Система эргодическая

II. Состояние термодинамического равновесия системы определяется внешними параметрами и одним внутренним — температурой. Вместо температуры может быть взята энергия системы (эргодическая гипотеза). [c.260]

Гамильтонова точка зрения позволяет исследовать до конца ряд задач механики, не поддающихся решению иными средствами (например, задачу о притяжении двумя неподвижными центрами и задачу о геодезических на трехосном эллипсоиде). Еще большее значение гамильтонова точка зрения имеет для приближенных методов теории возмущений (небесная механика), для понимания общего характера движения в сложных механических системах (эргодическая теория, статистическая механика) и в связи с другими разделами математической физики (оптика, квантовая механика и т. п.). [c.142]

Ясно, что любая система с одной степенью свободы (если только для нее существуют средние по времени) — система эргодическая. [c.189]

С и н а й Я. Г., К обоснованию эргодической гипотезы для одной динамической системы статистической механики, ДАН СССР 153, вып. 00 (1963). [c.384]

Методом Монте-Карло принято называть такие методы, в которых точное динамическое поведение системы заменяется стохастическим процессом. В методе Монте-Карло система совершает случайные блуждания по конфигурационному пространству, причем за начальное состояние принимается некоторое регулярное расположение частиц. Каждому состоянию приписывается определенная вероятность, и система после совершения некоторого количества шагов становится равновесной. В ММК статистические средние получаются как средние по различным конфигурациям. Возможность отождествлять усреднение по времени и по ансамблю в ММК определяется эргодической теоремой. Для рассматриваемой системы предполагается наличие периодических граничных условий. Если смещение выводит частицу за пределы кубического объема, то она входит в него с противоположной стороны. [c.183]

Равновесные системы, у которых внутренние параметры являются функциями внешних параметров и энергии, называются эргодическими. Термодинамика, следовательно, рассматривает эргодические системы. [c.18]

В дальнейшем мы увидим, что при известных условиях справедливо и более сильное утверждение, а именно что величина ф Р) постоянна не только на траектории, но и во всей области Q. Это свойство инвариантных областей играет фундаментальную роль в статистической механике. Впервые оно было высказано в форме правдоподобной гипотезы в кинетической теории газов, где эргодическая теорема используется весьма широко. Нетрудно видеть, что это свойство (постоянство функции ф (Р) в области Q) не имеет места для уравнений Гамильтона в классической динамике Для того чтобы оно выполнялось, необходимо, чтобы система обладала некоторыми особыми свойствами, о которых речь будет ниже ( 22.15). [c.443]

Пусть теперь на вход линейной системы (см. рис. 3.11) подается случайный эргодический процесс На выходе линейной системы формируется также случайный эргодический сигнал Найдем соотношения между их корреляционными и спект-, ральными характеристиками. [c.99]

Стационарные случайные процессы обладают еще одним важным свойством, вытекающим из эргодической гипотезы средние значения, определенные на основании наблюдения над многими подобными системами в один и тот же момент времени, и средние по времени, т. е. средние значения, определенные на основании наблюдения над одной из этих систем для достаточно большого числа последующих моментов времени, для стационарных случайных процессов, дают один и тот же результат. [c.261]

Это теорема Лиувилля она показывает, что в первое определение вероятности не входит время. Она приводит также к следующему важному заключению если — в некоторый момент времени — точки, изображающие системы собрания, распределены равномерно в слое dE фазовой протяженности, то плотность останется постоянной навсегда. Это равномерное распределение нужно себе представлять, когда говорят о собраниях микроканонических или эргодических. [c.44]

