Узлы (в методе конечных элементов

Удар по стержню с заделанным конном 504 Удлинение относительное 26 Узлы (в методе конечных элементов) 556 [c.575]

Таким образом, компоненты дискретных собственных векторов матричной задачи KQ == KMQ дают значения собственных функций в узлах в методе конечных элементов. [c.258]

Приведем теперь дискретизацию уравнения (5.284) по методу конечных элементов. Пусть Я —узлы сетки метода конечных элементов в области Qo (а) — соответствующие базисные функции. Приближенное решение задачи Ил разыскиваем в виде [c.279]

Уравнения (7.38) представляют собой систему линейных алгебраических уравнений относительно искомых функций в узлах [Фь Ф2,..., Фр]. Таким образом, в методе конечных элементов решение краевой задачи для уравнения в частных производных сводится к решению линейной системы алгебраических уравнений. [c.203]

Истинные методы конечных элементов отличаются от подходов, в которых рассматривается разбиение масс, главным образом тем, что при разбиении конструкции жесткости элементов определяются посредством классических способов статических исследований самих элементов, а не в процессе идентификации конструкции [1.40—1.46]. На рис. 1.12, а показано несколько обычно используемых типов элементов. Каждый элемент определяется с помощью 6, 8, 16 или 20 точек или узлов, в которых задаются условия совместности для перемещений и нагрузок. Исходными переменными являются пространственные перемещения в этих узлах уравнения движения обычно записываются с помощью того или иного вариационного подхода. Энергия деформаций, вычисляемая для каждого элемента, выражается через все узловые перемещения каждому узлу приписывают некоторую массу, и кинетическую энергию выражают через узловые скорости. Поскольку разбивка на элементы производится с учетом геометрии конструкции, отпадает необходимость в процедуре задания жесткостей, а соответствующие члены уравнений вычисляются из непосредственного рассмотрения геометрии каждого элемента. Для адекватного представления сложной конструкции необходимо большое число узлов, поэтому главными вопросами в методе конечных элементов являются [c.38]

Постановка задачи. Как принято в методе конечных элементов (МКЭ), исследуемое тело может быть представлено в виде дискретной модели, состоящей из отдельных элементов. В соответствии с методом тепловых балансов сумма потоков теплоты, проходящих через граничные поверхности элемента, равна заданной величине. В частности, при отсутствии внутренних источников (стоков) тепла эта сумма равна нулю. При таком определении граничные поверхности конечного элемента являются теплопередающими. Замена сплошного тела дискретной моделью приводит к погрешности решения, которая в данной задаче сводится, в основном, к погрешности способа определения потоков тепла через граничные поверхности и способа определения температур. В статических и динамических задачах механики твердого тела, как правило, находят экстремум функционала, являющегося интегралом от его плотности по объему тела, выражаемого через значения переменных в узлах сетки. [c.25]

В ранних приложениях методов конечных элементов и конечных разностей [13, 14] к исследованию динамического развития трещины движение вершины моделировали дискретными скачками. В методе конечных элементов это делали путем переноса места расположения вершины трещины с одного узла на следующий (этот подход называется методом стационарной сетки) в конечно-разностном методе принималось, что вершина трещины находится в центре ячейки, поэтому в заданные временные интервалы вершина трещины переходит из одной ячейки в другую. [c.279]

Подавляющему большинству практических задач, возникающих в инженерном деле и прикладных науках, присуща чрезвычайная нерегулярность границ областей, отвечающих изучаемым объектам, так что при их количественном исследовании трудно рассчитывать на получение аналитических результатов и решения, как правило, приходится так или иначе искать численно. Наиболее распространенные численные методы основываются на достаточно мелком подразделении изучаемой области либо путем введения линейных сеток с неизвестными значениями переменных в узлах, как в конечно-разностных методах, либо путем разбиения области на большое число дискретных элементов простой структуры, как в методах конечных элементов. [c.9]

