Квазиинвариантная мера

Дифференциальная динамика также тесно связана с эргодической теорией, потому что инвариантные меры представляют собой мощный инструмент для анализа асимптотических свойств гладких динамических систем, а также потому, что гладкая структура на конечномерном многообразии определяет естественный класс квазиинвариантных мер для дифференцируемой динамической системы (см. 5.1). [c.22]

Определение 12.7.1. Пусть / X X — взаимно однозначное соответствие и /j. —такая вероятностная мера на X, что мера /,/х эквивалентна J.. Тогда мера ц называется квазиинвариантной мерой. Если каждое /i-измеримое /-инвариантное подмножество X имеет меру ц, равную либо нулю, либо единице, то / называется эргодическим преобразованием относительно ц. [c.424]

Покажите, что никакой диффеоморфизм с рациональным числом вращения не эргодичен относительно меры Лебега и вообще относительно любой неатомарной квазиинвариантной меры. [c.425]

Пусть (г — квазиинвариантная мера на ( , 9 ), нормированная к 1, V — квазиинвариантная положительная целочисленная функция на и гильбертово пространство размер- [c.315]

В случае преобразований с квазиинвариантной мерой также говорят об эндоморфизмах, автоморфизмах, О-потоках, не вводя новых терминов. Метрический изоморфизм групп преобразований с квазиинвариантной мерой естественно понимать также с точностью до преобразования с квазиинвариантной мерой , т. е. следует требовать, чтобы преобразование, фигурирующее в определении 1.6, переводило Ц1 в меру, эквивалентную (12, но не обязательно равную цг- [c.10]

Таким образом, можно не делать различия между непрерывным и измеримым действиями и пользоваться тем из них, которое наиболее удобно в данной ситуации. Например, в энтропийной теории проще использовать непрерывные действия, а в траекторной (см. гл. 5) — измеримые. Теорема также верна для действий с квазиинвариантной мерой. Отметим, что она перестает быть верной, вообще говоря, как только мы опускаем требование локальной компактности, так как в ее доказательстве существенно используется существование меры Хаара. [c.81]

Описать классы траекторной эквивалентности для групп автоморфизмов, сохраняющих меру в первую очередь, для групп Z и R. Можно также рассматривать группы с квазиинвариантной мерой, но тогда и классификацию следует проводить с точностью до преобразований с квазиинвариантной мерой. [c.92]

Из предложения 1 следует, что траекторная теория для автоморфизмов с квазиинвариантной мерой сводится к классификации ручных разбиений со счетными элементами. Здесь положение следующее выделен класс таких разбиений, внутри которого классификация производится столь же просто, как для однородного случая, а общая классификация равносильна метрической классификации потоков и тем самым невозможна в сколько-нибудь обозримых терминах. Но и сама эта редукция очень важна и изящна. Эти результаты принадлежат в основном Кригеру. Приведем их подробнее. Сначала опишем [c.97]

Ниже под изоморфизмом понимается изоморфизм с квазиинвариантной мерой (т. е. переводящий меру в эквивалентную). [c.97]

Теорема 2.4. Два эргодических автоморфизма 51 и с квазиинвариантной мерой траекторно изоморфны (в- смысле квазиинвариантной меры) в том и только в том случае, если ассоциированные потоки изоморфны как потоки с квазиинвариантной мерой. [c.98]

Эта теорема редуцирует задачу о классификации ручных разбиений (или траекторных для автоморфизмов с квазиинвариантной мерой) к задаче о метрическом изоморфизме потоков, с квазиинвариантной мерой. Последняя, как известно, не допускает полного решения в обозримых терминах, однако, редукция позволяет использовать инварианты потока и получать отсюда нетривиальные инварианты траекторных разбиений. [c.98]

С другой стороны, можно показать, что стабильный изоморфизм двух ручных разбиений со счетными элементами равносилен обычному изоморфизму (с квазиинвариантной мерой). Поэтому задача для потоков и вообще для локально компактных групп свелась к задаче о дискретных группах. В частности,, сформулированная ранее ( 1) теорема 1.3 вытекает из теоремы 1.2 и теоремы 3.1. [c.99]

Покажите, что существует такое иррациональное число а, что поворот обладает сингулярной квазиинвариантной эргодической мерой. [c.425]

Определение 1.7. Пусть Tg —измеримое действие измеримой группы (0,9) на (М,Ж). Мера Ж называется квазиинвариантной относительно этого действия, если для лю- [c.9]

Введение. Под эргодической теорией для общих групп (иначе — под теорией динамических систем с общим временем ) понимают изучение произвольных групп преобразований с инвариантной или квазиинвариантной мерой. Классическая эргодическая теория изучает случай групп 2 и R . На первых порах переход к более общим группам мотивировался пользой для изучения классического случая. Один из наиболее ранних и интересных примеров такого рода принадлежит И. М. Гель-фанду и С. В. Фомину [14] геодезический поток на замкнутой поверхности постоянной отрицательной кривизны можно рассматривать как действие однопараметрической (гиперболи- [c.78]

Начиная с 70-х годов, преимущества широкого изучения действия общих групп стали очевидными и соответствующая теория интенсивно развивалась в тесном взаимодействии с теорией представлений, теорией групп Ли и дифференциальной геометрией. При этом, в свою очередь, эргодические методы дали много нового и для теории групп Ли (например, в теории арифметических подгрупп Мостова—Маргулиса) и теории представлений. Особенно важно, что метрические задачи для групп R , групп движений и др. стали широко использоваться в математической физике. В самое последнее время активно изучаются действия бесконечномерных ( больших ) групп (например, групп диффеоморфизмов, токов и др.). Различие между локально к01мпактными группами и остальными в эргодической теории очень существенно, а именно, орбиты действия не локально компактной группы могут не иметь даже квазиинвариантной меры поэтому разбиение на орбиты, разложение на эргодические компоненты могут быть не определены корректно. Для локально компактных групп эти вопросы решаются так же, как и для групп Z и R. Здесь мы будем рассматривать лишь локально компактные группы. Остановимся на немногих общих вопросах определение действия групп, эргодические теоремы, характеризация дискретного спектра. [c.79]