Лит. Гиббс Д ж.. Термодинамика. Статистическая механика. пер. с англ., М., 1982, гл- 12 К р ы л о в Н. С., Работы по обоснованию статистической физики, М,— Л,. 1950 Б а л е-с к у Р., Равновесная и неравновесная статистическая механика, лер. с англ., т. 2. приложение Эргодическая проблема, М.. 1978 Заславский Г, М., Стохастичность динамических систем, М,, 1984, гл. 1 Л о с н у т о в А. Ю., Михайлов А. С,, Введение в синергетику, М., 1990. Д, Н. Зубарев. РАЗНОСТНЫЙ тон — комбинационный тон с частотой 0)1 — Юа, возникающий в нелинейной акустич. системе при воздействии на неё двух звуковых колебаний с частотами о>1 и Особое значение Р. т. заключается в том, что он может оказаться в слышимом диапазоне частот, даже если 0)1 и ш, — неслышимые частоты, а это позволяет регистрировать сигналы с частотами ( 1 и Шд. РАЗНОСТЬ ХОДА лучей (в оптике) — разность оптических длин путей двух световых лучей, имеющих [c.248]

Существует предположение, что Э. В. как целого можно оценить, используя понятие энтропии Колмогорова — Синая (А-энтропии см. Энтропия, Эргодическая теория). К-энтропия явл. мерой хаотичности и неустойчивости, она связана со ср. скоростью разбегания близких в нач. момент траекторий. Причём ЛГ-энтропия тем больше, чем быстрее разбегаются траектории, т. е. чем сильнее неустойчивость траекторий и хаотичнее система. Однородное распределение вещества гравитационно неустойчиво развитие неустойчивости приводит к образованию отд. сгустков. При гравитац. сжатии сгустка гравитац. энергия вещества переходит в тепловую энергию движения частиц. Поэтому образование звёзд и галактик из равномерно распределённого вещества сопровождается ростом А -энтропии. Т. о., в рамках этого предположения для Вселенной справедлив закон роста энтропии, хотя она и не является термодинамич. системой и в ходе эволюции становится структурно более сложной. [c.619]

При расчетах колебаний автомобиля при случайном воздействии чаще всего исходят из следующих допущений и предположений случайный процесс является одномерным (определяется только микропрофилем дороги в продольном направлении и является стационарной нормальной случайной функцией) автомобилю соответствует линейная колебательная система колебания автомобиля представляют собой стационарный, иногда эргодический, нормальный процесс. [c.466]

Однородные пространственно-временные случайные поля. Поле /У (х, (), заданное во всем пространстве R , называют однородным, если его вероятностные характеристики инвариантны относительно сдвигов системы координат. Моментные функции порядка г > 1 зависят от разностей координат р = х — х, р" = х" — х и т. д Если однородное поле является эргодическим, то осреднение по множеству реализаций может быть заменено осреднением по всему пространству. [c.279]

Пусть в системе, показанной на рис. 9, приведенное внешнее воздействие О (1) = = = / 1 (р) Хц (1) представляет собой стационарный нормальный эргодический случайный процесс с нулевым средним значением. Допустим, что в результате случайного толчка в системе возник виброударный режим с частотой (а/д. При низком уровне возбуждения (по сравнению с амплитудами инерционных и упругих сил) такой режим может осуществляться только по резонансным законам, и, следовательно, колебания по относительной координате х ( ) соударяющихся элементов можно аппроксимировать соотношением (64). Найдем условие поддержания этого режима с помощью случайного воздействия О (0- Обозначая мощность О ( ) на движении х ( ) через Л/а, имеем [c.31]

Как уже говорилось в основной тексте, мы хотим отразить здесь современное состояние эргодической проблемы — классического вопроса, который традиционно связан со статистической механикой с самого ее зарождения. За последнее десятилетие в зтой области был достигнут весьма значительный прогресс, что привело к возникновению парадоксальной ситуации. С одной стороны, удалось пролить свет на невероятную сложность поведения динамических систем. Теперь ясно, что даже отдельная малая динамическая система проявляет в течение своей эволюции множество особенностей, которые прежде рассматривались как чисто статистические . С другой стороны, эргодическая теория в своем развитии все больше отделяется от статистической механики. В настоящее время представляется весьма затруднительным привлечение результатов эргодической теории для обоснования статистической механики. [c.354]

