Подгруппа дискретная

Теорема П16.2. Пусть (М, //, (fit) — классическая эргодическая система, Ранг подгруппы дискретного спектра, образованного собственными значениями непрерывных собственных функций, меньше или равен Ьх- [c.145]

Лемма П16.8. Подгруппа дискретного спектра, образованная собственными числами непрерывных собственных функций, есть подгруппа группы чисел вращений. [c.148]

ГЛ наз. односвязной, если любая замкнутая кривая в этой Г. может быть непрерывной деформацией стянута в точку. Для любой ГЛ G совокупность G тех её элементов, к-рые можно соединить с единицей непрерывкой кривой, образует максимальную связную подгруппу в G, наз. связной компонентой единицы Г. G. Подгруппа Gq инвариантна в G, а фактор-группа GlG дискретна. Напр., для Г. 0(п) связной компонентой единицы является подгруппа SO n). Фактор Грунна О п)1 SO п) состоит из двух элементов. Свя.зная ГЛ G является разрешимой (соответственно нильпотентной, почти простой, полупростой), если и только если её алгебра Ли разрешима (соответственно нильпотентна, проста, полупроста). [c.544]

Рис. 214. Дискретная подгруппа плоскости

Рис. 215. К доказательству леммы о дискретных подгруппах

Таким образом, точки стационарной подгруппы Г лежат в К" дискретно. Такие подгруппы называются дискретными подгруппами. [c.242]

До конца вычисление кривизны группы диффеоморфизмов проведено лишь в случае течений на двумерном торе с евклидовой метрикой ). Такой тор получается из евклидовой плоскости R отождествлением точек, разность которых принадлежит некоторой решетке Г (дискретной подгруппе плоскости). Примером такой решетки является множество точек с целыми координатами. [c.304]

Мы, таким образом, показали, что а определяет транзитивное действие R" с дискретным стабилизатором. Теперь используем тот факт, что всякая дискретная подгруппа R" сопряжена с Z для некоторого к, т. е. Г =S(Xa) содержит такое линейно независимое множество 7,,..., 7 , что [c.235]

Используя конструкцию, описанную в доказательстве теоремы 5.5.21, докажите, что любая дискретная подгруппа R" есть Z для некоторого к п. [c.236]

Имеется естественное взаимно однозначное соответствие между классами сопряженности подгрупп Г[(М) и классами накрытий по модулю гомеоморфизмов, коммутирующих с накрывающими преобразованиями. В частности, универсальное накрывающее пространство единственно. Это взаимно однозначное соответствие может быть описано следующим образом. Предположим, что (М, ir) — накрытие М и х. ir y). Так как многообразие М линейно связно, существуют такие кривые с [0,1]— М, что с( ) = х для = 1,2. Под действием тг они проектируются в замкнутые кривые на М. Любое непрерывное отображение индуцирует гомоморфизм фундаментальных групп. Любое непрерывное отображение обладает поднятием, так что гомотопия цикла тг о с, сохраняющее точку jf, может быть поднята до гомотопии кривой с, и, так как по предположению множество у) дискретно, эта гомотопия сохраняет концы. В частности, гомотопные кривые проектируются в гомотопные кривые, и если положить X, = Х2, то фундаментальная группа пространства М вкладывается в фундаментальную группу М как подгруппа. Это подгруппа, соответствующая накрытию. Кроме того, эта подгруппа является собственной, если проекция тг не является гомеоморфизмом, т. е. накрытие нетривиально. Таким образом, у односвязного пространства нет нетривиальных собственных накрытий. Можно также показать, что любые два накрытия М, и многообразия М обладают общим накрытием М", так что универсальное накрывающее определено однозначно. Любое топологическое многообразие обладает универсальным накрывающим. [c.696]

Примеры подгрупп Ли группы К" — линейные подпространства, а также целые кратные фиксированного вектора н их произведения. Группа 2 является дискретной подгруппой К", [c.719]