Если необходимо вычислить напряжения и деформации для большого числа внутренних точек, то для вычисления точных значений смещений в узловых точкам внутренних ячеек более эффективно использовать уравнение (4.28). Это уравнение справедливо во всех точках, включая граничные. Напряжения и деформации вычисляются по смещениям при помощи процедуры, аналогичной используемой в методе конечных элементов или в методе конечных разностей. Поэтому, если и — шестимерные векторы смещений в узлах некоторой внутренней треугольной ячейки, то вектор смещений в любой точке этой внутренней ячейки записывается в виде [см. (4.21)] [c.113]

Эта интерполяционная функция ф может быть использована для построения базисных функций для так называемых линейных прямоугольных элементов. Для построения большинства базисных функций более общего вида, используемых в методах конечных элементов, прибегают к выражениям более высокого порядка [1, 5, 6]. Так как в каждом узле в координатах ii мы имеем по одному узловому значению (Ф1 отвечает узлу 1 и т. д. см. рис. 8.7,6), то, очевидно, можно найти четыре функции из уравнений вида (например, для узла 1) Ф1 =/о +/1 +/2 +/з и т. д. После отыскания / = /(Ф ) соотношение (8.3]) можно переписать в виде [c.217]

Метод конечных разностей основывается на замене уравнения Лапласа набором линейных алгебраических уравнений, связывающих друг с другом значения потенциала в узлах расчетной сетки. Эта связь может быть установлена и другим способом. В методе конечных элементов используется расчетная сетка, состоящая из треугольных элементов переменных размеров, покрывающих всю область, для которой необходимо найти решение уравнения в частных производных, -Затем аппроксимируемая вариация потенциала на каждом таком элементе некоторым образом связывается с положением угловых узлов, и строится функционал (интегральная величина, определенная на множестве функций), минимизация которого по значениям потенциала в узлах треугольников эквивалентна решению уравнения в частных производных [122]. Эти два подхода математически эквивалентны, поэтому любая задача, сформулированная в виде уравнения в частных производных, может быть переформулирована в виде вариационной задачи. Конечно-разностная процедура аппроксимирует решение задачи в форме уравнения [c.154]

В методе конечных элементов матрица для всей области формируется из матриц отдельных элементов, которые выражаются как функции узловых неизвестных. Последующий учет главных граничных условий приводит к определенным изменениям общей матрицы. Аналогичным образом величины, заданные в узлах элемента, образуют вектор обобщенной узловой нагрузки. Разрешая далее полученную систему уравнений, определяем значения искомой функции в узлах. [c.57]

Эта идея очень стара. Новым является лишь выбор пробных функций в методе конечных элементов они кусочно полиномиальны. Именно этим выбором определяется успех метода. Каждая функция ф - равна нулю на большей Части области и отлична от нуля только в окрестности одного узла. В этой окрестности ф составлена из полиномов небольшой степени, и все вычисления становятся максимально простыми. Интересно, что преимущества кусочно полиномиальных функций одновременно и совершенно независимо были замечены в математической тео рии аппроксимации. Идея их применения оказалась весьма плодотворной, и она появилась как раз в нужное время. [c.7]

Вернемся к построению подпространств S в методе конечных элементов. Область — в нашем случае интервал [О, п] — разбивается на отрезки, и на каждом из них в качестве пробных функций и берутся полиномы. В узлах между отрезками требуется некоторая степень непрерывности, и обычно эта непрерывность не более чем требуют следующие условия [c.39]

Ширина ленты равна примерно длине строки, так как для данного узла связь с узлом, лежащим выше него (с которым данный узел связан ненулевым элементом в матрице жесткости), при таком упорядочении проявится быстрее. В общем случае матрицы в методе конечных элементов куда менее систематичны, чем в случае разностных уравнений, и выбор оптимального упорядочения совсем не очевиден. [c.52]

Та же самая конструкция распространяется на полиномы степени к—1 нескольких переменных хи. .., Хп при условии, что основные области разбиения — симплексы интервалы при /г=1, треугольники при п = 2, тетраэдры при п—3. Можно получить дискретные аналоги произвольно высокой степени точности в л-мерном пространстве. К сожалению, с точки зрения практических приложений существует фатальное обстоятельство размерность пространства 8 , равная общему числу внутренних узлов, растет чрезвычайно быстро при росте кип. Главная проблема в методе конечных элементов — наложить дополнительные ограничения на пробные функции (тем самым уменьшая размерность пространства 5 ) без нарушения свойств аппроксимации и простоты локального базиса. [c.99]