На первый взгляд мы опять пришли к уже рассмотренному представлению о системе осцилляторов. Фазовое пространство имеет структуру множества вложенных один в другой ЛГ-мерных торов. Любая возможная траектория располагается на одном из этих торов. Имеется, однако, различие между рассмотренной системой и системой осцилляторов. В последнем [учае частоты являются абсолютными константами, заданными раз и навсегда видом гамильтониана. Следовательно, при этом все торы покрыты либо замкнутыми кривыми, либо плотными эргодическими траекториями, в зависимости от того, соизмеримы или несоизмеримы частоты. В общем же случае частоты зависят от действий, а в силу этого — от радиусов торов. Отсюда вытекает, что для данной [c.362]

В последнее время появились некоторые новые результаты, которые серьезно активизировали исследования в этой области. Прежде всего надо назвать чисто аналитические результаты. Они содержатся в теореме, сформулированной Колмогоровым в 1954 г. и доказанной Арнольдом и независимо Мозером в 1963 г., поэтому обычно эту теорему кратко называют КАМ-теоремой ). Речь идет о результате теории возмущений, относящемся к следующей задаче. Рассмотрим интегрируемую систему, описываемую гамильтонианом Нд (/). Она характеризуется набором торов, покрытых эргодическими траекториями. Попытаемся ответить на вопрос, что произойдет, если вводится малое возмущение, т. е. если теперь рассматривается система с модифицированным гамильтонианом [c.363]

Смысл и значение данного результата можно объяснить следующим образом. До сих пор рассматриваемые системы обладали лишь немногими степенями свободы. Удивительно, сколь высокую нерегулярность обнаруживают такие простые системы. Несколько лет назад никто и не помышлял о возможной эргодичности систем из двух осцилляторов. Все были убеждены, что эргодичность является свойством лишь весьма больших систем. Результаты Форда послужили ключом к пониманию роли числа степеней свободы. Поскольку число степеней свободы возрастает, становится возможным все большее число резонансов и, что гораздо важнее, возникает все больше шансов для перекрытия. Таким образом, неустойчивость и эргодичность, по-видимому, возникают скорее. По мере того как число степеней свободы приближается к величинам порядка 10 , типичным для систем, рассматриваемых в статистической механике, можно почти с полной уверенностью утверждать, что эргодическое поведение становится [c.371]

В случае а фазовый элемент движется без искажений его формы, возвращаясь к своему первоначальному положению каждые Т секунд. Это напоминает периодическое движение твердого тела. В течение своего движения капелька фазовой жидкости заметает конечную долю доступного фазового пространства. Такая ситуация вполне может иметь место для реальной механической системы. Рассмотрим, например, систему гармонических осцилляторов с соизмеримыми частотами траектории представляющих их фазовых точек образуют замкнутые кривые на торе (см. разд. П.2). Если ограничиться рассмотрением пути на поверхности одного из таких торов, то движение будет как раз соответствовать фиг. П.6.1, а. Иной тип движения изображен на фиг. П.6.1, б. Здесь форма элемента объема лишь слабо меняется в течение движения. Однако данный элемент объема никогда не возвращается в свое начальное положение. Если за ним проследить достаточно долго, то этот элемент заметает большую часть фазового пространства, возможно даже — все фазовое пространство. Более того, если время ожидания стремится к бесконечности, то элемент пересечет каждый участок фазового пространства бесконечное число раз. Такой поток называется эргодическим. [c.378]

Сразу же заметим, что для гамильтоновой системы поток заведомо может не быть эргодическим в фазовом пространстве. В самом деле, существует по крайней мере один изолирующий интеграл — [c.380]

Результаты Синая были подготовлены длительным предыдущим развитием эргодической теории в обоих отмеченных в предыдущем примечании направлениях. Особенно большое значение имели работы по геодезическим потокам на многообразиях отрицательной кривизны, начатые еще Адамаром в 1899 г. и в известной степени завершенные в работах Д. В. Аносова 1962 г. [ДАН СССР, 151, 1250 (1963)]. Еще до завершения этого направления Н. С. Крылов в посмертно опубликованной книге Работы по обоснованию статистической физики (Изд-во АН СССР, 1950) отметил, хотя и не мог строго обосновать, аналогию мен ду геодезическими потоками и бильярдной системой.— Прим. ред. [c.383]

