависящего от времени оператора взаимодействия (в представлении Шредингера) важным примером такого оператора служит выражение, получающееся из уравнения (2.13-3) при последовательном квантовом рассмотрении взаимодействия с полем излучения. При учете уравнения (В2.21-4) из уравнения (2.2-3) следует [c.184]

ШРЕДИНГЕРА ПРЕДСТАВЛЕНИЕ — одно нз возможных (в принципе равноправных) представлений операторов и волновых ф-ций в квантовой механике. В Ш. п. система описывается зависящей от времени волновой ф-цией г ) (г), удовлетворяющей Шредингера уравнению. Динамич. переменным А соответствуют операторы, не зависящие от времени явно. Однако средние значения переменных могут зависеть от времени через волновые ф-ции [c.422]

Уравнение Шредингера для системы поле —атом в представлении взаимодействия имеет вид [c.23]

Для расчета вероятности поглощения п фотонов нужно воспользоваться, строго говоря, /г-м порядком теории возмущений. При этом можно, конечно, сделать большое число упрощений. Чтобы решить уравнение Шредингера в представлении взаимодействия [c.32]

В представлении взаимодействия изменение вектора состояния поля со временем подчиняется уравнению Шредингера [c.116]

Чтобы влияние стохастического члена проявилось наиболее ясно, мы будем решать уравнение Шредингера в представлении взаимодействия. Гамильтониан взаимодействия выразится тогда следующим образом [c.161]

В представлении Шредингера динамика системы также определяется гамильтонианом, однако изменение состояния со временем описывается не с помощью набора функций / (t), g (t),. . ., а с помощью волновой функции ф (д, t), которая удовлетворяет уравнению Шредингера [c.46]

В 3 мы вывели приближение Хартри —Фока из вариационного принципа для того, чтобы получить уравнение Шредингера для одноэлектронной волновой функции (3.7). Другой аспект этого приближения можно получить, если записать оператор Гамильтона электронного газа со взаимодействием (3.1) в представлении чисел заполнения, т. е. оператор [c.53]

В представлении Гейзенберга все векторы состояний постоянны. Зависимость от времени заключают в себе операторы, которые соответствуют динамическим переменным системы. Эта зависимость описывается уравнениями движения Гейзенберга. Такое представление наиболее непосредственно соответствует способу рассмотрения частиц в классической механике. В релятивистской теории поля представление Гейзенберга имеет то преимущество перед представлением Шредингера, что в нем зависимость операторов поля от времени и от пространственных координат рассматривается на равных основаниях. Наконец, имеется представление взаимодействия, которое занимает промежуточное положение между представлениями Шредингера и Гейзенберга. В этом представлении как векторы состояний, так и динамические переменные зависят от времени. Изменение векторов состояний со временем описывается уравнением Шредингера, в которое входит только взаимодействие, а изменение со временем динамических переменных описывается уравнением Гейзенберга, которое содержит только гамильтониан свободных частиц. Это представление имеет определенные преимущества при промежуточных вычислениях. С точки же зрения окончательного расчета наблюдаемых величин все эти представления, конечно, эквивалентны друг другу. [c.144]

Волновая функция в представлении Шредингера определяется, как обычно, из уравнения [c.244]

В уравнении (28.41) функционал играет роль вектора состояния в представлении Шредингера квантованного поля. Если, в частности, Ч есть степенной функционал я-й степени [c.626]

Далее, оператор билинейный относительно операторов рождения и уничтожения, аналогичен гамильтониану свободного поля квантовой теории поля, а оператор <й< 1, кубичный относительно операторов рождения и уничтожения, аналогичен гамильтониану взаимодействия в представлении Шредингера . Взаимодействия, о которых тут идет речь.— это инерционные взаимодействия между пространственными неоднородностями поля скорости и х, 1), описываемые в уравнениях Навье—Стокса слагаемыми, нелинейными относительно поля и. Отношение типичных значений этих слагаемых и линейных слагаемых, описывающих действие вязкости, которое равно числу Рейнольдса Ке, является константой инерционного взаимодействия (см. выше п. 19.2). Если перейти в уравнении (28.41) к безразмерным величинам так, чтобы гамильтониан свободного поля имел порядок единицы, то конст анта взаимодействия Ее будет множителем при гамильтониане взаимодействия Поскольку в случае развитой турбулентности Ке велико, взаимодействие, описываемое гамильтонианом является сильным. [c.627]