При решении инженерно-геологических задач аргументами, зависящими от номера узлов, являются показатели деформационных свойств грунтов, действующие в этих узлах силы и перемещения. Записав в конечно-разностном вреде связь между силами и перемещениями для каждого узла, получим систему линейных алгебраических уравнений, решение которой приводит к отысканию перемещений узлов. Точность решения зависит от выбора сетки и способа решения системы. По найденным перемещениям определяют деформации и напряжения в узловых точках. Все зависимости при практическом использовании метода записываются в матричной форме. В большинстве случаев (как и в методе конечных элементов) они базируются на теории упругости, однако возможно применение и других зависимостей. [c.52]

Альтернативой методу конечных элементов для получения приближенных решений уравнения Пуассона является конечно-разностный метод, в котором производные аппроксимируются конечными разностями. В этом случае исследуемая область разбивается на большое число двумерных прямоугольных ячеек. Электростатический потенциал в изучаемом приборе вычисляется в точках пересечения границ прямоугольных ячеек, называемых узловыми точками (рис. 16.3). Необходимая для расчетов плотность узлов в любой области непосредственно связана с градиентом потенциала в данной области. Недостатком конечно-разностного метода является то, что все узлы в системе должны располагаться в углах смежных ячеек. Из-за этого ограничения приходится увеличивать плотность узлов в областях, не представляющих большого интереса, только потому, что эти области оказались по горизонтали (либо по вертикали) в одном ряду с областями, в которых существенно изменяется потенциал. Так как процессорное время, необходимое для получения решения, зависит от числа узлов, то желательно иметь такую систему дискретизации, в которой можно было бы изменять плотность узлов в разных областях прибора в зависимости от градиента потенциала и которая, в то же время, не зависела бы от взаимного расположения узлов. Именно метод конечных элементов позволяет непрерывно и независимо изменять плотность ячеек, что приводит к уменьшению числа узлов, требуемого для решения данной задачи [16.16]. [c.467]

Для описания осесимметричных (радиальных) деформаций можно построить конечноэлементную модель тонкого диска, используя рассмотренные-ранее треугольные конечные элементы вращения, как показано на рис. 18.23а. Хотя задачу можно существенно упростить, если приравнять радиальные-перемещения расположенных на одной вертикали друг против друга узло / и метод конечных элементов подвергнется гораздо более суровому испытанию, если допустить независимые перемещения всех узлов в радиальных направлениях. При этом модель из Е конечных элементов приводит К.2Е 2 нелинейным уравнениям относительно Е 2 неизвестных узловых перемещений и Е гидростатических давлений в элементах. [c.361]

Для установления особенностей напряженно-деформированного состояния в зоне локальной текучести (в вершине дефекта) на границе двух пластически неоднородных сред использовали метод конечных элементов (МКЭ). В основу программы МКЭ положены уравнения структурной модели упруго-вязкопластической среды /29/. Сетка конечных элементов состояла из 680 элементов со значительным сгущением узлов в окрестности вершины дефекта (рис. 3.12). В силу симметрии рассматривали половину соединения. Численные расчеты были выполнены для степени механической неоднородности равной 1,0, 1,125, 1.25, 1,5, 2,0, 2,5, 3,0, 3,5, 5,0 и 100 при размерах дефекта 1/В = 0,1. ..0,5. В результате было установлено, что вследствие высокой кон- [c.93]

В этом отношении значительно большими возможностями обладает метод конечного элемента [88]. В основу этого метода положено расчленение рассматриваемой области на отдельные элементы простой геометрической конфигурации, причем достаточно широкие возможности открываются уже при введении в расчет элементов прямоугольной и треугольной формы. Сочленение элементов осуществляется в узлах, в которых полностью удовлетворяются условия равновесия и неразрывности перемещений. Разрезание рассматриваемой области приводит к кажущемуся нарушению условий неразрывности перемещений на участках между узлами, в значительной степени компенсируемому предположением о линейном законе изменения напряжений в любом сечении элементарного элемента. Это обусловливает наложение на деформации элемента сильно ограничивающих их связей, которые, с одной стороны, имеют тенденцию улучшить условия соблюдения неразрывности деформации, а с другой,— не вызывает концентрации напряжений в узловых точках. [c.115]

