Базис ортонормированны

Пример 3.6.5. Уравнения движения в цилиндрических координатах. Соответствующий локальный базис ортонормирован. Далее [c.183]

Пусть П(5) (соответственно П ( + /-)) —фундаментальная матрица, столбцы которой соответствуют выбору на гиперплоскости в качестве базиса ортонормированной системы е (5) (соответственно е = е ( + )). После небольших выкладок получим [c.240]

Если базис представления ортонормирован и скалярное произведение инвариантно относительно групповых операций, то представление унитарно. Однако если известно, что представление унитарно, то нельзя еще утверждать, что его базис ортонормирован. Теорема Вигнера позволяет получить некоторые сведения об ортогональности и нормировке элементов базиса унитарного представления В, если оно разложено на неприводимые части. Обозначим элементы базиса приведенного представления через Значки , V, а имеют прежний смысл. Введем матрицу определив ее элементы равенством [c.65]

Пусть теперь X, имеет кратность г, т.е. размерность подпространства < го собственных функций К, равна г. Выбирая в У базис, ортонормирован-ный в Нв, получаем требуемый набор функций, которые соответствуют собственным числам X, = Х, + I =. .. = Х,+ . 1. [c.44]

Линейный оператор, обладающий ортогональной матрицей в каком-либо ортонормированном базисе пространства называется ортогональным линейным оператором. [c.18]

Теорема 1.1.1. Матрица ортогонального линейного оператора будет ортогональной в любом ортонормированном базисе пространства Е . [c.18]

Доказательство. Пусть задан ортогональный линейный оператор А. Это значит, что существует ортонормированный базис е,,..., е пространства, для которого матрица [c.18]

Потребуем, чтобы этот базис был ортонормированным. Тогда матрица [c.19]

Теорема 1.1.2. Для ортогональности линейного оператора необходимо и достаточно, чтобы он переводил ортонормированный базис в ортонормированную совокупность векторов, число которых равно числу векторов базиса. [c.19]

Доказательство. Необходимость. Пусть А — ортогональный оператор. Тогда в ортонормированном базисе ei,..., е его матрица А ортогональна А А = Е. Применяя оператор к базисным векторам, получим [c.19]

Доказательство. Поскольку указанный линейный оператор переводит ортонормированный базис в ортонормированный, то длина вектора в полученном базисе будет такой же, как и длина соответствующего вектора в исходном [c.20]

Как мы видели выше, всякому множеству точечных масс можно сопоставить тензор инерции Л. Компоненты этого тензора в каждом конкретном ортонормированном базисе образуют неотрицательно определенную симметричную матрицу. Однако если взять произвольную такую матрицу, то ее не всегда можно считать матрицей тензора инерции в каком-либо базисе, т.е. не для всякой симметричной неотрицательно определенной матрицы существует множество точечных масс, порождающее тензор инерции с соответствующими компонентами. Укажем критерий того, что заданная неотрицательно определенная симметричная матрица может считаться составленной из компонент тензора инерции. [c.59]

Выберем в точке О ортонормированный базис 01, ег, ез- Дл я моментов инерции относительно координатных плоскостей будем иметь [c.61]

Показать, что если ортонормированный базис в результате линейного преобразования перешел в новый ортонормированный базис, то матрица преобразования является ортогональной. [c.73]

В пространстве введем декартову систему координат с началом в точке О и условно неподвижным ортонормированным базисом в1, 62, ез. Тогда [c.77]

Теорема 2.16.1. Пусть имеется произвольный вектор и, заданный координатами в подвижном ортонормированном базисе е[, е 2, 63. Тогда абсолютная производная вектора а по времени выражается формулой [c.139]

Тем самым пространство /2" превращается в евклидово. Так как матрица В симметричная, то С — самосопряженный оператор по метрике А. Известно, что все собственные значения А , г = 1,...,п, самосопряженного оператора — действительные числа. Кроме того, у каждого самосопряженного оператора, действующего в вещественном евклидовом пространстве Д , существует ортонормированный по метрике А базис из собственных векторов. Пусть собственному значению А, соответствует собственный вектор и, этого базиса Си, = А и,. Среди А,- могут быть и кратные корни характеристического уравнения. Кратный корень повторяется в последовательности [c.574]

Напомним, что теперь рассматриваются только ортонормированные базисы, так что [c.310]

Примеры тензоров второго ранга (ранга 2). Как показывает формула (1.13), совокупность скалярных произведений (е,-, ej) векторов базиса (неортогонального) представляет собой совокупность координат некоторого тензора ранга 2 этот тензор называется метрическим. В ортонормированном базисе компоненты метрического тензора определяются по закону (1.14) совокупность чисел, обладающих свойством (114), называется символом Кроне-кера (или дельта-тензором) и обозначается через б,-/ по определению [c.311]

В ортонормированном базисе плоских волн [c.222]