Постулат о микроканоническом распределении гласит все микро состояния равновесной замкнутой системы являются равновероятными. Согласно микроканоническому распределению система за большой промежуток времени пройдет все доступные для нее микросостояния. В среднем время пребывания системы в любом микросостоянии одно и то же. Эта новая формулировка микроканонического распределения эквивалентна ранее приведенной в силу эргодической гипотезы. [c.41]

Заметим в заключение, что при выводе неявно использовалось допущение, эквивалентное эргодической гипотезе за достаточно большой срок система побывает во всех возможных для нее квантовых состояниях. Для этого необходимо, чтобы не было изолированных групп состояний. [c.240]

II в окрестности точки гиперболического типа, являются максимально неустойчивыми системами. Перечислим некоторые важнейпгае свойства У-систем а) У-системы — эргодические, и их движение обладает свойством пере-иешивания б) возмущение У-систем приводит снова к У-системам, т. е. свойство системы быть У-системой является грубым в) понятие У-систем может быть расширено (хотя и с определенными неудобствами) на с- учай негамильтоновых систем [53]. [c.61]

Эргодические системы. Подобно полностью интегрируемым системам, эргодические системы, в которых отсутствуют регуляр 1ые траектории, оказываются в некоторых отношениях более простыкп . [c.70]

Еще Больцман высказал эргодическую гипотезу — идею о равновероятности всех состояний изолированной системы [4]. Эта гипотеза с топологической точки зрения не может быть верна, и она была заменена квазиэргодической [56] фазовая траектория обязательно проходит через сколь угодно малую окрестность любой точки на эргодической поверхности. Эргодическая гипотеза дала начало больщому разделу математики — эргодической теории. Я. Г. Синай доказал ряд теорем по эргодичности систем, состоящих из твердых сфер [57]. Однако остается открытым вопрос относительно систем, состоящих из частиц, между которыми действуют силы притяжения. Кроме того, в классической эргодической теории не учитывается макроскопический [c.215]

Конечно, это условие не всегда выполнимо. Для простых динамических систем, движущихся согласно периодическому закону, ни при их классическом, ни при квантовом рассмотрении функция Ляпунова существовать не может, ибо такие системы через некоторое время возвращаются в исходное состояние. Возможность существования оператора М определяется типом спектра оператора Лиувилля. В рамках классической эргодической теории этот вопрос недавно изучил Мисра [23]. Я постараюсь рассмотреть здесь некоторые следствия возможности существования оператора М уравнения (36), который можно рассматривать как энтропию систем, анализируемых на микроскопическом уровне. Поскольку М — величина положительная, то согласно общей теореме ее можно представить в виде произведения оператора, скажем, и сопряженного эрмитова оператора (Л" )" " (эта операция означает извлечение из положительного оператора квадратного корня) [c.148]

Когда мы хотим представить себе все возможные состояния, принимаемые данной системой, мы можем поступать различным образом. Можно, например, представить себе большое число, ансамбль систем, которые суть, так сказать, копии системы, с которой мы имеем дело они представляют в один и тот же момент времени все состояния этой системы, которые мы должны и желаем принимать во внимание. Эти состояния могут обладать наибольшей общностью, иметь, например, всевозможные значения энергии, как это имеет место в канонических собраниях Гиббса, или быть менее общими, как микрокано-нические собрания Гиббса, эквивалентные эргодическим собраниям Больцмана. В этих последних о всех системах предполагается, что они обладают одной и той же энергией, значение которой задано. Можно также обратить внимание на ансамбль, образованный последовательностью во времени состояний, принимаемых системой. Этим, среди других, занимался Эйнштейн. Тут мы будем пользоваться методом, связанным с микроканоническими собраниями, а в следующей лекции сообщим кое-какие соображения о других способах рассмотрения. [c.22]

