Эргодический

С и н а й Я. Г., К обоснованию эргодической гипотезы для одной динамической системы статистической механики, ДАН СССР 153, вып. 00 (1963). [c.384]

ЭРГОДИЧЕСКИМ называется процесс, вероятностные характеристики которого не зависят от номера реализации. [c.88]

Здесь Ат > — величины, определяющие пространственную конфигурацию моды на частоте Предполагая, что поле излучения является эргодическим [73], введем корреляционную функцию второго порядка [c.287]

Методом Монте-Карло принято называть такие методы, в которых точное динамическое поведение системы заменяется стохастическим процессом. В методе Монте-Карло система совершает случайные блуждания по конфигурационному пространству, причем за начальное состояние принимается некоторое регулярное расположение частиц. Каждому состоянию приписывается определенная вероятность, и система после совершения некоторого количества шагов становится равновесной. В ММК статистические средние получаются как средние по различным конфигурациям. Возможность отождествлять усреднение по времени и по ансамблю в ММК определяется эргодической теоремой. Для рассматриваемой системы предполагается наличие периодических граничных условий. Если смещение выводит частицу за пределы кубического объема, то она входит в него с противоположной стороны. [c.183]

Равновесные системы, у которых внутренние параметры являются функциями внешних параметров и энергии, называются эргодическими. Термодинамика, следовательно, рассматривает эргодические системы. [c.18]

Ферми 240 Энтальпия 87 Энтропия 47, 197, 216 Эргодическая проблема 196 Эффект Джоуля—Томсона 125—128 [c.310]

Вследствие случайной природы пульсационного движения турбулентные пульсации должны подчиняться статистическим закономерностям. Благодаря этому возможен статистический подход к изучению турбулентного движения, причем допустимо считать, что турбулентное движение обладает свойством эргодичности (случайный процесс является эргодическим, если среднее от множества способов осуществления данного процесса не отличается от того. [c.395]

Доказательство эргодической теоремы............313 [c.9]

Что такое эргодическая теорема . ..............31У [c.9]

Доказательство эргодической теоремы [c.343]

Что такое эргодическая теорема [c.349]

Когда образцы статистически однородны, мы обычно привлекаем эргодическую гипотезу и предполагаем, что средние по объему совпадают со средними по ансамблю. Среднее по объему обозначается ломаными скобками ( ) и определяется так [c.251]

В разд. II были приведены два вариационных принципа (см. уравнения (10) — (19)), которые позволяют найти границы для е. Эти принципы были сформулированы в терминах средних по объему, но их можно переформулировать в терминах средних по ансамблю, поскольку при определении е предполагалось, что справедлива эргодическая гипотеза [4]. Более того, е определяется равенством (13) через энергию [c.267]

Вариационный принцип дополнительный 248 Гипотеза эргодическая 251 [c.553]

Эмпирическая теория разрушения 405 Эргодическая гипотеза 251 Эффективная жесткость на изгиб 28—35 [c.556]

Если интеграл от корреляционной функции, взятый в пределах (О, оо), конечен, а тем более, если корреляционная функция стремится к нулю с устремлением к нулю аргумента т, то случайная функция является эргодической, для которой усреднение по реализациям можно заменить усреднением по аргументу х. Использование эргодичности удобно для математических выкладок. Однако при контроле качества поверхности ответственной детали, т. е. при контроле соблюдения всех требований к ее поверхности, слишком рискованно судить о свойствах поверхности по единичной профилограмме, длина которой к тому же ограничена пределами записи профилографа. [c.76]

Итак, при рассмотрении профилограмм неровностей поверхности как реализаций стационарных, эргодических и нормальных функций в теории случайных функций получены следующие математические ожидания и дисперсии параметров (или функционалов) неровностей поверхности (см. табл. 5). [c.77]

В дальнейшем мы увидим, что при известных условиях справедливо и более сильное утверждение, а именно что величина ф Р) постоянна не только на траектории, но и во всей области Q. Это свойство инвариантных областей играет фундаментальную роль в статистической механике. Впервые оно было высказано в форме правдоподобной гипотезы в кинетической теории газов, где эргодическая теорема используется весьма широко. Нетрудно видеть, что это свойство (постоянство функции ф (Р) в области Q) не имеет места для уравнений Гамильтона в классической динамике Для того чтобы оно выполнялось, необходимо, чтобы система обладала некоторыми особыми свойствами, о которых речь будет ниже ( 22.15). [c.443]