Если несколько видоизменить трактовку алгоритма, сформулированного выше, то придем к решению, получившему наименование метода конечного элемента. Для этой цели полную энергию системы представим как сумму энергий, каждую из которых относят к соответствующему элементу, определяемому линиями, соединяющими узлы. Конечный элемент может иметь произвольную форму треугольник, прямоугольник, ромб и т. п., которая определяется удобствами расчета. Такое отнесение энергии к конкретному по форме элементу дает возможность получить сравнительно простые формулы, исключающие необходимость проведения достаточно громоздких вычислений в каждом отдельном случае. [c.119]

Метод конечного элемента связан с рассмотрением систем алгебраических уравнений высокого порядка. Для сопоставления рассмотрим кубическое тело. Число неизвестных при использовании метода конечного элемента определяется числом узлов сетки и при решении задачи в перемещениях равно 3(л-1-1) . При решении задачи методом расширения заданной системы число неизвестных для кубического объема определяется как 18п , т. е. уже при делении каждой грани на одну и более клеток ярко выступает преимущество этого метода. На рис. 81 графически показано число уравнений при решении задач обоими методами, причем сплошная линия относится к методу конечного элемента, а штриховая—к методу расширения заданной системы. [c.160]

При большом числе узлов и конструктивных элементов методы равноценны и, как один, так и другой, могут быть положены в основу создания машинных алгоритмов так называемого метода конечных элементов для анализа сложнейших систем стержневого и оболочечного типов. [c.299]

Методы с применением адаптируемых конечных элементов. Под адаптируемым вариантом метода конечных элементов понимают достижение лучшей точности решения посредством увеличения степени интерполирующих полиномов при неизменных очертаниях элементов. Это означает, что па сторонах элементов вводятся новые промежуточные у.з-лы, что и позволяет повысить степень полиномов. Новые узлы могут вводиться как всюду, так н только в некоторых областях модели, где необходимо повысить точность вычислений. Поскольку интерполирующие функции более высокого порядка содержат функции более низкого порядка, то их можно использовать для экономии вычислений при усложнении модели. [c.93]

Первый этап численного решения задачи методом конечных элементов включает выбор вида элементов и способа расположения в них узловых точек, разбиение области на элементы и размещение узлов, а также определение функций формы. Отметим, что эти функции существенным образом зависят от вида используемых элементов и способа расположения узлов. При решении двумерных задач [c.132]

В этих двух томах рассмотрены одиннадцать основных вопросов 1) основы теории упругости анизотропного тела 2) критерии разрушения и анализ разрушения элементов из композиционных материалов 3) расчет ферм, балок, рам и тонкостенных элементов 4) расчет пластин 5) расчет оболочек 6) распространение волн и удар 7) анализ конструкций из композиционных материа-лов методом конечных элементов 8) вероятностный расчет и на-дежность 9) экспериментальные характеристики композиционных материалов 10) анализ напряжений в окрестностях концентраторов напряжений, кромок и узлов соединений 11) проектирование элементов конструкций из композиционных материалов. [c.9]

Основная причина отсутствия приложений метода конечных разностей к исследованию упругопластического поведения композитов не связана с механическими свойствами компонентов. Здесь имеют место трудности, носящие скорее геометрический характер и возникающие при любых применениях метода конечных разностей к решению задач в областях с криволинейной границей, т. е. с ограничениями на узлы сетки, лежащие на границе. Эту проблему нельзя обойти дал е при использовании нерегулярной сетки (см. Адамс и др. [4]). Применение же треугольных конечных элементов полностью решает указанную проблему, и именно благодаря этому обстоятельству метод конечных элементов является гораздо более гибким. [c.224]