Систему ортогональных декартовых осей в трехмерном евклидовом пространстве будем обозначать а их ортонормированный базис — через 9i (i = 1, 2, 3). По определению, [c.390]

Теорема. Если в каждом ортонормированном базисе имеем совокупность ЗР+ чисел. ... .. 1 такую, что в результате свертывания ее о произвольным тензором (о/ . .. ранга р получается тензор (bj . .. jJ рангам, то эта совокупность чисел образует тензор ранга р + 9 [c.396]

Если рассматривать множества конструктивных параметров объекта проектирования т, > (5, и т. п. как проекции некоторого вектора F в ортонормированном базисе, то задачу оптимизации можно сформулировать в виде [c.30]

Построение ортонормированного базиса. Исходя из любой системы п линейно независимых векторов и,), [c.139]

Сравнивая (22.29) с (22.16), находим выражение д.ля матричного элемента оператора Ь в ортонормированном базисе векторов л > [c.145]

Этот результат находится в полном соответствии с основным свойством спина электрона иметь на любое направление лишь два значения проекции. Принадлежащие собственным значениям (36.14) ортонормирован-ные собственные векторы обозначим п, + ) и п, — ). В базисе векторов IZ, + >, IZ, - > они могут быть представлены в виде [c.213]

Базис ортонормирован тогда и только тогда, когда он совпадает со своим взаимным Соответствующие контравариантные и ковариаитные компоненты относительно ортонормированного базнса совпадают между собой, поэтому прн использовании ортонормированного базиса говорят просто о компонентах. [c.504]

В некоторых задачах оказывается полезным брать компоненты относительно базиснрго поля, элементы которого не пропорциональны естественному базису никакой системы координат. Такие поля базисов называются неголо-номными, и тот же эпитет прилагается к компонентам, вычисленным в таких базисах. Пример такого рода встречается в V. 4 основного текста. В этом частном примере базис ортонормированный. [c.518]

Выберем в пространстве ортонормированный правоориентированный базис 01, б2, ез так, чтобы ез = ео- В этом базисе матрица А примет вид [c.86]

Пусть в пространстве выбран ортонормированный правоориентированный базис 01, 02, 03. Рассмотрим движение твердого тела, определенное действием оператора А 6. 50(3) [c.88]

Видим, что оператор А преобразует вектор х таким образом, что этот вектор в ортонормированном правоориентированном базисе 0 02 03 имеет те же координаты, что и в исходном. 1ем самым оператор А осуществляет преобразование от базиса пространства к базису, связанному с твердым телом. [c.88]

Пусть теперь укс1зана последовательность ортонормированных базисов [c.89]

Далее в этом параграфе ограничимся рассмотрением только ортонорми-рованных базисов, для которых в отличие от косоугольных будем использовать обозначение ft,-. Переход от одного ортонормированного базиса к другому осуществляется с помощью матриц А, , с определителем, равным 1, [c.310]

Поэтому, по Дираку, состояние квантовой системы описывается бра-вектором (ifi или сопряженным ему кет-вектором 1113) = = (( ф )" " состояния (с волновой функцией j)(q, /)=) в бесконечномерном гильбертовом (функциенальном) пространстве. В этом линейном пространстве в качестве базиса используются ортонормированные т т ) — 6fnm ) собственные функции il3m = = (q m) (Щт) = т т)) любой физической величины, представляемой эрмитовым оператором M = / i+, при этом Ст(0=( ф)-Условие полноты базиса т) (т-представления) символически можно записать в виде [c.188]

Коэффициенты Uij в формуле (1 .6) образуют матрицу перехода от одного ортонормированного базиса к другому, которая является ортогональной, т. е. обратная ей матри1Га равна транспонированной lajj)- = [c.391]

Представление векторов и операторов в ортонормированном базисе. Формулой (21.6) любой вектор может быть представлен в виде разложения по любой совокупности линейно независимых векторов. Из этой совокупности посредством ортогонализа- [c.134]

Разложение (21.6) произвольного вектора li>) по ортонормированному базису из векторов /) записывае.м также очень компактно [c.135]

Итак, каждый эрмитов оператор имеет ортонормированный базис собственных векторов. В базисе собственных ортонормированных векторов матрица эрмитова оператора диагональна, причем диагональными элементами матрицы являются вещественные собственные значения эрмитова оператора. [c.138]

Условие полноты ортонормировап-ного базиса. Разложение произвольного вектора и) по ортонормирован-ному базису г) имеет вид [c.139]

Стационарные состояния. Пропага-тор 0 t) в картине Шредингера наиболее естественно выразить в энергетическом представлении. В качестве ортонормированного базиса в этом случае берутся собственные векторы I ) не зависящего от времени оператора Гамильтона Я, принадлежащие собственным значениям энергии Е. Векторы IЕ) удовлетворяют не зависящему от времени уравнению Шредингера [c.157]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...