Множество Ks- Перейдем теперь к доказательству эргодической теоремы. Доказательство проведем в два этапа. Сначала докажем, что величина fig (р) почти для всех точек Р множества Q стремится к некоторому пределу, когда параметр Ъ растет до бесконечности, принимая целые значения. Затем мы от этого ограничения откажемся и докажем, что предел существует и тогда, когда Ь стремится к бесконечности, возрастая непрерывно. [c.444]

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЭРГОДИЧЕСКОЙ ТЕОРЕМЫ ВТОРОЙ ЭТАП 447 [c.447]

Доказательство эргодической теоремы второй этап. Теперь нам остается доказать, что величина Р) стремится к пределу и в том случае, когда Ь растет до бесконечности, изменяясь непрерывным образом. [c.447]

Теперь легко получить доказательство эргодической теоремы для случая, когда оо, изменяясь непрерывным образом. [c.448]

ЧТО, следовательно, сигнал l t) является эргодическим процессом, для которого данный синусоидальный сигнал является одной из реализаций. Этот вывод распространяется на произвольные периодические сигналы. Они являются частным случаем случайных процессов, описываемых детерминированными функциями времени и конечного числа случайных величин [206, 274]. [c.15]

На основании сказанного рассматриваемые ниже акустические сигналы машин считаются эргодическими случайными процессами. [c.15]

Ф также очень часто встречается среди машинных сигналов. Несмотря на то, что он описывается детерминированной функцией, его можно, как было показано выше, рассматривать как реализацию некоторого эргодического случайного процесса и по нему вычислять функции плотности распределения, среднее значение, дисперсию и другие моменты распределения. [c.45]

Функцией корреляции случайных процессов i(f) и 2(0 называется смешанный центральный момент второго порядка (2.20) этих процессов, взятых в различные моменты времени ti и ti. Для ее вычисления требуется, вообще говоря, соответствующая функция двумерной плотности распределения вероятностей. Для стационарных процессов корреляционная функция зависит только от разности т = 2 — а для эргодических процессов она равна временному среднему от произведения двух реализаций hit) и 2( + т) [c.79]

Для эргодических процессов можно написать [c.80]

Пусть теперь на вход линейной системы (см. рис. 3.11) подается случайный эргодический процесс На выходе линейной системы формируется также случайный эргодический сигнал Найдем соотношения между их корреляционными и спект-, ральными характеристиками. [c.99]

Таким образом, выполненный анализ позволяет заключить, что исследуемый случайный процесс изменения виброскорости является стационарным и эргодическим колебательным процессом. [c.59]

Еще Больцман высказал эргодическую гипотезу — идею о равновероятности всех состояний изолированной системы [4]. Эта гипотеза с топологической точки зрения не может быть верна, и она была заменена квазиэргодической [56] фазовая траектория обязательно проходит через сколь угодно малую окрестность любой точки на эргодической поверхности. Эргодическая гипотеза дала начало больщому разделу математики — эргодической теории. Я. Г. Синай доказал ряд теорем по эргодичности систем, состоящих из твердых сфер [57]. Однако остается открытым вопрос относительно систем, состоящих из частиц, между которыми действуют силы притяжения. Кроме того, в классической эргодической теории не учитывается макроскопический [c.215]

Для оценки точности и достоверности измерений неровностей поверхности в данной теории эвристически рекомендуют определенный способ использования формулы (59). Он заключается в том, что при определении числа Пд в формулу (59) подставляют среднее значение Л47 и дисперсию DR тех параметров шероховатости (Ra, Rq, опорная линия профиля на уровне и), для которых они определены методами теории случайных функций. Профилограммы шероховатости поверхности при этом интерпретируют как реализации стационарной эргодической случайной функции у (х, ш) с нормальным распределением вероятностей. Переменная X означает вектор пространственных координат, меняющихся в области Т евклидова пространства R , а переменная ш — элементарное случайное событие из некоторого вероятностного пространства. [c.74]

Стационарный процесс называется эргодическим, если для определения его параметров нет необходимости проводить анализ п его реализаций, а достаточно иметь одну реализа- [c.26]

В содержание книги включен не только традпционньп материал курсов аналитической механики. Значительное место удел-ено применению к задачам механики методов качественной теории дифференциальных уравнений, на современном уровне трактуются вопросы о ра Дсляемости переменных в уравнении Гамильтона — Якоби, дается рассмотрение эргодических теорем, включая теорему Пуанкаре о возвращении нашл свое место несколько отличное от принятого и приспособленное к задачам динамики изложение теории устойчивости движения, включающее теоремы Ляпунова. В заключительных главах, посвященных ограниченной задаче трех тел и задаче трех тел, автору в небольшом объеме удалось дать хорошее представление о постановках и трудностях этой классической в истории точных наук проблемы. [c.2]