Уравнение (28.50) является аналогом уравнения Шредингера в представлении взаимодействия (а функционал Ф и оператор с54 (<) аналогичны вектору состояния и гамильтониану взаимодействия в представлении взаимодействия). [c.628]

Этот функциональный интеграл можно обычным способом, используя соотношения (7.95) — (7.100), преобразовать в дифференциальное уравнение в частных производных для функции Г (К, Я, 1(). Ключ к ответу, однако, дается аналогией между уравнением диффузии (7.103) и уравнением Шредингера (7.104). В самом деле, функция (г + г А-г) аналогична лагранжиану заряженной частицы, помещенной в поле с векторным потенциалом И"КА.. Следовательно, соотношение (7.114) есть не что иное, как представление пропагатора соответствующего уравнения Шредингера , [c.331]

При всем его математическом изяществе в методе -матрицы, описанном в предыдущем параграфе, кроется внутреннее противоречие. Действительно, предположим, что потенциальная энергия системы имеет ячеечный характер ( 10.8) каждый атомный потенциал 17 (г) центрально-симметричен внутри своей сферы радиуса / яч1 не перекрывающейся с соседними. С помощью формул(10.34) и (10.35) мы могли бы найти -матрицу для такого объекта, решив радиальное уравнение Шредингера во внутренней области и выразив сдвиги фаз т]( Ш) при рассеянии через логарифмические производные функций(г Ш) при г = Лдч- Однако взглянем на любую формулу 10.6, в которой фигурирует символ . От нас требуется уметь вычислять выражения (в представлении волновых векторов) типа [c.485]

Как и в разложении (10.31), символом Ь здесь обозначена пара квантовых чисел момента количества движения I, т). Теперь надо решить уравнение (10.70) относительно функции 1 )-Но по существу это не более чем задача о решении уравнения Шредингера для радиальных функций (10.32). Используя различные тождества, которым удовлетворяет -матрица, мы можем установить связь разложения (10.72) с выражением (10.35), возникающим в методе парциальных волн для матричных элементов в представлении орбитальных квантовых чисел [c.489]

В -представлении уравнение Шредингера имеет вид [c.197]

Можно, правда, усомниться в том, допустимо ли рассматривать Я как число при дифференцировании членов вида однако эту процедуру можно обосновать, разлагая оператор е-1нг 3 степенной ряд. С другой стороны, уравнение (2.30) можно получить из (2.29), дифференцируя матричный элемент < 1 р (О I > Так или иначе уравнение (2.30) верно, и оно играет для матриц плотности такую же роль, какую уравнение Шредингера играет для волновых функций. Следует заметить, что оператор наблюдаемой физической величины в представлении Гейзенберга удовлетворяет уравнению [c.56]

Итак, мы получили возмущенное уравнение Шредингера в энергетическом представлении. Фактически (10.1.9) есть не одно уравнение, а система уравнений. Подчеркнем, что эта система удобнее, нежели уравнение (10.1.3), поскольку, решая ее, мы сразу определяем амплитуды переходов а п,. Весьма существенно, что в процессе решения системы (10.1.9) можно обычно пользоваться методом возмущений. [c.243]

Квантовая статистическая сумма (13.11), представляющая собой шпур статистического оператора = Sp (Р= 1/0), как было отмечено, не зависит от квантового представления и поэтому может быть вычислена в произвольном представлении. Таким образом, нам не обязательно решать уравнение Шредингера и определять энергетический спектр системы. В рассматриваемом случае расчет производится в общем виде для произвольного гамильтониана вида [c.222]