Для случая равных интенсивностей на сфере существуют аналоги томсоновских и коллинеарных конфигураций, которые далее мы рассмотрим более подробно. Отметим также, что в работе [114] показано, что для каждой конечной дискретной группы и каждой ее подгруппы существует некоторая стационарная конфигурация, для которой эта группа является группой симметрий, а подгруппа — ее стационарной подгруппой. [c.146]

Эта теорема решает полностью проблему описания динамических систем со временем О, имеющих дискретный спектр. Отличие от коммутативного случая в том, что представление не определяет однозначно систему, поскольку легко привести пример группы (даже конечной) и двух ее не сопряженных подгрупп Н, Яг, для которых представления К в К/Нх) и Ь (К/Н2) тем не менее эквивалентны. Сама же группа определяется по представлению однозначно это замыкание группы [c.84]

Задача 2-а. Собственно разрывные группы. Пусть 5 — односвязная риманова поверхность, а Г С 8) — дискретная подгруппа автоморфизмов. То есть предположим, что единичный элемент является изолированной точкой Г в группе Ли 8). [c.39]

Покажите, что каждая точка х 8 имеет окрестность С/, для которой образы 7(С/) попарно не пересекаются. Выведите отсюда, что б /Г — корректно определенная риманова поверхность, у которой 5 является универсальным накрытием. Более общо, аналогичные утверждения справедливы для любой дискретной группы изометрий риманова многообразия. С другой стороны, покажите, что свободная циклическая группа, состоящая из всех преобразований 2 плоскости С при 2 е Z образует дискретную подгруппу в (С), которая действует не собственно разрывно. [c.39]

Плотность гомеовдная 442—444 Подалгебра 190 Подгруппа дискретная 242 Подмногообразие лежандрово 331, 450 Поле векторное вариации геодезической 275 [c.470]

Ранее мы выяснили, что конденсация атомов (или ионов и электронов) приводит к понижению энергии системы и является вследствие этого энергетически выгодным процессом. Поэтому в невозбужденном состоянии при предельно низких температурах все тела находятся в конденсированном состоянии, причем, за исключением гелия,—это твердые кристаллические тела. Гелий при нормальном давлении — жидкость, но при давлении в 30 кбар он также становится кристаллом. Существуют различные подходы к объяснению самого факта существования в твердом теле периодического расположения атомов (трансляционной симметрии). Так, согласно теореме Шенфлиса, всякая дискретная группа движений с конечной фундаментальной областью (т. е. элементарной ячейкой) имеет трехмерную подгруппу параллельных переносов, т. е. решетку [22]. Можно объяснять необходимость существования кристаллической решетки, а в конечном счете и вообще симметричного расположения атомов, исходя из третьего закона термодинамики. Согласно этому закону, при приближении к абсолютному нулю температуры энтропия системы должна стремиться к нулю. Но энтропия системы пропорциональна логарифму числа возможных комбинаций взаимного расположения составных частей системы. Очевидно, любое не строго правильное расположение атомов влечет за собой большое число равновозможных конфигураций атомов и приводит к относительно большой энтропии, и только строго закономерное расположение атомов может быть единственным. Поэтому равная нулю энтропия совместима только со строго повторяющимся взаимным расположением составных частей тела [1]. Иногда симметричность расположения атомов в кристалле объясняют исходя из однородности среды. [c.124]

Среди всех связных ГЛ, локально изоморфных данной Г. G, есть ровно одна односвязная Г. G, наз. универсальной накрывающей Г. G. Все прочие Г., локально изоморфные G, являются фактор-группами G по различным дискретным инвариантным подгруппам, принадлежащим центру Г. G. Напр., все коммутативные связные ГЛ размерности п локально изоморфны. Односвязной Г. среди них (универсальной накрывающей для всех них) является — евклидово -мерное пространство со сложением в качестве груиновой операции (или Г. трансляций этого пространства)- Произвольная Г. из этого класса имеет вид К /Г. где Г— нек-рая рещётка (дискретная подгруппа) в R". Если группа Г порождена к линейно независимыми векторами, то R /r изоморфна R" (2)T. [c.544]

