Последовательности Коши и полнота

Доказательство. Мы должны проверить полную ограниченность и полноту. Выберем конечную (е/2)-сеть N. Любое замкнутое множество А сХ покрывается объединением е-шаров с центрами в точках N и замыкание их объединения удалено от Л в метрике Хаусдорфа не более чем на е. Так как существует лишь конечное число таких множеств, мы показали, что эта метрика вполне ограничена. Чтобы показать, что она полна, рассмотрим последовательность Коши (относительно метрики Хаусдорфа) замкнутых множеств А сХ. Если мы положим А = П У легко видеть, что (Л , А) —> 0. [c.428]

Здесь уместно вспомнить, что по определению гильбертово ( -пространство является полным. Это означает, что любая последовательность подчиняющаяся сильному условию Коши, т. е. Н / — -> О, является в этом пространстве сильно сходящейся. Однако гильбертово пространство обладает полнотой также и в слабом смысле ([947], т. 1, стр. 71). Множество векторов называется компактным, если во всякой принадлежащей ему последовательности содержится сильно сходящаяся подпоследовательность множество векторов называется слабо компактным, если из каждой последовательности, входящей в это множество, можно выделить слабо сходящуюся подпоследовательность. Часто оказывается полезным то обстоятельство, что любое ограниченное (в сильном смысле) множество в гильбертовом пространстве является слабо компактным ([947], стр. 79). Это утверждение— слабый аналог теоремы Больцано — Вейерштрасса, которая не справедлива для гильбертова пространства в сильном смысле. Верно и обратное утверждение каждая слабо сходящаяся последовательность является ограниченной в сильном смысле ([947], стр. 71). [c.163]

Полнота является очень важным свойством, так как она позволяет переходить к пределам, что нередко требуется в наших конструкциях. Отметим, что определить понятие последовательности Коши в произвольном топологическом пространстве невозможно, так как невозможно сравнивать окрестности различных точек. Полезно заметить, что компактные множества полны в силу секвенциальной компактности. Метрическое пространство может быть сделано полным (пополнено) следующим способом. [c.697]

Жоеледовашельиости Коши и полнота. Рассмотрим вещественное нормированное линейное пространствоТ", т. е. нормированное линейное пространство, элементы которого можно умножать на вещественные числа. Пусть и обозначает элемент пространства а II W II — его норму. Если каждому положительному целому числу п поставить в соответствие некоторый элемент м" 6 то совокупность и , ы ,. . ., м",. . ., записываемая м"), образует последовательность в Т. Говорят, что последовательность м в f" имеет предел и если для любого е > О существует целое число т, такое, что м" — и < е при всех п > т. Если это имеет место, то говорят, что последовательность м" сходится к пределу и по норме и и пишут lim м" = и [c.109]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...