Для всех деталей двигателя должны быть предусмотрены уровни деформаций и максимальных напряжений, определяемые из анализа различных условий полета, в которых двигатель будет эксплуатироваться. Этими условиями обусловлено возникновение множества симметричных и асимметричных нагрузок, которые будут испытывать двигатель и его узлы в дополнение к нагрузкам, создаваемым самим двигателем в процессе работы. Представляет интерес, например, каково взаимное влияние подверженных прогибу вращающихся деталей и неподвижного корпуса, а также прогиб опорных элементов. Вследствие анизотропии свойств композиционных материалов процесс проектирования усложняется и возможно использование метода конечных элементов с привлечением компьютеров для точной проверки напряжений и прогибов в зависимости от оптимальной ориентации слоев. [c.62]

Для решения задачи минимизации функционала (5.249) могут быть использованы хорошо разработанные методы математического (нелинейного) программирования. Естественно, что для реализации этих методов на ЭВМ задачу необходимо дискретизировать— привести ее к конечно-мерной эту процедуру можно производить с помощью метода конечных элементов. Приведем для справки результат дискретизации функционала (5.249) и уравнения (5.244) по методу конечных элементов в варианте, описанном в главе 3. Итак, пусть а, — узлы сетки метода конечных элементов, w i (х) — соответствующие векторные базисные функции. Тогда приближенное решение по методу конечных элементов отыскиваегся в виде [c.275]

Метод конечных элементов. Этот метод, как и метод конечных разностей, имеет широкие возможности и хорошо приспособлен для машинной реализации. В основе его лежит идея расчленения конструкций на отдельные элементы. Наибольшее распространение в настоящее время получил метод конечных элементов в перемещениях, имеющий много общего с методом Релея — Ритца и вариационно-разностными методами. В методе конечных элементов, в отличие от метода Релея — Ритца, аппроксимация перемещений производится не по всей области их определения, а в пределах отдельных элементов. Это позволяет оперировать с более простыми функциями. Минимизация потенциальной энергии при этом производится по узловым перемещениям, которые являются основными неизвестными. Возможность аппроксимации перемещений внутри элементов позволяет ограничиться сравнительно небольшим числом узлов, что является одним из преимуществ метода конечных элементов по сравнению с методом конечных разностей. Метод конечных элементов отчасти соединяет в себе преимущества методов конечных разностей и Релея — Ритца и в некоторой степени свободен от их недостатков. [c.82]

Напомним, что в случае стержневых систем (см. 3.6) внеузловая нагрузка учитывалась введением матрицы уравновешивающих сил (матрицы, которая содержит реакции на элемент от действия внеузловой нагрузки при полном закреплении узлов). Здесь использован иной подход, при котором внеузловая нагрузка заменяется статически эквивалентной системой узловых сил Р. При желании можно было бы и в методе конечных элементов ввести матрицу уравновешивающих сил Pj, полагая Р = —Р . Отметим, однако, что в отличие от стержневых систем матрица Р может быть определена здесь лишь приближенно, поскольку ее компоненты зависят не только от характера внешней нагрузки, но также и от выбора аппроксимирующих функций, как это видно из [c.114]

Подобный процесс составления уравнений предполагает непре рывность 9, заданного в узлах, по поверхности элементов. Он совпадает с хорошо известной процедурой в методах конечных элементов. [c.420]

При использовании электрических цепей исследуемая область заменяется ступенчатым телом, состоящим из прямоугольных блоков (см. рис. 66). В методе конечных элементов осесимметричное цилиндрическое тело представляется системой кольцевых элементов, чаще всего с треугольным поперечным сечением (рис. 68, а). Считается, что все элементы связаны между собой шарнирно в их узловых точках и в пределах каждого элемента напряжения и температуры постоянны. Поверхностные и объемные силы, действующие на элементы и их стороны, заменяются силами, сосредоточенными в узлах. Под действием сил, приложенных к кольцейому элементу, узловые точки перемещаются (рис. 68, б) перемещения их изменяются линейно от нагрузок, т. е. по закону Гука, как для упругой задачи. Для каждого узла в отличие от электрических цепей составляются два алгебраических уравнения одно для перемещения узла по оси г, а другое— по оси г. [c.131]