Круг явлений, в которых наиболее просто и очевидно проявляются квантово-механические закономерности, определяется в первую очередь их очевидной несовместимостью с классическими представлениями. К этому кругу относятся прежде всего явления, обусловленные волново-корпускулярным дуализмом в движении микрочастиц. Построение модели такого движения привело к формулировке уравнения Шредингера, которое является новым уравнением физики и не может быть выведено из ранее известных уравнений. Однако в физике давно было известно, что любые волны описываются соответствующим волновым уравнением. Исторически и логически уравнение Шредингера возникло как уравнение для волн де Бройля. Такой подход к уравнению Шредингера является наиболее простым и естественным в рамках индуктивной формулировки физической модели в курсе общей физики. Однако необходимо со всей возможной полнотой подчеркнуть, что при этом речь идет не о возникновении еще одной новой области физики, которая описывается соответствующим новым дифференциальным уравнением, а о новой области физики, модель которой может быть описана и без дифференциального уравнения Шредингера. С этой точки зрения более целесообразно начинать изложение квантово-механической модели в матричной формулировке, в которой она и была открыта Гейзенбергом. Однако из педагогических соображений более предпочтительно рассматривать матричную формулировку после уравнения Шредингера как представление. [c.9]

В первых четырех главах эюй книги были изложены экспериментальные факты, которые привели к возникновению квантовой механики, а также основные положения квантовой механики в наиболее привычном представлении-координатном. Это представление кажется некоторой модификацией моделей классической физики и выглядит наиболее естественным и понятным . Однако именно благодаря этому оно наименее приемлемо для изложения существа квантовой механики и часто приводит к его искажению. Например, квантовая механика излагается как теория, основанная на дифференциальном уравнении Шредингера, а затем говорится об операторном методе квантовой механики. При таком подходе невозможно вообще гю-нять суть квантовой механики, потому что при этом не учитывается различие физической природы динамических переменных классической и [c.150]

В системе взаимодействующих частиц двин ение частиц, вообще говоря, взаимно коррелировано сложным образом. В частности, волновая ф-ция системы не распадается на произведение волновых ф-ций отдельных частиц. Нельзя считать, что кажда г частица находится в своем определенном состоянии или, в классич. механике, — на своей определенной орбите, на к-рой ее движение происходит независимо от мгно-веппого иоложения др. частиц. Однако во многих случаях (электроны в атоме и т. п.) подобное представление может быть приближенно справедливо, — действие на данную частицу всех остальных частиц системы можно приближенно заменить их действием, усредненным по движению этих частиц. Согласно методу С. п., для каждой частицы подбирается своя отдельная волновая ф-ция так, что для данной частицы она является правильным состоянием — правильным решением Шредингера уравнения — в поле всех остальных частиц, усредненном по их состояниям движения. Очевидно, что для разных состояний системы (1 п., действующее на данную частицу, будет, вообще говоря, различным. В. А. Фок показал, что этот подход можно улучшить посредством учета симметрии волновых функций, что физически означает учет той части корреляции движения частиц, к-рая обусловлена не их силовым взаимодействием, а тождественностью частиц. Л, Фейнберг, [c.464]

Уравнение (1.1.1) получено для возмущений типа двумерного волнового пакета (1.1.2), исходя из метода многих масштабов идеи Мандельштама - представление суммы гармонических волн в виде квазимонохроматической волны. Это позволило учесть растущие и взаимодействующие возмущения на разных масштабах. При определенных упрощениях ОНПУ приводится к уравнению Гинзбурга-Ландау, а для консервативных сисч вм физики плазмы и гидродинамики идеальной жидкости - к нелинейному уравнению Шредингера. Уравнение, подобное (1.1.1), широко применяется для исследования различных гидродинамических (9-131, физических [14] и химических процессов [6-8, 11]. [c.11]