В содержание книги включен не только традиционный материал курсов аналитической механики. Значительное место уделено применению к задачам механики методов качественной теории дифференциальных уравнений, на современном уровне трактуются вопросы о разделимости переменных в уравнении Гамильтона — Якоби, дается рассмотрение эргодических теорем, включая теорему Пуанкаре о возвращении нашло свое место несколько отличное от принятого и приспособленное к задачам динамики изложение теории устойчивости движения, включающее теоремы Ляпунова. В заключительных главах, посвященных ограниченной задаче трех тел и задаче трех тел, автору в небольшом объеме удалось дать хорошее представление о постановках и трудностях этой классической в истории точных наук проблемы. Книга заканчивается теорией периодических орбит. Использование здесь (и в некоторых других местах) простейших понятий и рассужденир теории множеств не может затруднить внимательного читателя. [c.10]

В гл. XXII дается доказательство эргодической теоремы, но фундаментальная эргодическая теорема динамики является лишь отправной точкой для хорошо разработанной в настоящее время абстрактной теории. Хопф в своей работе [47] 1937 г. цитирует более пятидесяти работ по эргодическо теории, и это число к настоящему времени выросло в огромной степени ). Ни одно сочинение но механике не будет полным без задачи трех тел — проблемы, оказавшей на развитие этой науки, по-видимому, большее влияние, чем любая другая. [c.12]

Эргодические теоремы. Теорема Пуанкаре (теорема возвращения) устанавливает существование таких движений, когда жзобрансающая точка бесконечное число раз возвращается в исходную область а. Более глубокие свойства этих движений связаны с выяснением следующего вопроса какую долю времени своего движения изображающая точка находится в области а Аналогичный вопрос возникает и тогда, когда мы имеем дело с дискретными моментами их. Именно, спрашивается, какая часть этих моментов характеризуется попаданием изображающей точки в область а ) Ответ на эти и аналогичные вопросы дается так иаъыъашыши.эргодическимитеоремами ). [c.441]

Доказательство эргодической теоремы первый этап. Для величин, связанных с максимальными отрезками ранга s, а 0 с, Ь (лемма 5), удобно ввести новые обозначения. Пoлoн им [c.446]

Xi, Xi + Aa i]. Очевидно, что эта операция практически неосу- ществима. Оказывается, однако, что для класса так называемых эргодических процессов характеристики, полученные с помощью усреднения по всем реализациям, совпадают с аналогичными характеристиками, полученными усреднением по какой-либо одной реализации. [c.14]

Эргодический процесс является прежде всего стационарным случайным процессом. Стационарность предполагает независимость функций плотности распределения вероятностей от сдвига по времени. Вследствие этого для стационарных случайных процессов все моменты распределения также не зависят от начала отсчета времени. Стационарность является необходимым, но не достаточным условием эргодичности случайного процесса. Для того чтобы стационарный процесс был эргодическим, нужно, чтобы характеристики, полученные усреднением по одной реализации, не отличались от аналогичных характеристик, полученных усреднением по другим реализациям. Свойство эргодичности существенным образом облегчает анализ акустических сигналов. По-, скольку для них в этом случае средние статистические величины равны средним по времени, все функции плотности распределения вероятностей могут быть получены не по совокупности реализаций, а лишь по одной из них. Так, функция р(х), не зависящая от времени t в силу стационарности процесса, равна относительному времени пребывания сигнала п(О между уровнями а и ж -f Ад , а функция корре.чяции равна среднему по времени произведению [c.14]

Опыт показывает, что случайные акустические сигналы машин и механизмов, если только они стационарны, всегда эрго-дичны. Кроме того, детерминированные периодические сигналы также можно рассматривать как реализации некоторых эргодических случайных процессов. Пусть, например, акустический сигнал является синусоидальным, а sin at, где а и постоянны. Акустические сигналы множества идентичных машин можно представить в виде = а sin ( i-l-случайная величина, определяемая начальными условиями и принимающая определенное значение для каждой из машин. Считая, что все значения фазы ф равновероятны, нетрудно показать, что всевозможные распределения вероятностей сигнала (i), посчитанные по совокупности реализаций, совпадают с аналогичными распределениями, посчитанными по какой-либо одной реализации, и [c.14]

Для эргодических процессов, в частности для акустических сигналов машины, двумерная функция плотности совместного распределения может вычисляться по двум каким-либо реализациям этих процессов. Вероятность р хх, x YKxxI x пропорциональна относительному времени пребывания процессов соответственно [c.52]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...