Укажем схему доказательства теоремы 1 (детали можно найти,-например, в книгах [И, 54]). Рассмотрим п однопараметрических групп д и е К), являющихся фазовыми потоками п гамильтоновых полей Vf.. Функции Fi,..., F находятся в инволюции, поэтому поля vpi касаются Ма- Следовательно, группы (/, переводят гладкие многообразия Ма в себя, поэтому определено действие (/, на Ма. В силу условия 2), значения д х) х е Ма) определены при всех t . Поля Vi и Vj коммутируют на Ма, поэтому группы (/, и gj также коммутируют. Следовательно, на Ма определено действие абелевой п-мерной группы К" = ii,...,i g x) = g , ..д (х). Согласно условию 1), градиенты функций Fi,...,F независимы во всех точках Ма, поэтому на Ма векторные поля vi,..., v также линейно независимы. Отсюда и из предположения о связности Ма ВЫВОДИТСЯ, ЧТО действие группы К" на Мд.свободно и транзи-тивно. Следовательно, Ма диффеоморфно фактормногообразию К"/Г, где Г — стационарная группа действия К" (она состоит из точек S Е К", для которых д х = х). Поля vi,..., v независимы, поэтому Г — дискретная подгруппа в К", изоморфная, как известно, О к п). Таким образом, Ма — х Равномерно меняющиеся глобальные координаты (р mod 2тг, у линейно выражаются через ii,..., i . Полагая tj = onst при всех j ф г, получаем решения гамильтоновой системы х = Vi x) как линейные функции времени ti = t. [c.85]

Лемма 3. Пусть Г — дискретная подгруппа группы К". Тогда сущестзуют /с (О /с п) линейно независимые векторов ви. . ., Г, таких, что Г есть в точности множество всех их целочисленных линейных комбинаций. [c.242]

Предположим, что С — односвязная группа Ли и что Г — такая дискретная подгруппа группы С, что фактор Г С компактен. Такая подгруппа называется (равномерной) решеткой. Эквивалентным образом, можно найти компактную фундаментальную область для действия Г на С левыми сдвигами. Предположим, что Г СС — такой автоморфизм, что (Г) = Г (следовательно, Р проектируется на Г С) и отображение DF гиперболично. По следствию. 2.6 существуют такое разложение алгебры (( )= Т С = Е Е и такая норма на (С), что и ОЕ ц- явля- [c.542]

Подгруппа Г группы О называется дискретной, если она замкнута и все ее точки изолированы в С. В этом случае однородное пространство С/Г орбит д еТ (соответственно пространство Г С, орбит Ьд Т), называется правым (соответственно левым) фактором С по Г. Еслн один из этих факторов (а следовательно, и другой) компактен в топологии факторпространства, Г называется равномерной нли кокомпактной решеткой. Нетрудно видеть, что для равномерной решетки любая правая (соответственно левая) мера Хаара по О проектируется в конечную борелевскую меру на однородном пространстве С/Г (соответственно Г С). Более общим образом, дискретная подгруппа Г называется решеткой в С, еслн правая мера Хаара на С проектируется в конечную меру на С/Г. [c.719]

Замечание. Если алгебра интегралов не коммутативна, то замкнутые инвариантные интегральные уровни Ai/ диффеоморфны односвязной группе алгебры s , профакторизован-ной по некоторой ее дискретной подгруппе. Реализация этого общего замечания упирается в нерешенную задачу классификации групп и алгебр Лн. Д [c.124]

Квазитеорема 3.20. В модели Хиггса с не обязательно дискретной калибровочной группой, обладающей дискретной подгруппой Я, содержащейся в центре, которой отвечает ненарушенная симметрия, существует сходящееся низкотемпературное разложение в области Я, g достаточно велико, Я велико . [c.69]