B. Приведенные результаты выясняют причины справедливости сформулированной Шредингером [39] в его работе <(0б обращении законов природы (1931) теоремы об обратимости макроскопических уравнений. В теореме Шредингера утверя -дается, что, подобно тому, как рассасывание флюктуаций — температуры или плотности — с подавляющей вероятностью происходит в направлении, обратном направлению градиентов, возникновение флюктуаций с подавляющей вероятностью происходит в точно противоположном направлении—направлении самих градиентов. Сформулировав эту теорему, Шредингер пишет, что она настолько противоречит некоторым нашим представлениям о вероятности макроскопических процессов, что несмотря на свою большую правдоподобность не может казаться [c.200]

Выяснена возможность пространственно-временного (в частности, гамильтонова) описания системы полей, взаимодействующих друг с другом нелокальным образом. В основу динамического аппарата теории положены перенормированные гейзенберговские уравнения поля, видоизмененные таким образом, что они автоматически приводят к унитарной матрице рассеяния. С этой целью использовано введенное в предыдущей работе [1] представление 5-матрицы в виде упорядоченной по заряду экспоненты. Найден вид операторов энергии-импульса и заряда, а также вид операторов поля в представлениях Шредингера и взаимодействия. Показано, что нелокальная теория поля не вызывает трудностей с отрицательной энергией ни при каком выборе форм-фактора. [c.119]

Таким образом, необходимый для расчета однофононного комбинационного рассеяния света гамильтониан в представлении вторичного квантования описывается формулами (6.84), (6.86), (6.87) и (6.89). Ясно, что нам следует описать процесс, при котором происходит переход из состояния Т,- в состояние через промежуточные состояния Непосредственная проверка совокупностей операторов, входящих в (6.86) и (6.89), показывает, что для интересующего нас процесса требуется, чтобы совокупность операторов ЖеяШеьШек, действуя на давала функцию Тг. Это, очевидно, процесс третьего порядка. Вычисление членов ряда теории возмущений третьего порядка можно выполнить в компактной форме, произведя каноническое преобразование [49]. Рассмотрим для этого не зависящее от времени уравнение Шредингера для полной системы излучение 4- вещество [c.85]

В настояш ее время развиваются различные способы для устранения погрешностей самого МТ-приближенпя, например, [247—249] и ссылки в [249]. Но даже есдп такой НМТ-потенциал построен, то решение уравнения Шредингера для него представляет собой трудную задачу. На эту тему выполнен ряд интересных работ. В частности, проведено [250, 251] обобщение метода фазовых функций на случай сферически-несимметричных потенциалов. Имеется серия работ [252—258], основанных на идее [259] замены орбитальных квантовых чисел I, т для сферически-симметричного рассеивателя на новые квантовые числа, в представлении которых матрица фазовых сдвигов снова становится диагональной. (Так как для несферического рассеивателя орбитальный момент количества движения перестает быть интегралом движения, то матрица фазовых сдвигов в представлении орбитальных чисел I не может быть диагональной.) Однако все эти методы весьма сложны и не получили широкого распространения. [c.120]

Так как обычно теория экситонов Френкеля строится в представлении ЛКАО, то при рассмотрении этих экситонов в неупорядоченных системах мы придем к уравнениям такого же типа. Однако для экситонов Ваннье, в которых расстояние между электроном и дыркой велико, такое локальное представление не подходит. В особенности это относится к обыкновенным электронам проводимости в металлах, так как поведение этих электронов нельзя корректно описать при помощи лишь конечного числа атомных орбиталей. Известно, что блоховские состояния в идеальном кристалле всегда можно представить в виде линейной комбинации локализованных функций Ваннье, аналогичных атомным орбиталям гp(f) в разложении (8.10) соответствующие коэффициенты удовлетворяют уравнениям типа (8.11). Так как каждая блохов-ская зона дает лишь одну функцию Ваннье для каждого узла решетки, то могло бы создаться впечатление, что зону проводимости металлического сплава можно описать, слегка модифицировав модель сплава с сильной связью. Однако представление Ваннье справедливо лишь для идеальных кристаллов, обладающих решеткой с трансляционной симметрией нет априорного рецепта, по которому можно было бы выбрать локализованные функции двух типов, приписав их двум компонентам бинарного сплава, причем так, чтобы система (8.11) разумным образом аппроксимировала уравнение Шредингера (8.9). Во всех таких системах влияние беспорядка на электронные состояния приводит к необходимости воспользоваться несколько иным способом аппроксимации, основанным на теории рассеяния (гл. 10). [c.338]