Одновременно с приближением допустимых функций из Же кусочно полиномиальными в методе конечных элементов производятся и другие приближения, совершенно отличные от первых. Прежде всего можно менять саму область й заменяется на близкий многоугольник 2 или, в изопараметрическом методе, на область с кусочно полиномиальной границей. Любое другое приближение произвольной области вызвало бы большие труд- ности. Далее, сами краевые условия служат объектом аппроксимации. Если в задаче указано, что и — д х,у) на Г или и + а = Ь х, у), то эти функции и 6 почти неизбежно интерполируются в узлах на границе Г (или на ее приближении). Мы хотим оценить ошибку этих приближений. [c.226]

Следствие. Пусть й — многоугольник, а главное условие и = g x, у) на Г интерполируется в методе конечных элементов, во всех граничных узлах пробные функции удовлетворяют равенству v (Zj)—g Zj) или, более общо, Djv Zj) — Djg(Zj)). Тогда [c.234]

При решении перечисле1[ных в 1.1 задач методом конечных элементов область определения искомой функции разбивается на несколько тысяч элементов примерно с таким же количеством узлов. В связи с этим возникают проблемы, связанные со сложностью подготовки столь большого количества исходной информации и с трудностью ее проверки и корректировки, так как при ручной подготовке такого объема исходных данных неизбежно появление ошибок. [c.19]

Методы конечных элементов и конечных разностей имеют ряд существенных отличий. Прежде всего методы различны в том, что в МКР аппроксимируются производные искомых функций, а в МКЭ — само решение, т. е. зависимость искомых функций от пространственных координат и времени. Методы сильно отличаются и в способе построения сеток. В МКР строятся, как правило, регулярные сетки, особенности геометрии области учитываются только в околограничных узлах. В связи с этим МКР чаще применяется для анализа задач с прямолинейными границами областей определения функций. К числу традиционных задач, решаемых на основе МКР, относятся исследования течений жидкостей и газов в трубах, каналах с учетом теплообменных процессов и ряд других. В МКЭ разбиение на элементы производится с учетом геометрических особенностей области, процесс разбиения начинается от границы с целью наилучшей аппроксимации ее геометрии. Затем разбивают на элементы внутренние области, причем алгоритм разбие- [c.49]

Построение системы линейных уравнений. Следующим этапом метода конечных элементов является получение системы уравнений для нахождения неизвестных функций в узлах. Данному дифференциальному уравнению с граничными условиями ставят в соответствие некоторый функционал, минимум которого достигается в том случае, когда удовлетворяется исходное дифференциальное уравнение. ]"1ными словами, вариационным уравнением Эйлера для данного функционала является исходное уравнение. Например, нахождение решения уравнения Лапласа для потенциала скорости d2ip d2 f дх2 ду2 [c.202]

Основные соотношения МКЭ. Метод конечных элементов основан на предположении, что тело можно представить в виде набора элементов, соединенных друг с другом только в узлах. Связь узловых усилий с узловыми перемещениями задается с помощью матрицы жесткости элемента. Объединение матриц жесткости отдельных элементов в глобальную матрицу жесткости тела позволяет записать условия равновесия тела. При заданных действующих нагрузках или перемещениях и при известной глобальной матрице жесткостзг решение системы алгебраических уравнений равновесия позволяет найти все узловые усилия, а по ним — напряжения и перемещения в пределах каждого элемента. Тем самым напряженно-деформированное состояние тела становится определенным [59]. [c.83]

В расчетах на прочность и долговечность ВС принято считать, что основным конструктивным узлом планера, определяющим его ресурс (долговечность или период эксплуатации), является крыло [1, 2, 7, 8]. Проведение расчетов на ресурс применительно к регулярным зонам кг)нструкции крыла до звукового транспортного ВС в полете основано на рассмотрении преимущественно одноосного напряженного состояния материала. Вторая компонента нагрузок, присутствующая в наиболее нафуженных зонах, считается незначимой, и ею в расчетах на прочность и ресурс пренебрегают. После расчетов ее учитывают через запасы прочности. Использование метода конечных элементов принципиально меняет эту ситуацию. Напряженное состояние характеризуется в полном объеме с учетом всех компонент тензора напряжений (1.1). [c.30]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...