Начиная с 70-х годов, преимущества широкого изучения действия общих групп стали очевидными и соответствующая теория интенсивно развивалась в тесном взаимодействии с теорией представлений, теорией групп Ли и дифференциальной геометрией. При этом, в свою очередь, эргодические методы дали много нового и для теории групп Ли (например, в теории арифметических подгрупп Мостова—Маргулиса) и теории представлений. Особенно важно, что метрические задачи для групп R , групп движений и др. стали широко использоваться в математической физике. В самое последнее время активно изучаются действия бесконечномерных ( больших ) групп (например, групп диффеоморфизмов, токов и др.). Различие между локально к01мпактными группами и остальными в эргодической теории очень существенно, а именно, орбиты действия не локально компактной группы могут не иметь даже квазиинвариантной меры поэтому разбиение на орбиты, разложение на эргодические компоненты могут быть не определены корректно. Для локально компактных групп эти вопросы решаются так же, как и для групп Z и R. Здесь мы будем рассматривать лишь локально компактные группы. Остановимся на немногих общих вопросах определение действия групп, эргодические теоремы, характеризация дискретного спектра. [c.79]

Унитарное представление группы О имеет по определению чисто точечный, или дискретный, спектр, если оно есть прямая сумма конечномерных неприводимых представлений. Для группы 2 это определение совпадает с обычным определением чисто точечного спектра (ограничение на конечность кратности отсутствует). Теорема Неймана утверждает, что для 0 = 2 и эргодического действия собственные числа (спектр) образуют счетную подгруппу в 5, кроме того, по спектру действие восстанавливается однозначно с точностью до метрического изоморфизма и может быть реализовано сдвигом на коммутативной компактной группе, а именно, на группе характеров спектра. Тем самьш любая счетная подгруппа может быть спектром некоторой динамической системы (см. гл. 2, 2). Обобщение Макки состоит в следующем. [c.84]

Теорема 4.3 (Циммер [ИО]). Пусть О и С — две полупростые группы вещественного ранга, большего единицы, не имеющие центра и компактных факторгрупп. Пусть 5 и 5 — их дискретные подгруппы. Если неприводимо эргодические действия 5 и 5 траекторно изоморфны, то 0 = 0, а действия 5 и 5 сопряжены, как в предыдущей теореме. [c.104]

КИМ автоморфизмом. Существует пример аносовского автоморфизма нильмногообразия (т. е. фактора нильпотентной группы Ли по ее дискретной подгруппе), отличного от тора. [c.131]

Группа 8), состоящая из всех конформных авоморфизмов, изучалась в 1. Она является группой Ли и имеет естественную топологию. Поскольку действие группы Г на 5 собственно разрывно нетрудно проверить, что Г должна быть дискретной подгруппой в 8), то есть существует окрестность единичного элемента в 8), которая пересекается с Г только по единичному элементу. (Ср. задачу 2-а.) [c.26]

Чтобы в этом убедиться, рассмотрим в плоскости решетку (дискретную аддитивную подгруппу), натянутую на векторы ( , р) и ( , р ), угловые коэффициенты которых равныp/ ир /q, соответственно. Состоящий из всевозможных линейных комбинаций а р, q) + () р, q ), О а, /3 < 1 параллелограмм Р образует фундаментальную область этой решетки, то есть его образами при параллельных переносах можно замостить всю плоскость. Площадь этой фундаментальной области Р равна определителю Д, а также равна количеству содержащихся в Р точек с целочисленными координатами (s, г). Значит, внутренность Р содержит точку (s, г) с целыми координатами тогда и только тогда, когда Д > 1. Соответствующий этой внутренней точке угловой коэффициент г/s заключен строго между p/q и р /q - Кроме того, заменив в случае необходимости аи/3на1 — аи1 — /3, можно считать, что s q + + )/2 max(g, q ). [c.280]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...