Если перейти теперь (в рамках шредингеровой картины) к конкретному фиксированному представлению, в котором диагональны некоторые наблюдаемые образующие полный абор, то можно перейти к сокращенным обозначениям формул <80) — (82), т. е. вместо Л,/) писать — или просто ф( , (), если 1 А, t) = l)( , О ) В этих обозначениях временное уравнение Шредингера запишется в форме [c.460]

Таким образом, приближенное решение уравнения (7.3.1) с точкой возврата х = ц задается тремя отдельными разложениями разложением (7.3.9)—в окрестности точки возврата, разложением (7.3.23)—при л > и разложением (7.3.27)—при дг < ц . Сращивание дает связь между постоянными Сц и а , Ь - Впервые эта связь была получена Рэлеем [1912] в исследовании по полному отражению звуковых волн от переходного слоя явное представление он дал только для экспоненциально затухающего решения. Ганс [1915] дал формулы связи для обоих решений Джеффрис [1924] вновь открыл их в применении к функции Матьё. Эта связь была еще раз открыта почти в одно и то же время Вентцелем [1926], Крамерсом [1926] и Бриллюэном [1926] при исследовании уравнения Шредингера. Поэтому в физической литературе название этого метода обычно образуется из букв /С и В позднее к ним стали добавлять букву J в ознаменование вклада, который внес Джеффрис. [c.362]

Упомянутый выше другой путь состоит в том, чтобы сначала перевести данное в координатном представлении возмущенное уравнение (10.1.3) в энергетическое представление. Тем самым будет получено новое уравнение— возмущенное уравнение Шредингера в энергетическом представлении. Решения этого уравнен1ш и будут представлять собой искомые амплитуды переходов. [c.243]

Зонная теория [13, 14]. Трудно ожидать, что представление о свободных электронах будет одинаково хорошим приближением для всех металлов. Соотношение (8.6), определяющее уровни энергии, справедливо лишь для частицы в поле с постоянным потенциалом, тогда как на самом деле потенциальная энергия электрона в металле не постоянна, а зависит как от строения иоиной решетки, так и от состояний других электронов. Определение ее точного вида приводх1т к задаче самосогласованного поля, подобной рассмотренной Хартри. Решение Зоммерфельда, исходившего из предположения о постоянстве потенциала, является, по сути дела, первым приближением к решению такой задачи. Второе приближение можно построить, предполагая, что потенциал, обусловленный самими электронами, постоянеп, и учитывая в уравнении Шредингера лишь иоле положительных ионов решетки. Для приближенного решения соответствующего уравнения Шредингера были предложены различные методы, позволяющие провести хотя бы качественное обсуждение поведения электронов в реальных металлах. [c.324]

Уравнение Шредингера (10.5) является новым уравнением физики, не являющимся дифференциальным уравнением классической физики. Его дифференциальная форма является лишь наиболее близким к классической форме представлением. Свидетельством квантового характера этого уравнения является прису1ствие в нем постоянной Планка / . [c.98]

Стационарные состояния. Пропага-тор 0 t) в картине Шредингера наиболее естественно выразить в энергетическом представлении. В качестве ортонормированного базиса в этом случае берутся собственные векторы I ) не зависящего от времени оператора Гамильтона Я, принадлежащие собственным значениям энергии Е. Векторы IЕ) удовлетворяют не зависящему от времени уравнению Шредингера [c.157]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...