Предложение 1. Траекторное разбиение для произвольного автоморфизма пространства Лебега с квазиинвариантной мерой—ручное. Если мера инвариантна, то это ручное разбие-ние однородно, и обратно. Эргодичность автоморфизма равносильна эргодичности отвечающего ему траекторного разбиения. [c.96]

Можно считать, что автоморфизм апериодичен, т. к. у периодического автоморфизма (или периодической части) разбиение на траектории измеримо и потому ручное. Будем рассматривать автоморфизм с квазиинвариантной мерой. Построим по автоморфизму Т конечную башню, т. е. возьмем множество А , [1( 1) < <1/2, такое, что. и(и 7 )= 1, и обозначим через разбие- [c.96]

Перейдем теперь к общему случаю. Здесь удобно ввести понятие потока Пуанкаре, рассмотренного Макки и примененного к изучаемому вопросу Кригером. Мы будем использовать логарифм коцикла Радона—Никодима Д (.х, /) = 1п Р (.х, у), называемый иногда модулярной функцией это сблизит формулировки с траекторными формулировками. Пусть 5 — эргодический автоморфизм с квазиинвариантной мерой если у=5х, то легко [c.98]

Теорема 3.1 (Рамсей (А. Ramsey) [102]). Траекторное разбиение любой локально компактной недискретной группы со счетной базой на пространстве Лебега с квазиинвариантной мерой стабильно эквивалентно траекторному разбиению некоторой дискретной группы. [c.99]

Другое замечание относится к полугруппам эндоморфизмов пространств Лебега. Пусть С — счетная полугруппа эндоморфизмов пространства Лебега с квазиинвариантной мерой. Траекторное разбиение т(0) для нее определяется так х и у лежат на одной траектории, если существуют такие gl, g2 G, чта glX = g2У Для полугруппы 2+ это определение дано В. А. Рохлиным если С — группа, то это определение переходит в старое, т. к. y = g Г g x. Р1меется еще одно полезное разбиение, которое можно назвать хвостовым точки х к у лежат в одном его элементе, если существует такое g G, что gx=gy , оно не [c.101]

Ситуация здесь существенно отличается от теории, изложенной в 1—3, в нескольких отношениях. Мы будем рассматривать далее действия групп с инвариантной мерой, а относительно квазиинвариантных мер сделаем лишь одно замечание траекторное разбиение для свободного действия с квазиинвариантной мерой может быть ручным для любой счетной группы, в том числе и неаменабельной. (Напомним, что траекторное разбиение свободного действия с инвариантной мерой ручное лишь для аменабельных групп). Такие примеры строятся просто очевидно, что действие счетной группы на себе (например, слева)—ручное здесь пространство с мерой (G, т), где т — мера Хаара, дискретно, но после умножения его на [О, 1], введения эквивалентной конечной меры на Gx [О, 1] и произвольного задания свободного действия на [О, 1], получим нужный пример с непрерывной мерой. Гораздо более важно, что действия с ручным траекторным разбиением для неаменабельных групп часто возникают естественным образом. Вот нетривиальный пример. [c.102]

Пусть О — дискретная группа, действующая на пространстве Лебега М, Ж, [х) с инвариантной мерой. Рассмотрим пространство ЛIXG и меру (яг—мера Хаара) на нем. В пространстве 2(МхС) рассмотрим слабо замкнутую алгебру операторов, порожденных операторами (х, g) = ср(х) (х, g) и (Uhf)(x,g)=f ThX,hg), где ф L (Лi), h,g G, 1 ЬЦМ Х.О). Эта алгебра ТГ(0, М) называется скрещенным произведением (М) и 1 0) относительно действия О на М, Именно эта конструкция содержится в [99]. Оказывается, что она траекторно инвариантна, т. е. если вместо С взять произвольную траекторно изоморфную ей группу О, то алгебра (С, М) не изменится. Более того, имеется способ строить эту алгебру прямо в инвариантных терминах, не используя действия (например, [69]). Поэтому алгебраические инварианты этой алгебры служат траекторными инвариантами. В настоящее время имеется развитая теория, обобщающая это построение на квазиинвариантные меры, на слоения, на С -алгебры, использующая когомологии я др. (см. обзоры [69], [97], [75], [65]). Много работ посвящено так называемой полной группе, лли группе Дая, состоящей из всех автоморфизмов Т, для которых х Т) более мелкое, чем данное траекторно1е разбиение, например, чем х(С). Полезна такая аналогия алгебра 51>1= М, фбЬ" (М) есть аналог алгебры Картана в W(G,M), а группа Дая, обозначаемая [С],— аналог группы Вейля в теории полупростых алгебр Ли. Эта аналогия [10], [69] оказалась очень шолезной для изз чения -алгебр. В свою очередь, многие продвижения в траекторной теории (например, теорема Фельдмана—Конна—Орнстейна— Вейсса (у нас — теорема 1.2)) были получены после аналогичных теорем теории 1 -алгебр (в данном случае, после теоремы Конна [643). [c.106]

Заметим, что мера Лебега квазиинвариантна для любого диффеоморфизма окружности. Следующая теорема, как и некоторые предыдущие результаты, основана на оценке ограниченности искажения. [c.424]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...