У. по Пуассону (возвращаемость)—свойство динамич. системы возвращаться в ходе эволюции сколь угодно близко к своему нач. положению (в фазовом пространстве) по истечении сколь угодно большого времени (см. Пуанкаре теорема, Эргодическая теория). [c.256]

Это свойство, введённое в статистическую физику в работах Дж. У. Гиббса (J. W. Gibbs), является более тонким, чем свойство эргодичности. Пусть z(t)—фазовая точка, характеризующая состояние системы в момент времени t, 2о = г(0),/(г)—произвольная ф-ция от г, 5,—эволюционный оператор, 5,г(0) = 2-(0- Движение наз. эргодическим, если независимо от выбора момента времени t [c.398]

Делались попытки обоснования Э. г. с помощью исследования свойств фазовых траекторий замкнутых изолированных механич. систем из большого числа частиц. Были доказаны эргодичсские теоремы (см. Эргодическа.ч теория), к-рые сводили Э. г. к предположению о специфич. свойстве фазового пространства (его метрической неразложимости). Однако для обоснования статистич. физики эти теоремы не являются необходимыми, т. к. фазовые траектории чрезвычайно чувствительны к малым возмущениям (см. Раз.мешивание). В частности, они очень чувствительны к малейшему нарушению изоляции или замкнутости системы. Аналогичным свойством чувствительности квантовых состояний к малым возмущениям обладают к квантовые системы. Д. Н. Зубарев. [c.625]

Случайные сигналы можно представить в виде некоторой случайной функции времени (случайный процесс) либо дискретной функцией времени (случайными последовательностями). Известно, что случайные процессы могут быть нестационарными и стационарными, а последние — эргодическими и неэргодическими. В зависимости от вида случайного сигнала подбирается и соответствующий математический аппарат. При этом случайный процесс может быть описан совокупностью ограниченных во времени реализаций совокупностью функций распределения автокорреляционной функцией разложением по системе ортонорм ированных функций. [c.88]

В таком утверждении содержится неявная тонкость, которая даже в лучших книгах обсуждается лишь мимоходом. Из квантовой механики хорошо известно, что состояние системы должно описываться полным набором коымутируюхцих наблюдаемых (по терминологии Дирака). Приведенное нами утверждение подразумевает, что энергия уже сама по себе образует такой набор все прочие наблюдаемые, коммутирующие с гамильтонианом, мы исключаем из рассмотрения. Разумеется, это не что иное, как неявная формулировка эргодической гипотезы. [c.132]

Эта теорема известна под названием, предложенным еще самим Больцманом, как эргодическая теорема ). Теперь определим эргодический поток как такой поток, для которого справедлива формула (П.6.5). С интуитивной точки зрения формула (П.6.5) вьфажает то, что почти любая траектория системы проводит равное время в одинаковых по объему областях фазового пространства. [c.380]

Если принять такую точку зрения, то эргодическая теорема очень сильно упрощала бы проблему вычисления средних величин. В самом деле, если такая теорема справедлива, то практически неразрешимая динамическая задача вычисления среднего значения величины Ь по траектории (в свою очередь подлежащей определению) для одиночной системы заменяется гораздо более простой задачей вычисления среднего значения этой же величины по энергетической поверхности. Последний метод приводит к весьма привлекательной физической интерпретации. Концепция меры, которая играет столь важную роль в эргодической теории, является столь же решающей и для теории вероятности. Таким образом, мы приходим к заключению, что к динамической величине Ъ можно подходить как к случайной переменной. Вместо одной системы рассматривается бесконечное количество тождественных копий этой системы, распределанных непрерывно по фазовому пространству. Множество таких систем называется ансамблем. Плотность распределения изображающих точек F (х) интерпретируется как плотность вероятности нахождения интересуюш ей нас системы в данной точке фазового пространства. (Иными словами, мера области в фазовом пространстве интерпретируется как вероятность нахождения системы в данной области.) Поскольку полная мера всего фазового пространства равна единице, система определенно находится где-то в доступном ей фазовом пространстве. Макроскопическая динамическая величина В теперь определяется как [c.384]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...